Тест сходимости Коши

Не путать с тестом на конденсацию Коши .

Тест сходимости Коши — это метод, используемый для проверки рядов бесконечных сходимости . Он основан на ограничивающих суммах членов ряда. Этот критерий сходимости назван в честь Огюстена-Луи Коши, который опубликовал его в своем учебнике «Кур анализа» 1821 года.

Заявление

Серия $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon >0$ есть натуральное число $N$ такой, что

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon$

держится для всех $n>N$ и все $p\geq 1$.

Объяснение

(а) График последовательности Коши $(x_{n}),$ показано синим цветом, как $x_{n}$ против $n$. Если пространство, содержащее последовательность, заполнено, «конечный пункт назначения» этой последовательности (то есть предел) существует.

(б) Последовательность, не являющаяся Коши. Элементы последовательности не могут быть сколь угодно близки друг к другу по мере продвижения последовательности.

Тест работает, потому что пространство $\mathbb {R}$ действительных чисел и пространства $\mathbb {C}$ комплексных чисел (с метрикой, заданной абсолютным значением ) являются полными . Отсюда ряд сходится тогда и только тогда, когда частичные суммы

$s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}$

являются последовательностью Коши .

Тест сходимости Коши можно использовать только в полных метрических пространствах (таких как $\mathbb {R}$ и $\mathbb {C}$), которые представляют собой пространства, в которых сходятся все последовательности Коши. Это потому, что нам нужно только показать, что его элементы становятся сколь угодно близкими друг к другу после конечной прогрессии в последовательности, чтобы доказать сходимость ряда.

Доказательство

Мы можем использовать результаты о сходимости последовательности частичных сумм бесконечного ряда и применить их к сходимости самого бесконечного ряда. Тест Критерия Коши является одним из таких приложений. Для любой реальной последовательности $a_{k}$, из приведенных выше результатов о сходимости следует, что бесконечный ряд

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$

сходится тогда и только тогда, когда для каждого $\varepsilon >0$ существует число N такое, что из m ≥ n ≥ N следует

$|s_{m}-s_{n}|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}a_{k}\right|<\varepsilon .$

Вероятно, самая интересная часть этой теоремы заключается в том, что условие Коши подразумевает существование предела: это действительно связано с полнотой вещественной прямой. Критерий Коши можно обобщить на множество ситуаций, которые можно кратко резюмировать как «условие исчезновения колебаний эквивалентно сходимости».

Эта статья включает в себя материал из критерия Коши для конвергенции на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .