Теорема Грина

Эта статья о теореме на плоскости, связывающей двойные и линейные интегралы. Для получения информации о теоремах Грина, связывающих объемные интегралы, включающие лапласиан, с поверхностными интегралами, см. « Тождества Грина» .

Не путать с законом Грина для волн, приближающихся к береговой линии.

В векторном исчислении теорема Грина связывает линейный интеграл по простой замкнутой кривой C с двойным интегралом по плоской области D (поверхность в $\mathbb {R} ^{2}$) ограничен C . Это двумерный частный случай теоремы Стокса (поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$). В одном измерении это эквивалентно фундаментальной теореме исчисления. В трёх измерениях это эквивалентно теореме о дивергенции .

Теорема

Пусть C — положительно ориентированная , кусочно- гладкая , замкнутая кривая на плоскости , и пусть D — область, ограниченная C. простая Если L и M являются функциями ( x , y ), определенными в открытой области, содержащей D , и имеют там непрерывные частные производные , то

$$\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA$$

где путь интегрирования вдоль C идет против часовой стрелки .

В физике теорема Грина находит множество применений. Один из них решает двумерные интегралы потока, утверждая, что сумма жидкости, вытекающей из объема, равна общему вытоку, суммированному по окружающей области. В плоской геометрии и, в частности, при геодезии территорий , теорема Грина может использоваться для определения площади и центроида плоских фигур исключительно путем интегрирования по периметру.

Доказательство, когда D — простая область.

Если D типа, граница которой состоит из кривых C2 _C1 , C3 _можно , C4 _{— область} , , _{простого} продемонстрировать половину теоремы Грина.

Ниже приводится доказательство половины теоремы для упрощенной области D , области типа I, где C ₁ и C ₃ — кривые, соединенные вертикальными линиями (возможно, нулевой длины). Аналогичное доказательство существует и для второй половины теоремы, когда D — область типа II, где C ₂ и C ₄ — кривые, соединенные горизонтальными линиями (опять же, возможно, нулевой длины). Таким образом, объединив эти две части, теорема доказана для регионов типа III (определяемых как регионы, которые относятся как к типу I, так и к типу II). Общий случай затем можно вывести из этого частного случая путем разложения D на набор областей типа III.

Если можно показать, что

$\oint _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA$ ( 1 )

и

$\oint _{C}\ M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)dA$ ( 2 )

верны, то для области D немедленно следует теорема Грина. Мы можем легко доказать ( 1 ) для областей типа I и ( 2 ) для областей типа II. Тогда теорема Грина следует для областей типа III.

Предположим, что область D является областью типа I и, таким образом, может быть охарактеризована, как показано на рисунке справа, следующим образом: $$D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}$$ где g ₁ и g ₂ — непрерывные функции на [ a , b ] . Вычислите двойной интеграл в ( 1 ):

${\begin{aligned}\iint _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dA&=\int _{a}^{b}\,\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\\&=\int _{a}^{b}\left[L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x))\right]\,dx.\end{aligned}}$ ( 3 )

Теперь вычислите линейный интеграл в ( 1 ). C объединение четырех C1 _кривых , C2 _C4 , C3 _{переписать как} , : _можно .

Для C ₁ используйте параметрические уравнения : x = x , y = g ₁ ( x ), a ≤ x ≤ b . Затем $$\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx.$$

С C ₃ используйте параметрические уравнения: x = x , y = g ₂ ( x ), a ≤ x ≤ b . Затем $$\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.$$

Интеграл по C ₃ отменяется, поскольку он идет в отрицательном направлении от b к a , поскольку C ориентирован положительно (против часовой стрелки). На C ₂ и C ₄ означает x остается постоянным, что $$\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0.$$

Поэтому,

${\begin{aligned}\oint _{C}L\,dx&=\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx\\&=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.\end{aligned}}$ ( 4 )

Объединив ( 3 ) с ( 4 ), получим ( 1 ) для регионов типа I. Аналогичная трактовка дает ( 2 ) для регионов типа II. Объединив эти два значения, мы получим результат для регионов типа III.

Доказательство спрямляемых жордановых кривых

Мы собираемся доказать следующее

Теорема — Пусть $\Gamma$ — спрямляемая положительно ориентированная кривая Жордана в $\mathbb {R} ^{2}$ и пусть $R$ обозначим его внутреннюю область. Предположим, что $A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R}$ являются непрерывными функциями, обладающими свойством $A$ имеет вторую частную производную в каждой точке $R$, $B$ имеет первую частную производную в каждой точке $R$ и что функции $D_{1}B,D_{2}A:R\to \mathbb {R}$ интегрируемы по Риману по $R$. Затем $$\int _{\Gamma }(A\,dx+B\,dy)=\int _{R}\left(D_{1}B(x,y)-D_{2}A(x,y)\right)\,d(x,y).$$

Нам понадобятся следующие леммы, доказательства которых можно найти в:

Лемма 1 (лемма о разложении) — предположим $\Gamma$ — спрямляемая положительно ориентированная жорданова кривая на плоскости, и пусть $R$ быть его внутренней областью. За каждое положительное настоящее $\delta$, позволять ${\mathcal {F}}(\delta )$ обозначаем совокупность квадратов на плоскости, ограниченную прямыми $x=m\delta ,y=m\delta$, где $m$ проходит через набор целых чисел. Тогда для этого $\delta$, существует разложение ${\overline {R}}$ на конечное число непересекающихся подобластей таким образом, что

1. Каждый из субрегионов, входящих в $R$, сказать $R_{1},R_{2},\ldots ,R_{k}$, представляет собой квадрат из ${\mathcal {F}}(\delta )$.
2. Каждый из оставшихся субрегионов, скажем $R_{k+1},\ldots ,R_{s}$, имеет границей спрямляемую жорданову кривую, образованную конечным числом дуг $\Gamma$ и части сторон некоторого квадрата из ${\mathcal {F}}(\delta )$.
3. Каждый из приграничных регионов $R_{k+1},\ldots ,R_{s}$ можно заключить в квадрат с длиной ребра $2\delta$.
4. Если $\Gamma _{i}$ — положительно ориентированная граничная кривая $R_{i}$, затем $\Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma _{2}+\cdots +\Gamma _{s}.$
5. Число $s-k$ приграничных регионов не превышает ${\textstyle 4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)}$, где $\Lambda$ длина $\Gamma$.

Лемма 2 — Пусть $\Gamma$ — спрямляемая кривая на плоскости и пусть $\Delta _{\Gamma }(h)$ быть набором точек на плоскости, расстояние от которых до (диапазона) $\Gamma$ самое большее $h$. Внешнее содержимое Иордана этого набора удовлетворяет ${\overline {c}}\,\,\Delta _{\Gamma }(h)\leq 2h\Lambda +\pi h^{2}$.

Лемма 3 — Пусть $\Gamma$ быть спрямляемой кривой в $\mathbb {R} ^{2}$ и пусть $f:{\text{range of }}\Gamma \to \mathbb {R}$ быть непрерывной функцией. Затем $$\left\vert \int _{\Gamma }f(x,y)\,dy\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\Lambda \Omega _{f},$$ и $$\left\vert \int _{\Gamma }f(x,y)\,dx\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\Lambda \Omega _{f},$$ где $\Omega _{f}$ это колебание $f$ в диапазоне $\Gamma$.

Теперь мы можем доказать теорему:

Доказательство теоремы. Позволять $\varepsilon$ быть произвольным положительным действительным числом. По непрерывности $A$, $B$ и компактность ${\overline {R}}$, данный $\varepsilon >0$, существует $0<\delta <1$ такое, что всякий раз, когда две точки ${\overline {R}}$ меньше, чем $2{\sqrt {2}}\,\delta$ отдельно, их изображения под $A,B$ меньше, чем $\varepsilon$ отдельно. Для этого $\delta$, рассмотрим разложение, заданное предыдущей леммой. У нас есть $$\int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad +\sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy.$$

Помещать $\varphi :=D_{1}B-D_{2}A$.

Для каждого $i\in \{1,\ldots ,k\}$, кривая $\Gamma _{i}$ — положительно ориентированный квадрат, для которого справедлива формула Грина. Следовательно $$\sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{R_{i}}\varphi =\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\,\varphi .$$

Каждая точка приграничного региона находится на расстоянии не более $2{\sqrt {2}}\,\delta$ от $\Gamma$. Таким образом, если $K$ это объединение всех приграничных регионов, то $K\subset \Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )$; следовательно $c(K)\leq {\overline {c}}\,\Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )\leq 4{\sqrt {2}}\,\delta +8\pi \delta ^{2}$, по лемме 2. Заметим, что $$\int _{R}\varphi \,\,-\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\varphi =\int _{K}\varphi .$$ Это дает $$\left\vert \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert \leq M\delta (1+\pi {\sqrt {2}}\,\delta ){\text{ for some }}M>0.$$

Мы также можем выбрать $\delta$ так что правая часть последнего неравенства равна $<\varepsilon .$

Замечание в начале этого доказательства означает, что колебания $A$ и $B$ в каждом приграничном регионе не более $\varepsilon$. У нас есть $$\left\vert \sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\varepsilon \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}.$$

По лемме 1(iii), $$\sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}\leq \Lambda +(4\delta )\,4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)\leq 17\Lambda +16.$$

Объединив их, мы наконец получим $$\left\vert \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert <C\varepsilon ,$$ для некоторых $C>0$. Поскольку это справедливо для каждого $\varepsilon >0$, мы закончили.

Валидность при различных гипотезах

Гипотезы последней теоремы — не единственные, при которых справедлива формула Грина. Другой распространенный набор условий следующий:

Функции $A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R}$ по-прежнему считаются непрерывными. Однако теперь мы требуем, чтобы они были дифференцируемы по Фреше в каждой точке $R$. Это подразумевает существование всех производных по направлению, в частности $D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,\,i=1,2$, где, как обычно, $(e_{1},e_{2})$ является каноническим упорядоченным базисом $\mathbb {R} ^{2}$. Кроме того, нам потребуется функция $D_{1}B-D_{2}A$ быть интегрируемым по Риману по $R$.

Как следствие этого, мы получаем интегральную теорему Коши для спрямляемых жордановых кривых:

Теорема (Коши) — Если $\Gamma$ является спрямляемой жордановой кривой в $\mathbb {C}$ и если $f:{\text{closure of inner region of }}\Gamma \to \mathbb {C}$ — непрерывное отображение, голоморфное во всей внутренней области $\Gamma$, затем $$\int _{\Gamma }f=0,$$ интеграл является комплексным контурным интегралом.

Доказательство

Мы рассматриваем комплексную плоскость как $\mathbb {R} ^{2}$. Теперь определите $u,v:{\overline {R}}\to \mathbb {R}$ быть таким, что $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).$ Эти функции, очевидно, непрерывны. Хорошо известно, что $u$ и $v$ дифференцируемы по Фреше и удовлетворяют уравнениям Коши-Римана: $D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={\text{zero function}}$.

Теперь, анализируя суммы, используемые для определения рассматриваемого комплексного контурного интеграла, легко понять, что $$\int _{\Gamma }f=\int _{\Gamma }u\,dx-v\,dy\quad +i\int _{\Gamma }v\,dx+u\,dy,$$ интегралы на правой части являются обычными линейными интегралами. Эти замечания позволяют нам применить теорему Грина к каждому из этих линейных интегралов, завершая доказательство.

Многосвязные регионы

Теорема. Позволять $\Gamma _{0},\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}$ — положительно ориентированные спрямляемые жордановые кривые в $\mathbb {R} ^{2}$ удовлетворяющий $${\begin{aligned}\Gamma _{i}\subset R_{0},&&{\text{if }}1\leq i\leq n\\\Gamma _{i}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {R}}_{j},&&{\text{if }}1\leq i,j\leq n{\text{ and }}i\neq j,\end{aligned}}$$ где $R_{i}$ это внутренняя область $\Gamma _{i}$. Позволять $$D=R_{0}\setminus ({\overline {R}}_{1}\cup {\overline {R}}_{2}\cup \cdots \cup {\overline {R}}_{n}).$$

Предполагать $p:{\overline {D}}\to \mathbb {R}$ и $q:{\overline {D}}\to \mathbb {R}$ являются непрерывными функциями, ограничение которых на $D$ дифференцируема по Фреше. Если функция $$(x,y)\longmapsto {\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)$$ интегрируема по Риману по $D$, затем $${\begin{aligned}&\int _{\Gamma _{0}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum _{i=1}^{n}\int _{\Gamma _{i}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy\\[5pt]={}&\int _{D}\left\{{\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)\right\}\,d(x,y).\end{aligned}}$$

Связь с теоремой Стокса

Теорема Грина является частным случаем теоремы Кельвина–Стокса , примененной к области в $xy$-самолет.

Мы можем дополнить двумерное поле трехмерным полем с компонентом z , который всегда равен 0. Запишите F для векторной функции $\mathbf {F} =(L,M,0)$. Начнём с левой части теоремы Грина: $$\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .$$

Теорема Кельвина–Стокса: $$\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.$$

Поверхность $S$ это просто область в плоскости $D$, с аппаратом нормально $\mathbf {\hat {n}}$ определяется (по соглашению) как имеющая положительную компоненту z, чтобы соответствовать определениям «положительной ориентации» для обеих теорем.

Выражение внутри интеграла принимает вид $$\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).$$

Таким образом, мы получаем правую часть теоремы Грина. $$\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.$$

Теорема Грина также является прямым результатом общей теоремы Стокса с использованием дифференциальных форм и внешних производных : $$\oint _{C}L\,dx+M\,dy=\oint _{\partial D}\!\omega =\int _{D}d\omega =\int _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dy\wedge \,dx+{\frac {\partial M}{\partial x}}\,dx\wedge \,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.$$

Связь с теоремой о дивергенции

Рассматривая только двумерные векторные поля, теорема Грина эквивалентна двумерной версии теоремы о дивергенции :

$\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,$

где $\nabla \cdot \mathbf {F}$ – дивергенция на двумерном векторном поле $\mathbf {F}$, и $\mathbf {\hat {n}}$ — направленный наружу единичный вектор нормали на границе.

Чтобы убедиться в этом, считайте агрегат нормальным. $\mathbf {\hat {n}}$ в правой части уравнения. Поскольку в теореме Грина $d\mathbf {r} =(dx,dy)$ — вектор, направленный по касательной вдоль кривой, а кривая C — это положительно ориентированная (т. е. против часовой стрелки) кривая вдоль границы, внешней нормалью будет вектор, указывающий на 90° вправо от нее; один из вариантов был бы $(dy,-dx)$. Длина этого вектора равна ${\textstyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.}$ Так $(dy,-dx)=\mathbf {\hat {n}} \,ds.$

Начнём с левой части теоремы Грина: $$\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(M,-L)\cdot (dy,-dx)=\oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds.$$ Применяя теорему о двумерной дивергенции с $\mathbf {F} =(M,-L)$, мы получаем правую часть теоремы Грина: $$\oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\iint _{D}\left(\nabla \cdot (M,-L)\right)\,dA=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.$$

Расчет площади

Теорему Грина можно использовать для вычисления площади с помощью линейного интеграла. Площадь плоской области $D$ дается $$A=\iint _{D}dA.$$

Выбирать $L$ и $M$ такой, что ${\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1$, площадь определяется выражением $$A=\oint _{C}(L\,dx+M\,dy).$$

Возможные формулы площади $D$ включать $$A=\oint _{C}x\,dy=-\oint _{C}y\,dx={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy).$$

История

Он назван в честь Джорджа Грина , который заявил аналогичный результат в статье 1828 года под названием «Очерк применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма» . В 1846 году Огюстен-Луи Коши опубликовал статью, в которой в предпоследнем предложении была сформулирована теорема Грина. Фактически это первая печатная версия теоремы Грина в той форме, которая присутствует в современных учебниках. Бернхард Риман дал первое доказательство теоремы Грина в своей докторской диссертации по теории функций комплексной переменной.

См. также

• Планиметр – инструмент для измерения площади.
• Метод зарядов изображения - метод, используемый в электростатике, который использует теорему единственности (полученную из теоремы Грина).
• Формула шнурков - частный случай теоремы Грина для простых многоугольников.

Дальнейшее чтение

• Марсден, Джеррольд Э.; Тромба, Энтони Дж. (2003). «Интегральные теоремы векторного анализа» . Векторное исчисление (Пятое изд.). Нью-Йорк: Фриман. стр. 518–608. ISBN  0-7167-4992-0 .

Внешние ссылки

• Теорема Грина в MathWorld