Последовательность Коши

(а) График последовательности Коши $(x_{n}),$ показано синим цветом, как $x_{n}$ против $n.$ Если пространство, содержащее последовательность , полное , то последовательность имеет предел .

(б) Последовательность, не являющаяся Коши. Элементы . последовательности не приближаются произвольно друг к другу по мере продвижения последовательности

В математике последовательность Коши — это последовательность которой , элементы становятся сколь угодно близкими друг к другу по мере продвижения последовательности. Точнее, при любом небольшом положительном расстоянии все, за исключением конечного числа элементов последовательности, меньше заданного расстояния друг от друга. Последовательности Коши названы в честь Огюстена-Луи Коши ; иногда их можно назвать фундаментальными последовательностями .

Недостаточно, чтобы каждый член стал сколь угодно близким к предыдущему члену. Например, в последовательности квадратных корней натуральных чисел:

$$a_{n}={\sqrt {n}},$$

последовательные члены становятся сколь угодно близкими друг к другу – их различия

$$a_{n+1}-a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}={\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}<{\frac {1}{2{\sqrt {n}}}}$$

стремятся к нулю с ростом индекса n . Однако с ростом значений n слагаемые $a_{n}$ стать сколь угодно большим. Итак, для любого индекса n и расстояния d существует индекс m, достаточно большой, такой что $a_{m}-a_{n}>d.$ В результате, как бы далеко вы ни заходили, оставшиеся члены последовательности никогда не приближаются друг к другу ; следовательно, последовательность не является Коши.

Полезность последовательностей Коши заключается в том, что в полном метрическом пространстве (в котором известно, что все такие последовательности сходятся к пределу ) критерий сходимости зависит только от членов самой последовательности, в отличие от определения конвергенция, в которой используются как предельное значение, так и термины. Это часто используется в алгоритмах , как теоретических, так и прикладных, где можно относительно легко показать, что итерационный процесс создает последовательность Коши, состоящую из итераций, тем самым выполняя логическое условие, такое как завершение.

Обобщения последовательностей Коши в более абстрактных равномерных пространствах существуют в виде фильтров Коши и сетей Коши .

В реальных цифрах

Последовательность

$$x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$$

действительных чисел называется последовательностью Коши, если для любого положительного действительного числа $\varepsilon ,$ существует целое положительное число N такое, что для всех натуральных чисел $m,n>N,$

$$|x_{m}-x_{n}|<\varepsilon ,$$

где вертикальные полосы обозначают абсолютное значение . Аналогичным образом можно определить последовательности Коши рациональных или комплексных чисел . Коши сформулировал такое условие, потребовав $x_{m}-x_{n}$ быть бесконечно малым для каждой пары бесконечных m , n .

Для любого действительного числа r последовательность усеченных десятичных разложений r образует последовательность Коши. Например, когда $r=\pi ,$ эта последовательность (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). m - е и n -е члены отличаются не более чем на $10^{1-m}$ когда m < n , и по мере роста m это становится меньше любого фиксированного положительного числа $\varepsilon .$

Модуль

Если $(x_{1},x_{2},x_{3},...)$ это последовательность из множества $X,$ то модуль сходимости Коши последовательности является функцией $\alpha$ из множества натуральных чисел в себя такое, что для всех натуральных чисел $k$ и натуральные числа $m,n>\alpha (k),$ $|x_{m}-x_{n}|<1/k.$

Любая последовательность с модулем сходимости Коши является последовательностью Коши. Существование модуля последовательности Коши следует из свойства упорядоченности натуральных чисел (пусть $\alpha (k)$ быть как можно меньшим $N$ в определении последовательности Коши, взяв $\varepsilon$ быть $1/k$). Существование модуля следует также из принципа счетного выбора . Регулярные последовательности Коши — это последовательности с заданным модулем сходимости Коши (обычно $\alpha (k)=k$ или $\alpha (k)=2^{k}$). Любая последовательность Коши с модулем сходимости Коши эквивалентна регулярной последовательности Коши; это можно доказать без использования какой-либо формы аксиомы выбора.

Модули сходимости Коши используются конструктивными математиками, которые не хотят использовать какую-либо форму выбора. Использование модуля сходимости Коши может упростить как определения, так и теоремы конструктивного анализа. Регулярные последовательности Коши использовались Бишопом (2012) и Бриджесом (1997) в учебниках конструктивной математики.

В метрическом пространстве

Поскольку определение последовательности Коши включает только метрические понятия, его легко обобщить на любое метрическое пространство X . Для этого абсолютное значение $\left|x_{m}-x_{n}\right|$ заменяется расстоянием $d\left(x_{m},x_{n}\right)$ (где d обозначает метрику ) между $x_{m}$ и $x_{n}.$

Формально, учитывая метрическое пространство $(X,d),$ последовательность

$$x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$$

является Коши, если для каждого положительного действительного числа $\varepsilon >0$ есть целое положительное число $N$ такая, что для всех натуральных чисел $m,n>N,$ расстояние

$$d\left(x_{m},x_{n}\right)<\varepsilon .$$

Грубо говоря, члены последовательности становятся все ближе и ближе друг к другу, что предполагает, что последовательность должна предел по X. иметь Тем не менее, такой предел не всегда существует внутри X : свойство пространства, согласно которому каждая последовательность Коши сходится в пространстве, называется полнотой и подробно описано ниже.

Полнота

Метрическое пространство ( X , d ), в котором каждая последовательность Коши сходится к элементу из X, называется полным .

Примеры

Действительные числа полны в метрике, индуцированной обычным абсолютным значением, и одна из стандартных конструкций действительных чисел включает в себя последовательности Коши рациональных чисел . В этой конструкции каждый класс эквивалентности последовательностей Коши рациональных чисел с определенным поведением хвоста, то есть каждый класс последовательностей, сколь угодно близких друг к другу, является действительным числом.

Совершенно другой тип примера представляет собой метрическое пространство X , имеющее дискретную метрику (где любые две различные точки находятся на расстоянии 1 друг от друга). Любая последовательность Коши элементов X должна быть постоянной за пределами некоторой фиксированной точки и сходиться к конечному повторяющемуся члену.

Непример: рациональные числа

Рациональные числа $\mathbb {Q}$ не являются полными (для обычного расстояния):
Существуют последовательности рациональных чисел, которые сходятся (в $\mathbb {R}$) к иррациональным числам ; это последовательности Коши, не имеющие предела. $\mathbb {Q} .$ Фактически, если действительное число x иррационально, то последовательность ( x _n ), n -й член которой является усечением до n десятичных знаков десятичного разложения x , дает последовательность Коши рациональных чисел с иррациональным пределом x . Иррациональные числа, безусловно, существуют в $\mathbb {R} ,$ например:

• Последовательность, определяемая $x_{0}=1,x_{n+1}={\frac {x_{n}+2/x_{n}}{2}}$ состоит из рациональных чисел (1, 3/2, 17/12,...), что ясно из определения; однако он сходится к иррациональному квадратному корню из 2 , см. вавилонский метод вычисления квадратного корня .
• Последовательность $x_{n}=F_{n}/F_{n-1}$ отношений последовательных чисел Фибоначчи , которые, если вообще сходятся, то сходятся к пределу $\phi$ удовлетворяющий $\phi ^{2}=\phi +1,$ и ни одно рациональное число не обладает этим свойством. Однако если рассматривать это как последовательность действительных чисел, она сходится к действительному числу. $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2,$ Золотое сечение , которое иррационально.
• Значения экспоненты, синуса и косинуса exp( x ), sin( x ), cos( x ), как известно, иррациональны для любого рационального значения $x\neq 0,$ но каждый из них можно определить как предел рациональной последовательности Коши, используя, например, ряд Маклорена .

Непример: открытый интервал

Открытый интервал $X=(0,2)$ в множестве действительных чисел с обычным расстоянием в $\mathbb {R}$ не является полным пространством: существует последовательность $x_{n}=1/n$ в нем, что является Коши (для сколь угодно малых расстояний, ограниченных $d>0$ все условия $x_{n}$ из $n>1/d$ вписаться в $(0,d)$ интервал), однако не сходится в $X$ — его «предел», номер 0, не принадлежит пространству $X.$

Другая недвижимость

• Любая сходящаяся последовательность (скажем, с пределом s ) является последовательностью Коши, поскольку для любого действительного числа $\varepsilon >0,$ за пределами некоторой фиксированной точки каждый член последовательности находится на расстоянии $\varepsilon /2$ s , поэтому любые два члена последовательности находятся на расстоянии $\varepsilon$ друг друга.
• В любом метрическом пространстве последовательность Коши $x_{n}$ ограничено N (поскольку для некоторого N все члены последовательности, начиная с - го и далее, находятся на расстоянии 1 друг от друга, и если M — наибольшее расстояние между $x_{N}$ и любые члены до N -го, то ни один член последовательности не имеет расстояния больше, чем $M+1$ от $x_{N}$).
• В любом метрическом пространстве последовательность Коши, имеющая сходящуюся подпоследовательность с пределом s, сама является сходящейся (с тем же пределом), поскольку для любого действительного числа r > 0, за пределами некоторой фиксированной точки в исходной последовательности, каждый член подпоследовательности находится на расстоянии r /2 от s , а любые два члена исходной последовательности находятся на расстоянии r /2 друг от друга, поэтому каждый член исходной последовательности находится на расстоянии r от s .

Эти последние два свойства вместе с теоремой Больцано-Вейерштрасса дают одно стандартное доказательство полноты действительных чисел, тесно связанное как с теоремой Больцано-Вейерштрасса, так и с теоремой Гейне-Бореля . Любая последовательность Коши действительных чисел ограничена, следовательно, по Больцано-Вейерштрассу, имеет сходящуюся подпоследовательность и, следовательно, сама сходится. Это доказательство полноты действительных чисел неявно использует аксиому наименьшей верхней границы . Альтернативный подход, упомянутый выше, заключающийся в построении действительных чисел как пополнения рациональных чисел, делает полноту действительных чисел тавтологической.

Одной из стандартных иллюстраций преимуществ возможности работать с последовательностями Коши и использования полноты является рассмотрение суммирования бесконечного ряда действительных чисел.(или, в более общем смысле, элементов любого полного нормированного линейного пространства или банахова пространства ). Такая серия ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ считается сходящейся тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм $(s_{m})$ сходится, где ${\textstyle s_{m}=\sum _{n=1}^{m}x_{n}.}$ Определить, является ли последовательность частичных сумм Коши или нет, является обычным делом, поскольку для натуральных чисел $p>q,$

$$s_{p}-s_{q}=\sum _{n=q+1}^{p}x_{n}.$$

Если $f:M\to N$ — равномерно непрерывное отображение между метрическими пространствами M и N и ( x _n ) — последовательность Коши в M , то $(f(x_{n}))$ является последовательностью Коши в N . Если $(x_{n})$ и $(y_{n})$ являются двумя последовательностями Коши рациональных, действительных или комплексных чисел, то сумма $(x_{n}+y_{n})$ и продукт $(x_{n}y_{n})$ также являются последовательностями Коши.

Обобщения

В топологических векторных пространствах

Существует также понятие последовательности Коши для топологического векторного пространства. $X$: Выберите местную базу $B$ для $X$ около 0; затем ( $x_{k}$) является последовательностью Коши, если для каждого члена $V\in B,$ есть какое-то число $N$ такое, что всякий раз, когда $n,m>N,x_{n}-x_{m}$ является элементом $V.$ Если топология $X$ совместим с трансляционно-инвариантной метрикой $d,$ эти два определения совпадают.

В топологических группах

Поскольку определение последовательности Коши в топологическом векторном пространстве требует только наличия непрерывной операции «вычитания», ее с таким же успехом можно сформулировать в контексте топологической группы : Последовательность $(x_{k})$ в топологической группе $G$ является последовательностью Коши, если для каждой открытой окрестности $U$ личности ​ в $G$ существует некоторое число $N$ такое, что всякий раз, когда $m,n>N$ отсюда следует, что $x_{n}x_{m}^{-1}\in U.$ Как и выше, достаточно проверить это для окрестностей в любой локальной базе тождества в $G.$

Как и при построении пополнения метрического пространства , можно, кроме того, определить бинарное отношение к последовательностям Коши в $G$ что $(x_{k})$ и $(y_{k})$ эквивалентны, если для каждой открытой окрестности $U$ личности в $G$ существует некоторое число $N$ такое, что всякий раз, когда $m,n>N$ отсюда следует, что $x_{n}y_{m}^{-1}\in U.$ Это отношение является отношением эквивалентности : оно рефлексивно, поскольку последовательности являются последовательностями Коши. Оно симметрично, поскольку $y_{n}x_{m}^{-1}=(x_{m}y_{n}^{-1})^{-1}\in U^{-1}$ которое в силу непрерывности обратного является еще одной открытой окрестностью идентичности. Он транзитивен, так как $x_{n}z_{l}^{-1}=x_{n}y_{m}^{-1}y_{m}z_{l}^{-1}\in U'U''$ где $U'$ и $U''$ являются открытыми окрестностями единицы такими, что $U'U''\subseteq U$; такие пары существуют в силу непрерывности групповой операции.

В группах

Существует также понятие последовательности Коши в группе. $G$:Позволять $H=(H_{r})$ — убывающая последовательность нормальных подгрупп группы $G$ конечного индекса .Затем последовательность $(x_{n})$ в $G$ называется Коши (относительно $H$) тогда и только тогда, когда для любого $r$ есть $N$ такой, что для всех $m,n>N,x_{n}x_{m}^{-1}\in H_{r}.$

Технически это то же самое, что топологическая группа, последовательность Коши для конкретного выбора топологии на $G,$ именно то, для чего $H$ это местная база.

Набор $C$ таких последовательностей Коши образует группу (для покомпонентного произведения), а множество $C_{0}$ нулевых последовательностей (последовательностей таких, что $\forall r,\exists N,\forall n>N,x_{n}\in H_{r}$) является нормальной подгруппой $C.$ Факторная группа $C/C_{0}$ называется завершением $G$ относительно $H.$

Затем можно показать, что это пополнение изоморфно обратному пределу последовательности $(G/H_{r}).$

Примером этой конструкции, известной в теории чисел и алгебраической геометрии, является конструкция $p$-адическое пополнение целых чисел относительно простого числа $p.$ В этом случае, $G$ – складываемые целые числа, а $H_{r}$ — аддитивная подгруппа, состоящая из целых кратных $p_{r}.$

Если $H$ является конфинальной последовательностью (т. е. любая нормальная подгруппа конечного индекса содержит некоторое $H_{r}$), то это пополнение канонично в том смысле, что оно изоморфно обратному пределу $(G/H)_{H},$ где $H$ меняется по всем нормальным подгруппам конечного индекса . Подробнее см. гл. I.10 в Ланга «Алгебре» .

В гиперреальном континууме

Реальная последовательность $\langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle$ имеет естественное гипервещественное расширение, определенное для сверхъестественных значений H индекса n в дополнение к обычному натуральному n . Последовательность является Коши тогда и только тогда, когда для любых бесконечных H и K значения $u_{H}$ и $u_{K}$ бесконечно близки или эквивалентны , т. е.

$\mathrm {st} (u_{H}-u_{K})=0$

где «st» — стандартная функция детали .

Дополнение категорий Коши

Краузе (2020) ввел понятие пополнения категории по Коши . Применяется к $\mathbb {Q}$ (категория, объектами которой являются рациональные числа, и существует морфизм от x до y тогда и только тогда, когда $x\leq y$), это пополнение Коши дает $\mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}$ (опять же интерпретируется как категория, использующая ее естественный порядок).

См. также

• Режимы конвергенции (аннотированный указатель) – Аннотированный указатель различных режимов конвергенции.
• Дедекиндов разрез - Метод построения действительных чисел

Дальнейшее чтение

• Епископ, Эрретт Альберт (2012). Основы конструктивного анализа . Иши Пресс. ISBN  9784871877145 .

• Бурбаки, Николя (1972). Коммутативная алгебра (под ред. английского перевода). Аддисон-Уэсли / Германн. ISBN  0-201-00644-8 .

• Бриджес, Дуглас Сазерленд (1997). Основы конструктивного анализа . Спрингер. ISBN  978-0-387-98239-7 .

• Краузе, Хеннинг (2020). «Завершение совершенных комплексов: с приложениями Тобиаса Бартеля и Бернхарда Келлера» . Математический журнал . 296 (3–4): 1387–1427. arXiv : 1805.10751 . дои : 10.1007/s00209-020-02490-z .

• Ланг, Серж (1992). Алгебра (3-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison Wesley. ISBN  978-0-201-55540-0 . Збл   0848.13001 .

• Спивак, Михаил (1994). Исчисление (3-е изд.). Беркли, Калифорния: Опубликуй или погибни. ISBN  0-914098-89-6 . Архивировано из оригинала 17 мая 2007 г. Проверено 26 мая 2007 г.

• Троэльстра, AS ; Ван Дален, Д. Конструктивизм в математике: Введение . (для использования в конструктивной математике)

Внешние ссылки

• «Последовательность Коши» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]