n -й семестровый тест

В математике -й тест n на дивергенцию простой тест на расходимость бесконечного ряда :

Если $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ или если предел не существует, то $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ расходится.

Многие авторы не называют этот тест или дают ему более короткое название.

При проверке сходимости или расхождения ряда этот тест часто проверяется в первую очередь из-за его простоты использования.

В случае p-адического анализа термин test является необходимым и достаточным условием сходимости из-за неравенства неархимедова треугольника.

Использование

В отличие от более строгих тестов на сходимость ряда , термин «тест» сам по себе не может доказать сходимость . В частности, обратное тесту неверно; вместо этого все, что можно сказать, это:

Если $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0,$ затем $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ могут сойтись, а могут и не сойтись. Другими словами, если $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0,$ тест не дает результатов.

Гармонический ряд — классический пример расходящегося ряда, члены которого ограничиваются нулем. Более общий класс p -серий ,

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},$

иллюстрирует возможные результаты теста:

• Если p ≤ 0, то термин тест идентифицирует ряд как расходящийся.
• Если 0 < p ≤ 1, то критерий термина неубедителен, но ряд расходится по интегральному критерию сходимости .
• Если 1 < p , то тест на термин не дает окончательных результатов, но ряд сходится, опять же по интегральному тесту на сходимость.

Доказательства

Тест обычно доказывается в контрапозитивной форме:

Если $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится, то $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0.$

Ограничьте манипуляции

Если s _n — частичные суммы ряда, то предположение о том, что рядсходится означает, что

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=L$

для некоторого числа L . Затем

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=\lim _{n\to \infty }s_{n}-\lim _{n\to \infty }s_{n-1}=L-L=0.$

Критерий Коши

Предположение о сходимости ряда означает, что он проходит тест сходимости Коши : для каждого $\varepsilon >0$ существует число N такое, что

$\left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}\right|<\varepsilon$

справедливо для всех n > N и p ≥ 1. Установка p = 1 восстанавливает определение утверждения

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0.$

Область применения

Самая простая версия термина «проверка» применима к бесконечным рядам действительных чисел . Два приведенных выше доказательства, используя критерий Коши или линейность предела, также работают в любом другом нормированном векторном пространстве. (или любую (аддитивно записанную) абелеву группу).

Ссылки

• Брабенец, Роберт (2005). Ресурсы для изучения реального анализа . МАА. ISBN  0883857375 .
• Хансен, Вагн Лундсгаард (2006). Функциональный анализ: вход в гильбертово пространство . Всемирная научная. ISBN  9812565639 .
• Качор, Веслава и Мария Новак (2003). Проблемы математического анализа . Американское математическое общество. ISBN  0821820508 .
• Рудин, Вальтер (1976) [1953]. Принципы математического анализа (3е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-054235-Х .
• Стюарт, Джеймс (1999). Исчисление: ранние трансцендентальные теории (4-е изд.). Брукс/Коул. ISBN  0-534-36298-2 .
• Шухуби, Эрдоган С. (2003). Функциональный анализ . Спрингер. ISBN  1402016166 .