Точно определенное выражение

В математике или четко определенное выражение однозначное выражение — это выражение , определение которого придает ему уникальную интерпретацию или значение. В противном случае выражение называется нечетко определенным , плохо определенным или двусмысленным . ^[1]Функция считается корректно определенной, если она дает тот же результат при изменении представления входных данных без изменения входного значения. Например, если $f$ принимает на вход действительные числа, и если $f(0.5)$ не равно $f(1/2)$ затем $f$ не является четко определенным (и, следовательно, не является функцией). ^[2] Термин «четко определенное» также может использоваться для обозначения того, что логическое выражение является однозначным или непротиворечивым.

Функция, которая не определена четко, — это не то же самое, что функция, которая не определена . Например, если $f(x)={\frac {1}{x}}$ , тогда хотя $f(0)$ не определена, это не означает, что функция не определена четко; скорее, 0 не находится в области определения $f$ .

Пример [ править ]

Позволять $A_{0},A_{1}$ быть множествами, пусть $A=A_{0}\cup A_{1}$ и «определить» $f:A\rightarrow \{0,1\}$ как $f(a)=0$ если $a\in A_{0}$ и $f(a)=1$ если $a\in A_{1}$ .

Затем $f$ корректно определено, если $A_{0}\cap A_{1}=\emptyset \!$ . Например, если $A_{0}:=\{2,4\}$ и $A_{1}:=\{3,5\}$ , затем $f(a)$ будет четко определен и равен $\operatorname {mod} (a,2)$ .

Однако, если $A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset$ , затем $f$ не будет четко определен, потому что $f(a)$ является «неоднозначным» для $a\in A_{0}\cap A_{1}$ . Например, если $A_{0}:=\{2\}$ и $A_{1}:=\{2\}$ , затем $f(2)$ должно быть одновременно 0 и 1, что делает его неоднозначным. В результате последний $f$ не является четко определенным и, следовательно, не является функцией.

«Определение» как предвосхищение определения [ править ]

Чтобы избежать кавычек вокруг слова «определить» в предыдущем простом примере, «определение» $f$ можно разбить на два логических этапа:

Определение бинарного отношения . В примере:
$f:={\bigl \{}(a,i)\mid i\in \{0,1\}\wedge a\in A_{i}{\bigr \}},$
(что пока представляет собой не что иное, как определенное подмножество декартова произведения $A\times \{0,1\}$ .)
Утверждение . Бинарное отношение $f$ это функция; в примере:
$f:A\rightarrow \{0,1\}.$

Хотя определение на шаге 1 сформулировано со свободой любого определения и, безусловно, эффективно (без необходимости классифицировать его как «четко определенное»), утверждение на шаге 2 должно быть доказано. То есть, $f$ является функцией тогда и только тогда, когда $A_{0}\cap A_{1}=\emptyset$ , в таком случае $f$ – как функция – четко определена. С другой стороны, если $A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset$ , то для $a\in A_{0}\cap A_{1}$ , у нас было бы это $(a,0)\in f$ и $(a,1)\in f$ , что делает бинарное отношение $f$ не функционально (как определено в разделе «Бинарное отношение#Специальные типы бинарных отношений ») и, следовательно, не вполне определено как функция. В просторечии «функция» $f$ также называется неоднозначным в точке $a$ никогда не существует (хотя по определению «двусмысленной функции»), и исходное «определение» бессмысленно.

Несмотря на эти тонкие логические проблемы, для «определений» такого рода довольно часто используется термин «определение» (без апострофов) по трем причинам:

Это удобное сокращение двухэтапного подхода.
Соответствующие математические рассуждения (т. е. шаг 2) одинаковы в обоих случаях.
В математических текстах утверждение верно «до 100%».

Независимость представителя [ править ]

Вопросы относительно корректности функции часто возникают, когда определяющее уравнение функции относится не только к самим аргументам, но и к элементам аргументов, выступающим представителями . Иногда этого невозможно избежать, когда аргументы являются смежными классами и когда уравнение относится к представителям смежных классов. Тогда результат применения функции не должен зависеть от выбора представителя.

Функции с одним аргументом [ править ]

Например, рассмотрим следующую функцию:

{\begin{matrix}f:&\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{8}&\mapsto &{\overline {n}}_{4},\end{matrix}}

где $n\in \mathbb {Z} ,m\in \{4,8\}$ и $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ целые числа по модулю m и ${\overline {n}}_{m}$ обозначает класс сравнения по n модулю m .

Примечание: ${\overline {n}}_{4}$ является ссылкой на элемент $n\in {\overline {n}}_{8}$ , и ${\overline {n}}_{8}$ это аргумент $f$ .

Функция $f$ четко определен, потому что:

n\equiv n'{\bmod {8}}\;\Leftrightarrow \;8{\text{ divides }}(n-n')\Rightarrow \;4{\text{ divides }}(n-n')\;\Leftrightarrow \;n\equiv n'{\bmod {4}}.

В качестве противоположного примера можно привести обратное определение:

{\begin{matrix}g:&\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{4}&\mapsto &{\overline {n}}_{8},\end{matrix}}

не приводит к четко определенной функции, поскольку, например, ${\overline {1}}_{4}$ равно ${\overline {5}}_{4}$ в $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ , но первое будет отображено $g$ к ${\overline {1}}_{8}$ , а второй будет сопоставлен с ${\overline {5}}_{8}$ , и ${\overline {1}}_{8}$ и ${\overline {5}}_{8}$ неравны в $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$ .

Операции [ править ]

В частности, термин «точно определенный» используется по отношению к (бинарным) операциям над смежными классами. В этом случае операцию можно рассматривать как функцию двух переменных, причем свойство корректности определения такое же, как и у функции. Например, сложение целых чисел по модулю некоторого n можно естественным образом определить в терминах сложения целых чисел.

[a]\oplus [b]=[a+b]

Тот факт, что это четко определено, следует из того, что мы можем написать любого представителя $[a]$ как $a+kn$ , где $k$ является целым числом. Поэтому,

[a]\oplus [b]=[a+kn]\oplus [b]=[(a+kn)+b]=[(a+b)+kn]=[a+b];

подобное справедливо для любого представителя $[b]$ , тем самым делая $[a+b]$ то же, независимо от выбора представителя.

Четко определенные обозначения [ править ]

Для действительных чисел произведение $a\times b\times c$ однозначно, потому что $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$ ; следовательно, обозначения называются корректными . ^[1]Это свойство, также известное как ассоциативность умножения, гарантирует, что результат не зависит от последовательности умножений; следовательно, спецификация последовательности может быть опущена. Операция вычитания неассоциативна; несмотря на это, существует соглашение, согласно которому $a-b-c$ это сокращение от $(a-b)-c$ , поэтому он считается «четко определенным». С другой стороны, Division неассоциативна, и в случае $a/b/c$ правила заключения в круглые скобки не совсем устоялись; поэтому это выражение часто считают неточно определенным.

В отличие от функций, неоднозначность обозначений можно преодолеть с помощью дополнительных определений (например, правил старшинства , ассоциативности оператора). Например, в языке программирования C оператор - для вычитания ассоциативно слева направо , что означает, что a-b-c определяется как (a-b)-cи оператор = для присваивания является ассоциативным справа налево , что означает, что a=b=c определяется как a=(b=c). ^[3] В языке программирования APL есть только одно правило: справа налево , но сначала скобки.

Другие варианты использования термина [ править ]

Решение уравнения в частных производных называется корректным, если оно непрерывно определяется граничными условиями при изменении этих граничных условий. ^[1]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Примечания [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик В. «Четкое определение» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 2 января 2013 г.
^ Джозеф Дж. Ротман, Теория групп: введение , с. 287 «… функция «однозначна», или, как мы предпочитаем говорить… функция четко определена », Аллин и Бэкон, 1965.
^ «Приоритет операторов и ассоциативность в C» . Гики для гиков . 07.02.2014 . Проверено 18 октября 2019 г.

Источники [ править ]

Современная абстрактная алгебра , Джозеф А. Галлиан, 6-е издание, Хафлин Миффлин, 2006 г., ISBN 0-618-51471-6 .
Алгебра: Глава 0 , Паоло Алуффи, ISBN 978-0821847817 . Страница 16.
Абстрактная алгебра , Даммит и Фут, 3-е издание, ISBN 978-0471433347 . Страница 1.

[MathWorld-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик В. «Четкое определение» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 2 января 2013 г.

[2] Джозеф Дж. Ротман, Теория групп: введение , с. 287 «… функция «однозначна», или, как мы предпочитаем говорить… функция четко определена », Аллин и Бэкон, 1965.

[3] «Приоритет операторов и ассоциативность в C» . Гики для гиков . 07.02.2014 . Проверено 18 октября 2019 г.

[1]

[2]

[3]