1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

Первые 15 000 частичных сумм 0 + 1 - 2 + 3 - 4 + ... На графике целые положительные числа расположены справа, а целые отрицательные - слева.

В математике , 1 − 2 + 3 − 4 + ··· представляет собой бесконечный ряд членами которого являются последовательные положительные целые числа с переменными знаками . Используя обозначение сигма-суммирования, сумму первых m членов ряда можно выразить как $$\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.$$

Бесконечный ряд расходится что его последовательность частичных сумм , а это означает , (1, −1, 2, −2, 3, ...) не стремится к какому-либо конечному пределу . Тем не менее, в середине 18 века Леонард Эйлер написал то, что он назвал парадоксальным уравнением : $$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$$

Строгое . объяснение этого уравнения появилось гораздо позже Начиная с 1890 года Эрнесто Чезаро , Эмиль Борель и другие исследовали четко определенные методы присвоения обобщенных сумм расходящимся рядам, включая новые интерпретации попыток Эйлера. Многие из этих методов суммирования легко присваивают 1 - 2 + 3 - 4 + ... "значение" ⁠ 1/4 ​ ⁠ ​ . Суммирование Чезаро — один из немногих методов, которые не суммируют 1 — 2 + 3 — 4 + ... , поэтому ряд является примером, где немного более сильный метод, такой как суммирование Абеля требуется .

Ряд 1 - 2 + 3 - 4 + ... тесно связан с рядом Гранди 1 - 1 + 1 - 1 + ... . Эйлер рассматривал эти два случая как частные случаи более общей последовательности 1 − 2. ^н + 3 ^н − 4 ^н + ... , где n = 1 и n = 0 соответственно. Это направление исследований расширило его работу над Базельской проблемой и привело к функциональным уравнениям того, что сейчас известно как эта-функция Дирихле и дзета-функция Римана .

Дивергенция

Члены ряда (1, −2, 3, −4, ...) не приближаются к 0 ; следовательно, 1 - 2 + 3 - 4 + ... расходится на член test . Дивергенцию также можно показать непосредственно из определения: бесконечный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм сходится к пределу , и в этом случае этот предел является значением бесконечного ряда. Частичные суммы 1 - 2 + 3 - 4 + ... :

1 ,

1 − 2 = −1 ,
1 − 2 + 3 = 2 ,
1 − 2 + 3 − 4 = −2 ,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3 ,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3 ,

...

Последовательность частичных сумм показывает, что ряд не сходится к определенному числу: для любого предложенного предела x существует точка, за которой все последующие частичные суммы находятся вне интервала [ x −1, x +1] , поэтому 1 − 2 + 3 − 4 + ... расходится.

Частичные суммы включают каждое целое число ровно один раз — даже 0, если считать пустую частичную сумму — и тем самым устанавливают счетность множества . $\mathbb {Z}$ целых чисел .

Эвристика для суммирования

Стабильность и линейность

Поскольку члены 1, -2, 3, -4, 5, -6, ... следуют простой схеме, рядами 1 - 2 + 3 - 4 + ... можно манипулировать путем сдвига и почленного сложение для получения числового значения. Если имеет смысл написать s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... для некоторого обычного числа s , то следующие манипуляции доказывают, что s = 1 ⁄ 4 :

$${\begin{alignedat}{5}4s&=&&(1-2+3-\cdots )\ \ &&{}+(1-2+3-4+\cdots )&&{}+(1-2+3-4+\cdots )&&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-\cdots )&&+1{}+(-2+3-4+\cdots )\ \ &&{}+1+(-2+3-4+\cdots )\ \ &&{}+1-2+(3-4+\cdots )\\&=\ 1+{}&&(1-2+3-\cdots )&&{}+(-2+3-4+\cdots )&&{}+(-2+3-4+\cdots )&&{}+(3-4+5-\cdots )\\&=\ 1+{}[\ &&(1-2-2+3)&&{}+(-2+3+3-4)&&{}+(3-4-4+5)&&{}+\cdots \ ]\\&=\ 1+{}[\ &&0+0+0+\cdots \ ]\\4s&=\ 1\end{alignedat}}$$

Добавление 4 копий 1 - 2 + 3 - 4 + ..., используя только сдвиги и почленное сложение, дает 1. В левой и правой частях каждая демонстрирует по две копии 1 - 2 + 3 - 4 + . .. прибавление к 1 - 1 + 1 - 1 + ....

Так $s={\frac {1}{4}}$.

Хотя 1 - 2 + 3 - 4 + ... не имеет суммы в обычном смысле, уравнение s = 1 - 2 + 3 - 4 + ... = 1 ⁄ 4 можно считать наиболее естественным ответом, если необходимо определить такую ​​сумму. Обобщенное методом определение «суммы» расходящегося ряда называется суммирования или методом суммирования . Существует множество различных методов, и желательно, чтобы они обладали некоторыми свойствами обычного суммирования . Вышеупомянутые манипуляции на самом деле доказывают следующее: для любого метода суммирования, который является линейным и стабильным и суммирует ряды 1 - 2 + 3 - 4 + ... , сумма, которую он производит, равна 1 ⁄ 4 . Кроме того, поскольку

$${\begin{alignedat}{5}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )\ \ &&{}+(1-2+3-4+5-\cdots )\\&=&&1{}+(-2+3-4+\cdots )\ \ &&{}+1-2+(3-4+5-\cdots )\\&=\ 0+{}&&(-2+3-4+\cdots )&&{}+(3-4+5-\cdots )\\&=\ 0+{}[\ &&(-2+3)\quad {}+(3-4)&&{}+(-4+5)\quad +\cdots \ ]\\2s&=\ &&1-1+1-1+\cdots \end{alignedat}}$$ такой метод должен также суммировать ряд Гранди как 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1 ⁄ 2 .

Продукт Коши

В 1891 году Эрнесто Чезаро выразил надежду, что расходящиеся ряды будут строго включены в исчисление , указав: «Уже пишут (1 - 1 + 1 - 1 + ...) ² = 1 - 2 + 3 - 4 + ... и утверждает, что обе стороны равны 1 ⁄ 4 ". Для Чезаро это уравнение было применением теоремы, которую он опубликовал в прошлом году, и которая является первой теоремой в истории суммируемых расходящихся рядов. Подробности о его методе суммирования приведены ниже ; основная идея состоит в том, что 1 - 2 + 3 - 4 + ... является произведением Коши (дискретная свертка ) 1 - 1 + 1 - 1 + ... с 1 - 1 + 1 - 1 + ... .

Произведение Коши двух бесконечных рядов определяется, даже если они оба расходятся. В случае, когда a _n = bn ₌ (−1) ^н члены произведения Коши задаются конечными диагональными суммами $${\begin{aligned}c_{n}&=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{aligned}}$$

Тогда серия продуктов $$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots .$$

Таким образом, метод суммирования, который учитывает произведение Коши двух рядов и присваивает ряду 1 - 1 + 1 - 1 + ... сумму 1/2 - также будет присваивать ряду 1 - 2 + 3 - 4 + . .. сумма 1/4. Учитывая результат предыдущего раздела, это подразумевает эквивалентность суммируемости 1 - 1 + 1 - 1 + ... и 1 - 2 + 3 - 4 + ... с помощью методов, которые являются линейными, устойчивыми и соблюдают метод Коши. продукт.

Теорема Чезаро является тонким примером. Ряд 1 - 1 + 1 - 1 + ... суммируем по Чезаро в самом слабом смысле, называемый (C, 1)-суммируемым, а ряд 1 - 2 + 3 - 4 + ... требует более сильной формы теоремы Чезаро. , являющаяся (C, 2)-суммируемой. Поскольку все формы теоремы Чезаро линейны и устойчивы, значения сумм рассчитаны выше.

Конкретные методы

Чезаро и Гёльдер

Данные о сумме (H, 2) 1 ⁄ 4

Чтобы найти (C, 1) Чезаро сумму 1 − 2 + 3 − 4 + ... , если она существует, нужно вычислить средние арифметические частичных сумм ряда. Частичные суммы:

1, −1, 2, −2, 3, −3, ...,

а средние арифметические этих частичных сумм равны:

1, 0, 2 ⁄ 3 , 0, 3 ⁄ 5 , 0, 4 ⁄ 7 , ....

Эта последовательность средних не сходится, поэтому 1 - 2 + 3 - 4 + ... не суммируется по Чезаро.

Есть два хорошо известных обобщения суммирования Чезаро: концептуально более простым из них является последовательность (H, n ) методов для натуральных чисел n . Сумма (H, 1) представляет собой суммирование Чезаро, а более высокие методы повторяют вычисление средних значений. Выше четные средние сходятся к 1 ⁄ 2 , в то время как все нечетные средние равны 0, поэтому средние значения сходятся к среднему значению 0 и 1 ⁄ 2 , а именно 1 ⁄ 4 . Итак, 1 - 2 + 3 - 4 + ... суммируемо (H, 2) к 1 ⁄ 4 .

Буква «H» обозначает Отто Гёльдера , который впервые доказал в 1882 году то, что математики теперь считают связью между суммированием Абеля и (H, n ) суммированием ; 1 − 2 + 3 − 4 + ... было его первым примером. Тот факт, что 1 ⁄ 4 - это (H, 2) сумма 1 - 2 + 3 - 4 + ... гарантирует, что это также сумма Абеля; это также будет доказано непосредственно ниже.

Другое часто формулируемое обобщение суммирования Чезаро — это последовательность методов (C, n ) . Доказано, что суммирование (C, n ) и суммирование (H, n ) всегда дают одни и те же результаты, но имеют разную историческую подоплеку. В 1887 году Чезаро был близок к формулированию определения суммирования (C, n ) , но привел лишь несколько примеров. В частности, он суммировал 1 - 2 + 3 - 4 + ..., чтобы 1 ⁄ 4 методом, который можно перефразировать как (C, n ), но в то время он не был оправдан как таковой. Он формально определил методы (C, n ) в 1890 году, чтобы сформулировать свою теорему о том, что произведение Коши (C, n ) -суммируемого ряда и (C, m ) -суммируемого ряда равно (C, m + n + 1) -суммируемый.

Суммирование Абеля

Некоторые частичные числа 1 − 2 x + 3 x ² + ...; 1/(1 + х ) ² ; и лимиты на уровне 1

В отчете 1749 года Леонард Эйлер признает, что ряд расходится, но все равно готовится суммировать его:

... когда говорят, что сумма этого ряда 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 и т. д. равна 1 ⁄ 4 , это должно показаться парадоксальным. Ибо, сложив 100 членов этого ряда, мы получим −50, однако сумма 101 члена даёт +51, что весьма отличается от 1 ⁄ 4 и становится еще больше при увеличении количества членов. Но я уже раньше заметил, что слову сумма необходимо придать более расширенное значение...

Эйлер несколько раз предлагал обобщение слова «сумма». В случае 1 - 2 + 3 - 4 + ... его идеи аналогичны тому, что сейчас известно как суммирование Абеля :

... не более сомнительно, что сумма этого ряда 1 - 2 + 3 - 4 + 5 и т. д. равна 1 ⁄ 4 ; поскольку оно возникает в результате разложения формулы 1 ⁄ (1+1) ² , ценность которого неоспорима 1 ⁄ 4 . Идея становится яснее, если рассмотреть общий ряд 1 − 2 x + 3 x ² − 4x ³ + 5x ⁴ − 6x ⁵ + и т. д. возникающее при расширении выражения 1 ⁄ (1+ х ) ² , которому этот ряд действительно равен после того, как мы установили x = 1 .

Есть много способов убедиться в этом, по крайней мере, для абсолютных значений | х | < 1 , Эйлер прав в этом $$1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.$$ Можно взять разложение Тейлора в правой части или применить формальный процесс деления в столбик для многочленов . Начиная с левой части, можно следовать общей эвристике, приведенной выше, и попробовать дважды умножить на (1 + x ) или возвести в квадрат геометрическую прогрессию 1 − x + x. ² − ... . Эйлер также, кажется, предлагает дифференцировать последний ряд почленно.

В современном представлении производящая функция 1 − 2 x + 3 x ² − 4x ³ + ... не определяет функцию в точке x = 1 , поэтому значение нельзя просто подставить в результирующее выражение. Поскольку функция определена для всех | х | < 1 , все равно можно взять предел, когда x приближается к 1, и это определение суммы Абеля: $$\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.$$

Эйлер и Борель

Суммирование Эйлера до 1 ⁄ 2 − 1 ⁄ 4 . Положительные значения показаны белым, отрицательные — коричневым, а сдвиги и отмены — зеленым.

Эйлер применил к этому ряду еще один метод: преобразование Эйлера , одно из своих собственных изобретений. Чтобы вычислить преобразование Эйлера, нужно начать с последовательности положительных членов, составляющих чередующийся ряд — в данном случае , 2, 3, 4, .... Первый элемент этой последовательности помечен 0 ₁ .

Далее нужна последовательность прямых разностей между 1, 2, 3, 4,... ; это всего лишь 1, 1, 1, 1, .... Первый элемент этой последовательности помечен Δ a ₀ . Преобразование Эйлера также зависит от различий разностей и более высоких итераций , но все прямые различия между 1, 1, 1, 1, ... равны 0. Преобразование Эйлера 1 - 2 + 3 - 4 + ... равно затем определяется как $${\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.$$

В современной терминологии говорят, что 1 - 2 + 3 - 4 + ... суммируемо Эйлером к 1 ⁄ 4 .

Суммируемость Эйлера также подразумевает суммируемость по Борелю с тем же значением суммирования, что и в целом.

Разделение весов

Саичев и Войчинский приходят к выводу 1 − 2 + 3 − 4 + ... = 1 ⁄ 4 , применяя только два физических принципа: бесконечно малую релаксацию и разделение масштабов . Если быть точным, эти принципы привели их к определению широкого семейства « φ -методов суммирования», каждый из которых суммирует ряд до 1 ⁄ 4 :

• Если φ ( x ) — функция, первая и вторая производные которой непрерывны и интегрируемы по (0, ∞) , такая, что φ (0) = 1 и пределы φ ( x ) и xφ ( x ) в +∞ оба равны 0, тогда $$\lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}.$$

Этот результат обобщает суммирование Абеля, которое восстанавливается, если положить φ ( x ) = exp(− x ) . Общее утверждение можно доказать, соединив в пары члены ряда по m и превратив выражение в интеграл Римана . Для последнего шага соответствующее доказательство для 1 - 1 + 1 - 1 + ... применяет теорему о среднем значении , но здесь нужна более сильная форма Лагранжа теоремы Тейлора .

Обобщение

Отрывок из стр. 233 E212 - Институты дифференциального исчисления с его использованием в конечном анализе и обучении рядов . Эйлер суммирует аналогичный ряд, c. 1755

Трехкратное произведение Коши 1 - 1 + 1 - 1 + ... есть 1 - 3 + 6 - 10 + ..., чередующийся ряд треугольных чисел ; его сумма Абеля и Эйлера равна 1 ⁄ 8 . Четверное произведение Коши 1 - 1 + 1 - 1 + ... есть 1 - 4 + 10 - 20 + ..., чередующийся ряд тетраэдрических чисел , сумма Абеля которого равна 1 ⁄ 16 .

Еще одно обобщение 1 - 2 + 3 - 4 + ... в несколько ином направлении - это ряд 1 - 2. ^н + 3 ^н − 4 ^н + ... для других значений n . Для натуральных чисел n эти ряды имеют следующие суммы Абеля: $$1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}$$ где B _n — числа Бернулли . Для четного n это сводится к $$1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0,$$ что можно интерпретировать как утверждение, что отрицательные четные значения дзета-функции Римана равны нулю. Эта сумма стала объектом особых насмешек со стороны Нильса Хенрика Абеля в 1826 году:

Расходящиеся ряды — это вообще дьявольская работа, и обидно, что на них смеют найти какое-либо доказательство. Из них можно получить то, что хочешь, если их использовать, и именно они принесли столько несчастий и столько парадоксов. Можно ли придумать что-нибудь более ужасное, чем сказать, что

0 = 1 − 2 ^2н + 3 ^2н − 4 ^2н + и т. д.

где n — положительное число. Здесь есть над чем посмеяться, друзья.

Учитель Чезаро, Эжен Шарль Каталан , также пренебрежительно отнесся к расходящимся сериям. Под влиянием Каталонии Чезаро первоначально ссылался на «традиционные формулы» для 1–2. ^н + 3 ^н − 4 ^н + ... как «абсурдные равенства», а в 1883 году Чезаро выразил типичную для того времени точку зрения, что формулы ложны, но все же формально полезны. Наконец, в своей книге «Сюр-ла-умножение серий » 1890 года Чезаро применил современный подход, начиная с определений.

Ряды также изучаются для нецелых значений n ; они составляют эта-функцию Дирихле . Частью мотивации Эйлера к изучению рядов, связанных с 1 - 2 + 3 - 4 +..., было функциональное уравнение эта-функции, которое ведет непосредственно к функциональному уравнению дзета-функции Римана . Эйлер уже прославился тем, что нашел значения этих функций в положительных четных целых числах (включая Базельскую задачу пытался найти значения в положительных нечетных целых числах (включая константу Апери ), и он также ), проблема, которая остается неуловимой сегодня. . В частности, с эта-функцией легче иметь дело с помощью методов Эйлера, поскольку ее ряд Дирихле всюду суммируем по Абелю; Ряд Дирихле дзета-функции гораздо сложнее суммировать там, где он расходится. Например, аналогом 1 - 2 + 3 - 4 + ... в дзета-функции является неперемежающийся ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ... , который имеет глубокие приложения в современной физике, но требует гораздо более сильных методы суммирования.

См. также

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

Библиография

• Алабдулмохсин, Ибрагим М. (2018). «Аналитическая теория суммируемости». Суммируемое исчисление . Международное издательство Спрингер. стр. 65–91. дои : 10.1007/978-3-319-74648-7_4 . ISBN  978-3-319-74647-0 .
• Билз, Ричард (2004). Анализ: Введение . Кембриджский университет. ISBN  978-0-521-60047-7 .
• Дэвис, Гарри Ф. (май 1989 г.). Ряды Фурье и ортогональные функции . Дувр. ISBN  978-0-486-65973-2 .
• Эйлер, Леонард; Уиллис, Лукас; Ослер, Томас Дж. (2006). «Перевод с примечаниями статьи Эйлера: Замечания о прекрасной связи между прямыми и обратными степенными рядами» . Архив Эйлера . Проверено 22 марта 2007 г. Первоначально опубликовано как Эйлер, Леонард (1768). «Замечания о прекрасных отношениях между рядом властей, как прямых, так и взаимных». Мемуары Берлинской академии наук . 17 :83–106.
• Ферраро, Джованни (июнь 1999 г.). «Первое современное определение суммы расходящегося ряда: аспект развития математики 20-го века». Архив истории точных наук . 54 (2): 101–135. дои : 10.1007/s004070050036 . S2CID   119766124 .
• Граттан-Гиннесс, Айвор (1970). Развитие основ математического анализа от Эйлера до Римана . МТИ Пресс. ISBN  978-0-262-07034-8 .
• Харди, GH (1949). Дивергентный сериал . Кларендон Пресс. xvi+396. ISBN  978-0-8218-2649-2 . LCCN   49005496 . МР   0030620 . OCLC   808787 . 2-е изд. опубликовано пабом «Челси». Ко., 1991. LCCN   91-75377 . ISBN   0-8284-0334-1 .
• Клайн, Моррис (ноябрь 1983 г.). «Эйлер и бесконечный ряд». Журнал «Математика» . 56 (5): 307–314. CiteSeerX   10.1.1.639.6923 . дои : 10.2307/2690371 . JSTOR   2690371 .
• Кнопп, Конрад (1990). Теория и применение бесконечных рядов . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0486661652 . LCCN   89071388 .
• Лавин, Шон (1994). Понимание Бесконечного . Гарвардский университет. ISBN  978-0-674-92096-5 .
• Маркусевич, Алексей Иванович (1967). Серия: фундаментальные понятия с историческим изложением (английский перевод 3-го переработанного издания (1961 г.) на русском изд.). Дели, Индия: Паб «Хиндустан». Корп.п. 176. LCCN   sa68017528 . OCLC   729238507 . Автор также известен как А. И. Маркушевич и Алексей Иванович Маркушевич. Также опубликовано в Бостоне, Mass by Heath с OCLC   474456247 . Кроме того, ОСЛК   208730 , OCLC   487226828 .
• Саичев А.И.; Войчинский, Вашингтон (1996). Распределения по физико-техническим наукам, Vol . Биркхаузер. ISBN  978-0-8176-3924-2 .
• Шойер, Брюс; Уотсон, Брюс (1994). Методы суммирования Бореля: теория и применение . Оксфордские математические монографии. Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк. ISBN  0-19-853585-6 . МР   1320266 .
• Туччиароне, Джон (январь 1973 г.). «Развитие теории суммируемых расходящихся рядов с 1880 по 1925 год». Архив истории точных наук . 10 (1–2): 1–40. дои : 10.1007/BF00343405 . S2CID   121888821 .
• Вретблад, Андерс (2003). Анализ Фурье и его приложения . Спрингер. ISBN  978-0-387-00836-3 .
• Вайдлих, Джон Э. (июнь 1950 г.). Методы суммирования расходящихся рядов . Стэнфордские магистерские диссертации. OCLC   38624384 .