1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯

Демонстрация того, что ⁠ 1 / 2 ⁠ − ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 8 ⁠ − ⁠ 1 / 16 ⁠ + ⋯ = ⁠ 1 / 3 ⁠

В математике бесконечный ряд 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ является простым примером знакопеременного ряда , который абсолютно сходится .

Это геометрическая прогрессия, первый член которой равен ⁠ 1 / 2 ⁠ и чьё общее отношение равно — ⁠ 1/2 поэтому ⁠ , его сумма равна

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\frac {1}{2}}{1-(-{\frac {1}{2}})}}={\frac {1}{3}}.$

Хакенбуш и сюрреализм

Демонстрация ⁠ 2 / 3 ⁠ через игру с нулевым значением

Небольшая перестановка серии гласит:

$1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{3}}.$

Ряд имеет форму положительного целого числа плюс ряд, содержащий каждую отрицательную степень двойки с положительным или отрицательным знаком, поэтому его можно перевести в бесконечную сине-красную строку Хакенбуша , которая представляет сюрреалистическое число. ⁠ 1 / 3 ⁠ :

ЛРРЛЛЛР... = ⁠ 1 / 3 ⁠ .

Немного более простая строка Хакенбуша исключает повторяющуюся букву R:

ЛРРРРЛ... = ⁠ 2 / 3 ⁠ .

С точки зрения структуры игры Хакенбуша это уравнение означает, что доска, изображенная справа, имеет значение 0; тот игрок, который ходит вторым, имеет выигрышную стратегию.

Похожие серии

• Заявление о том, что ⁠ 1 / 2 ⁠ − ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 8 ⁠ − ⁠ 1/16 сходится , абсолютно ⁠ + ⋯ означает, что ряд ⁠ 1 / 2 ⁠ + ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 8 ⁠ + ⁠ 1/16 ⋯ ⁠ сходится + . Фактически, последний ряд сходится к 1 и доказывает, что одно из двоичных разложений 1 равно 0,111....
• Сопряжение условий серии ⁠ 1 / 2 ⁠ − ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 8 ⁠ − ⁠ 1/16 дает , ⁠ + ⋯ другую геометрическую прогрессию с той же суммой ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 16 ⁠ + ⁠ 1 / 64 ⁠ + ⁠ ​ 1/256 ⁠ + ⋯ . Этот ряд является одним из первых, суммированных в истории математики ; его использовал Архимед около 250–200 гг. до н.э.
• Преобразование Эйлера расходящегося ряда 1 - 2 + 4 - 8 + ⋯ есть ⁠ 1 / 2 ⁠ − ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 8 ⁠ − ⁠ 1 / 16 ⁠ + ⋯ . Следовательно, хотя первый ряд и не имеет суммы в обычном смысле, он суммируем по Эйлеру к ⁠ 1 / 3 ⁠ .

Ссылки

• Берлекамп, ER ; Конвей, Дж. Х. ; Гай, РК (1982). Пути выигрыша в математических играх . Академическая пресса. ISBN  0-12-091101-9 .
• Кореваар, Джейкоб (2004). Тауберова теория: столетие развития . Спрингер. ISBN  3-540-21058-Х .
• Шойер, Брюс; Уотсон, Брюс (1994). Методы суммирования Бореля: теория и приложения . Оксфорд УП. ISBN  0-19-853585-6 .