Не определено (математика)

В математике термин «неопределенный» часто используется для обозначения выражения, которому не присвоена интерпретация или значение (например, неопределенная форма , которая имеет возможность принимать разные значения). ^[1]Этот термин может принимать несколько различных значений в зависимости от контекста. Например:

В различных разделах математики некоторые понятия вводятся как примитивные понятия (например, термины « точка », « линия » и « плоскость » в геометрии ). Поскольку эти термины не определены с точки зрения других понятий, их можно называть «неопределенными терминами».
« функция Говорят, что неопределена» в точках за пределами ее области определения - например, функция с действительным знаком. $f(x)={\frac {1}{x}}$ не определено для $x=0$ .
В алгебре некоторые арифметические операции могут не придавать значения определенным значениям операндов (например, деление на ноль ). В этом случае выражения, включающие такие операнды, называются «неопределенными». ^[2]

Неопределенные термины [ править ]

В древние времена геометры пытались дать определение каждому термину. Например, Евклид определял точку как «то, что не имеет частей». В наше время математики осознают, что попытки дать определение каждому слову неизбежно приводят к круговым определениям , и поэтому оставляют некоторые термины (например, «точка») неопределенными ( см. Примитивное понятие подробнее ).

Этот более абстрактный подход позволяет делать плодотворные обобщения. В топологии топологическое пространство можно определить как набор точек, наделенных определенными свойствами, но в общих чертах природа этих «точек» остается совершенно неопределенной. Аналогично, в теории категорий категория состоит из « объектов » и «стрелок», которые опять же являются примитивными, неопределенными терминами. Это позволяет применять такие абстрактные математические теории к самым разнообразным конкретным ситуациям.

В арифметике [ править ]

Выражение ${\frac {n}{0}},n\neq 0$ не определено в арифметике, как это объясняется делением на ноль ( ${\frac {0}{0}}$ выражение используется в исчислении для обозначения неопределенной формы ).

Математики расходятся во мнениях относительно того, является ли $00$ должно быть определено равным 1 или оставлено неопределенным.

Значения, для которых функции не определены [ править ]

Набор чисел, для которых определена функция , называется областью определения функции. Если число не входит в область определения функции, говорят, что функция для этого числа «неопределена». Два распространенных примера: ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ , который не определен для $x=0$ , и $f(x)={\sqrt {x}}$ , который не определен (в действительной системе счисления) для отрицательных $x$ .

В тригонометрии [ править ]

В тригонометрии для всех $n\in \mathbb {Z}$ , функции $\tan \theta$ и $\sec \theta$ не определены для всех ${\textstyle \theta =\pi \left(n-{\frac {1}{2}}\right)}$ , а функции $\cot \theta$ и $\csc \theta$ не определены для всех $\theta =\pi n$ .

В комплексном анализе [ править ]

В комплексном анализе точка $z\in \mathbb {C}$ где голоморфная функция не определена, называется особенностью . Различают устранимые особенности (т. е. функцию можно голоморфно продолжить до $z$ ), полюса (т.е. функцию можно мероморфно продолжить до $z$ ) и существенные особенности (т. е. отсутствие мероморфного расширения на $z$ может существовать).

В теории вычислимости [ править ]

Обозначения с использованием ↓ и ↑ [ править ]

В теории вычислимости , если $f$ является частичной функцией на $S$ и $a$ является элементом $S$ , то это записывается как $f(a)\downarrow$ и читается как « f ( a ) определено ». ^[3]

Если $a$ не находится в области $f$ , то это записывается как $f(a)\uparrow$ и читается как " $f(a)$ не определен ».

Важно различать «логику существования» (стандартную) и «логику определенности». Обе стрелки не являются четко определенными как предикаты в логике существования, которая обычно использует семантику тотальных функций. Термин f(x) — это термин, который имеет некоторое значение, например $\emptyset$ , но в то же время $\emptyset$ может быть законным значением функции. Следовательно, предикат «определенный» не учитывает равенство, поэтому он не является четко определенным.

Логика определенности имеет другое исчисление предикатов, например, специализация формулы с квантором универсальности требует, чтобы термин был четко определен. $(\forall x:\varphi )\&(t\downarrow )\Longrightarrow \varphi [t/x]$ Более того, оно требует введения понятия квазиравенства, что делает необходимой переформулировку аксиом. ^[4]

Символы бесконечности [ править ]

В анализе , теории меры и других математических дисциплинах символ $\infty$ часто используется для обозначения бесконечного псевдочисла, а также его отрицательного значения. $-\infty$ . Сам по себе этот символ не имеет четко определенного значения, а представляет собой выражение типа $\left\{a_{n}\right\}\rightarrow \infty$ является сокращением для расходящейся последовательности , которая в какой-то момент в конечном итоге превышает любое заданное действительное число.

Выполнение стандартных арифметических операций с символами $\pm \infty$ является неопределенным. Однако некоторые расширения определяют следующие соглашения о сложении и умножении:

$x+\infty =\infty$ для всех $x\in \mathbb {R} \cup \{\infty \}$ .
$-\infty +x=-\infty$ для всех $x\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \}$ .
$x\cdot \infty =\infty$ для всех $x\in \mathbb {R} ^{+}$ .

Нет разумного расширения сложения и умножения с помощью $\infty$ существует в следующих случаях:

$\infty -\infty$
$0\cdot \infty$ (хотя в теории меры это часто определяют как $0$ )
${\frac {\infty }{\infty }}$
$-\infty [{1(0)}]$

Подробнее см. расширенную строку действительных чисел .

Ссылки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Не определено» . mathworld.wolfram.com . Проверено 15 декабря 2019 г.
^ Богомольный, Александр . «Неопределенное и неопределенное в математике» . Разрезать узел . Проверено 15 декабря 2019 г.
^ Эндертон, Герберт Б. (2011). Вычислимость: введение в теорию рекурсии . Эльзевейер. стр. 3–6. ISBN 978-0-12-384958-8 .
^ Фармер, Уильям М.; Гуттман, Джошуа Д. (октябрь 2000 г.). «Теория множеств с поддержкой частичных функций» (PDF) . Студия Логика . 66 (1, Частичность и модальность): 59–78.

Дальнейшее чтение [ править ]

Смарт, Джеймс Р. (1988). Современные геометрии (Третье изд.). Брукс/Коул. ISBN 0-534-08310-2 .

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Не определено» . mathworld.wolfram.com . Проверено 15 декабря 2019 г.

[2] Богомольный, Александр . «Неопределенное и неопределенное в математике» . Разрезать узел . Проверено 15 декабря 2019 г.

[3] Эндертон, Герберт Б. (2011). Вычислимость: введение в теорию рекурсии . Эльзевейер. стр. 3–6. ISBN 978-0-12-384958-8 .

[4] Фармер, Уильям М.; Гуттман, Джошуа Д. (октябрь 2000 г.). «Теория множеств с поддержкой частичных функций» (PDF) . Студия Логика . 66 (1, Частичность и модальность): 59–78.

[1]

[2]

[3]

[4]