Ноль в степени нуля

Ноль в нулевой степени , обозначается $00$ , — это математическое выражение , которое либо определено как 1, либо оставлено неопределенным , в зависимости от контекста. В алгебре и комбинаторике обычно определяют $00 = 1$ . В математическом анализе выражение иногда остается неопределенным. Языки программирования и программное обеспечение также имеют разные способы обработки этого выражения.

Дискретные показатели [ править ]

Многие широко используемые формулы, включающие показатели степени натуральных чисел, требуют $00$ определить как $1$ . Например, следующие три интерпретации $b 0$ имеют такой же смысл для $b = 0,$ как и для натуральных чисел $b$ :

Толкование $б 0$ поскольку пустой продукт присваивает ему значение $1$ .
интерпретация Комбинаторная b $ 0$ — количество 0-кортежей элементов из $набора b$ -элементов; существует ровно один 0-кортеж.
Теоретико -множественная интерпретация $b 0$ – количество функций из пустого множества в $набор b$ -элементов; существует ровно одна такая функция, а именно пустая функция . ^[1]

Все три из них специализируются на том, чтобы дать $00 = 1$ .

и ряды степенные Полиномы

При оценке полиномов удобно определить $00$ как $1$ . (Вещественный) многочлен — это выражение вида $a 0 x 0 + \cdot\cdot\cdot + а н х н$ , где $x$ – неопределенное число, а коэффициенты $a i$ – действительные числа . Полиномы складываются почленно и умножаются с применением закона распределения и обычных правил для показателей. С помощью этих операций многочлены образуют кольцо $R [x]$ . Мультипликативным тождеством R $x [] x$ многочлен $является 0$ ; то есть $х 0$ раз любой многочлен $p (x)$ равен просто $p (x)$ . ^[2] Кроме того, полиномы можно оценить, присвоив $x$ вещественное число. Точнее, для любого данного действительного числа $r$ существует единственный $гомоморфизм R$ -алгебры $с единицей ev r : R [x] \to R$ такой, что $ev r (x) = r$ . Поскольку $ev r$ унитарен, $ev r (x 0) = 1$ . То есть, $р 0 = 1$ для каждого действительного числа $r$ , включая 0. Тот же аргумент применим и при $замене R$ любым кольцом . ^[3]

Определение $00 = 1$ необходимо для многих полиномиальных тождеств. Например, биномиальная теорема $(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}$ справедливо для $x = 0,$ только если $00 = 1$ . ^[4]

Аналогично, кольца степенных рядов требуют $x 0$ быть определен как 1 для всех специализаций $x$ . Например, такие тождества, как ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$ и $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ справедливо для $x = 0,$ только если $00 = 1$ . ^[5]

Чтобы многочлен $x 0$ чтобы определить непрерывную функцию $R \to R$ , необходимо определить $00 = 1$ .

В исчислении степени правило ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$ справедливо для $n = 1$ при $x = 0,$ только если $00 = 1$ .

Непрерывные показатели [ править ]

График $z = x и$ . Красные кривые (с $константой z$ ) дают разные пределы, когда $(x, y)$ приближается к $(0, 0)$ . Все зеленые кривые (с конечным постоянным наклоном, $y = ax$ ) дают предел $1$ .

Пределы, включающие алгебраические операции, часто можно оценить, заменив подвыражения их пределами; если результирующее выражение не определяет исходный предел, выражение известно как неопределенная форма . ^[6] Выражение $00$ является неопределенной формой: для данных вещественных функций $f (t)$ и $g (t)$ приближающихся к $0$ (поскольку $t$ приближается к действительному числу или $\pm\infty$ ) с $f (t) > 0$ , предел $f (t) г (т)$ может быть любым неотрицательным действительным числом или $+\infty$ или может расходиться , в зависимости от $f$ и $g$ . Например, каждый предел ниже включает функцию $f (t) г (т)$ с $f (т), г (т) \to 0$ при $т \to 0 +$ ( односторонний предел ), но их значения различны: $\lim _{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,$ $\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t^{2}}\right)^{t}=0,$ $\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t^{2}}\right)^{-t}=+\infty ,$ $\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t}\right)^{at}=e^{-a}.$

Таким образом, функция двух переменных $x и$ , хотя и непрерывна на множестве ${(x, y) : x > 0}$ , не может быть расширена до непрерывной функции на множестве ${(x, y) : x > 0} \cup {(0, 0)}$ , как бы ни решает определить $00$ . ^[7]

С другой стороны, если $f$ и $g$ — аналитические функции в открытой окрестности числа $c$ , то $f (t) г (т) \to 1,$ когда $t$ приближается $к c$ с любой стороны, на которой $f$ положительно. ^[8]Этот и более общие результаты можно получить, изучая предельное поведение функции $\log(f(t)^{g(t)})=g(t)\log f(t)$ . ^[9]^[10]

Комплексные показатели [ править ]

В комплексной области функция $z В$ может быть определен для ненулевого $z,$ ветвь log z $выбрав и$ определив $z В$ как $и в журнале z$ . Это не определяет $0 В$ поскольку не существует ветви $log z,$ определенной в точке $z = 0$ , не говоря уже о окрестности $0$ . ^[11]^[12]^[13]

История [ править ]

Как значение [ править ]

В 1752 году Эйлер во «Введении к анализу бесконечно малых» написал $, что 0 = 1$ ^[14] и прямо упомянул, что $00 = 1$ . ^[15] Аннотация, приписываемая ^[16] Маскерони . в издании 1787 года книги Эйлера Institutiones Calculus Differentialis ^[17] предложил «обоснование» $0^{0}=(a-a)^{n-n}={\frac {(a-a)^{n}}{(a-a)^{n}}}=1$ а также еще одно, более сложное оправдание. В 1830-е годы Либри ^[18]^[16] опубликовал еще несколько аргументов, пытаясь обосновать это утверждение $00 = 1$ , хотя это было далеко не убедительно даже по стандартам строгости того времени. ^[19]

В качестве ограничительной формы [ править ]

Эйлер, при установке $00 = 1$ , отметил, что, следовательно, значения функции $0 х$ сделайте «огромный скачок» от $\infty$ для $x < 0$ до $1$ при $x = 0$ и до $0$ для $x > 0$ . ^[14]В 1814 году Пфафф использовал аргумент теоремы о сжатии, чтобы доказать, что $x х \to 1$ при $x \to 0 +$ . ^[8]

С другой стороны, в 1821 г. Коши ^[20] объяснил, почему предел $x и$ Поскольку положительные числа $x$ и $y$ приближаются к $0,$ будучи ограничены некоторым фиксированным соотношением, можно заставить принимать любое значение от $0$ до $\infty,$ выбрав соответствующее отношение. Он пришел к выводу, что предел полной двух переменных функции $x и$ без указанного ограничения является «неопределенным». С этим обоснованием он перечислил $00$ наряду с такими выражениями, как $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 0/0 ⁠ в .$ таблице неопределенных форм

Очевидно, не зная о работе Коши, Мёбиус ^[8] в 1834 году, основываясь на аргументе Пфаффа, ошибочно утверждал, что $f (x) г (х) \to 1$ всякий раз, когда $f (x), g (x) \to 0$ , когда $x$ приближается к числу $c$ (предположительно, $f$ считается положительным вдали от $c$ ). Мёбиус свелся к случаю $c = 0$ , но затем допустил ошибку, предположив, что каждое из $f$ и $g$ можно выразить в виде $Px н$ для некоторой непрерывной функции $P,$ не обращающейся в нуль в точке $0$ , и некоторого неотрицательного целого числа $n$ , что верно для аналитических функций, но не в общем случае. Анонимный комментатор указал на неоправданность шага; ^[21] затем другой комментатор, подписавшийся просто как «С», привел явные контрпримеры $(например, -1/ х) х \to и -1$ и $(е -1/ х) 2 2x \to и -2$ при $х \to 0 +$ и выразил ситуацию, написав, что « $00$ может иметь много разных значений». ^[21]

Текущая ситуация [ править ]

Некоторые авторы определяют $00$ как $1,$ потому что это упрощает многие утверждения теорем. По словам Бенсона (1999), «выбор, определять ли $00$ основано на удобстве, а не на правильности. Если мы воздержимся от определения $00$ , то некоторые утверждения становятся излишне неуклюжими. ... Консенсус состоит в том, чтобы использовать определение $00 = 1$ , хотя есть учебники, которые воздерживаются от определения $00$ ." ^[22] Кнут (1992) более решительно утверждает, что $00$ " должно быть $1$ "; он проводит различие между значением $00$ , который должен равняться $1$ , и предельной форме $00$ (аббревиатура предела $f (t) г (т)$ где $f (t), g (t) \to 0$ ), что является неопределенной формой: «И Коши, и Либри были правы, но Либри и его защитники не поняли, почему истина была на их стороне». ^[19]
Другие авторы оставляют $00$ не определено, потому что $00$ является неопределенной формой: $f (t), g (t) \to 0$ не влечет за собой $f (t) г (т) \to 1$ . ^[23]^[24]

Кажется, нет авторов, присваивающих $00$ определенное значение, отличное от 1. ^[22]

Лечение на компьютерах [ править ]

Стандарт IEEE с плавающей запятой [ править ]

Стандарт IEEE 754-2008 с плавающей запятой используется при разработке большинства библиотек с плавающей запятой. Он рекомендует ряд операций для вычисления мощности: ^[25]

pown (экспонента которого является целым числом) обрабатывает $00$ как $1$ ; см. § Дискретные показатели .
pow (чье намерение состоит в том, чтобы вернуть результат, отличный от NaN , когда показатель степени является целым числом, например pown) угощает $00$ как $1$ .
powr угощения $00$ как NaN (не число) из-за неопределенной формы; см. § Непрерывные показатели .

The pow вариант вдохновлен pow функция от C99 , в основном для совместимости. ^[26] Это полезно в основном для языков с одной степенной функцией. pown и powr варианты были введены из-за противоречивого использования степенных функций и разных точек зрения (как указано выше). ^[27]

Языки программирования [ править ]

Стандарты C и C++ не указывают результат $0. 0$ (может возникнуть ошибка домена). Но для C, начиная с C99 , если нормативное поддерживается $приложение F, результат для реальных типов с плавающей запятой должен быть равен 1,$ поскольку существуют важные приложения, для которых это значение более полезно, чем NaN. ^[28] (например, с дискретными показателями ); результат по сложным типам не указывается, даже если поддерживается информативное приложение G. Стандарт Java , ^[29] метод .NET Framework System.Math.Pow, ^[30] Джулия и Питон ^[31]^[32] также лечить $00$ как $1$ . Некоторые языки документируют, что их операция возведения в степень соответствует pow функция из математической библиотеки C ; относится к Lua это ^ оператор ^[33] и Perl ** оператор ^[34] (где явно указано, что результат 0**0 зависит от платформы).

и научное Математическое обеспечение программное

Р , ^[35] МудрецМатематика , ^[36] и ПАРИ/ГП ^[37] оценить $х 0$ до $1$ . Математика ^[38] упрощает $х 0$ до $1,$ не наложено никаких ограничений $даже если на x$ ; однако, если $00$ вводится напрямую, это рассматривается как ошибка или неопределенность. Математика ^[38] и ПАРИ/ГП ^[37]^[39] далее различайте целые значения и значения с плавающей запятой: если показатель степени является нулем целочисленного типа, они возвращают 1 $типа$ основания; возведение в степень с показателем степени с плавающей запятой, равным нулю, рассматривается как неопределенное, неопределенное или ошибочное.

См. также [ править ]

0/0

Ссылки [ править ]

^ Бурбаки, Николя (2004). «III.§3.5». Элементы математики, Теория множеств . Спрингер-Верлаг .
^ Бурбаки, Николя (1970). «§III.2 № 9». Алгебра . Спрингер . Единственный моном степени $0$ является единичным элементом $A [(X i) i \in I]$ ; его часто отождествляют с единичным элементом $1$ из $A$
^ Бурбаки, Николя (1970). «§IV.1 № 3». Алгебра . Спрингер .
^ Грэм, Рональд ; Кнут, Дональд ; Паташник, Орен (5 января 1989 г.). «Биномиальные коэффициенты». Конкретная математика (1-е изд.). Аддисон-Уэсли Лонгман Паблишинг Ко. с. 162. ИСБН 0-201-14236-8 . В некоторых учебниках оставляют количество $0. 0$ не определено, поскольку функции $x 0$ и $0 х$ имеют разные предельные значения при $уменьшении x$ до 0. Но это ошибка. Мы должны определить $x 0 = 1$ для всех $x$ , если биномиальная теорема должна быть справедливой, когда $x = 0$ , $y = 0$ и/или $x = - y$ . Биномиальная теорема слишком важна, чтобы ее можно было произвольно ограничивать! Напротив, функция $0 х$ совершенно неважно.
^ Вон, Герберт Э. (1970). «Выражение $00$ «. Учитель математики . 63 : 111–112.
^ Малик, Южная Каролина; Арора, Савита (1992). Математический анализ . Нью-Йорк, США: Уайли. п. 223. ИСБН 978-81-224-0323-7 . В общем случае предел $φ (x)/ ψ (x)$ , когда $x = a,$ в случае существования пределов обеих функций, равен пределу числителя, разделенного на знаменатель. Но что происходит, когда оба предела равны нулю? Тогда деление ( $0/0$ ) становится бессмысленным. Подобный случай известен как неопределенная форма. Другими такими формами являются $\infty/\infty$ , $0 \times \infty$ , $\infty - \infty$ , $00$ , $1 \infty$ и $\infty 0$ .
^ Пейдж, LJ (март 1954 г.). «Заметка о неопределенных формах». Американский математический ежемесячник . 61 (3): 189–190. дои : 10.2307/2307224 . JSTOR 2307224 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Мёбиус, А. Ф. (1834 г.). «Доказательство уравнения $00 = 1$ , nach JF Pfaff" [Доказательство уравнения $00 = 1$ по Дж. Ф. Пфаффу]. Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке). 1834 (12): 134–136. дои : 10.1515/crll.1834.12.134 . S2CID 199547186 .
^ Бэксли, Джон В.; Хаяши, Элмер К. (июнь 1978 г.). «Неопределенные формы экспоненциального типа» . Американский математический ежемесячник . 85 (6): 484–486. дои : 10.2307/2320074 . JSTOR 2320074 . Проверено 23 ноября 2021 г.
^ Сяо, Джинсен; Хэ, Цзяньсюнь (декабрь 2017 г.). «О неопределенных формах экспоненциального типа» . Журнал «Математика» . 90 (5): 371–374. дои : 10.4169/math.mag.90.5.371 . JSTOR 10.4169/math.mag.90.5.371 . S2CID 125602000 . Проверено 23 ноября 2021 г.
^ Кэрриер, Джордж Ф.; Крук, Макс; Пирсон, Карл Э. (2005). Функции комплексной переменной: теория и методика . п. 15. ISBN 0-89871-595-4 . Поскольку $log(0)$ не существует, $0 С$ является неопределенным. Для $Re(z) > 0$ мы определяем его произвольно как $0$ .
^ Гонсалес, Марио (1991). Классический комплексный анализ . Чепмен и Холл . п. 56. ИСБН 0-8247-8415-4 . Для $z = 0$ , $w \neq 0$ определим $0 В = 0$ , а $00$ не определяется.
^ Мейерсон, Марк Д. (июнь 1996 г.). " $Х х$ Шпиндель». Журнал Mathematics . Том 69, № 3. С. 198–206. doi : 10.1080/0025570X.1996.11996428 . ... Начнем с $x = 0.$ Здесь $x х$ является неопределенным.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эйлер, Леонард (1988). «Глава 6, §97». Введение в анализ бесконечного, Книга 1 . Перевод Блэнтона, Дж. Д. Спрингера. п. 75. ИСБН 978-0-387-96824-7 .
^ Эйлер, Леонард (1988). «Глава 6, §99». Введение в анализ бесконечного, Книга 1 . Перевод Блэнтона, Дж. Д. Спрингера. п. 76. ИСБН 978-0-387-96824-7 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Либри, Гийом (1833). «Mémoire sur les fonctions прекращается» . Журнал чистой и прикладной математики (на французском языке). 1833 (10): 303–316. дои : 10.1515/crll.1833.10.303 . S2CID 121610886 .
^ Эйлер, Леонард (1787). Институты дифференциального исчисления, Vol. 2 . Тичини ISBN 978-0-387-96824-7 .
^ Либри, Гийом (1830). «Примечание по значениям функции $0 0 х$ ". Журнал чистой и прикладной математики (на французском языке). 1830 (6): 67–72. doi : 10.1515/crll.1830.6.67 . S2CID 121706970 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Кнут, Дональд Э. (1992). «Два примечания к обозначениям». Американский математический ежемесячник . 99 (5): 403–422. arXiv : математика/9205211 . Бибкод : 1992math......5211K . дои : 10.1080/00029890.1992.11995869 .
^ Коши, Огюстен-Луи (1821), Курс анализа Королевской политехнической школы , Полное собрание сочинений: 2 (на французском языке), том. 3, с. 65–69
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Аноним (1834 г.). «Замечания к статье «Доказательство уравнения $0» 0 = 1$ , nach JF Pfaff" " [Замечания к сочинению "Доказательство уравнения $00 = 1$ , по данным Дж. Ф. Пфаффа». Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке). 1834 (12): 292–294. doi : 10.1515/crll.1834.12.292 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бенсон, Дональд К. (1999). Написано в Нью-Йорке, США. Момент доказательства: математические прозрения . Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета . п. 29. ISBN 978-0-19-511721-9 .
^ Эдвардс; Пенни (1994). Исчисление (4-е изд.). Прентис-Холл . п. 466.
^ Киди; Биттингер; Смит (1982). Алгебра Два . Аддисон-Уэсли . п. 32.
^ Мюллер, Жан-Мишель; Бризебар, Николя; де Динешен, Флоран; Жаннерод, Клод-Пьер; Лефевр, Винсент; Мелькионд, Гийом; Револь, Натали ; Стеле, Дэмиен; Торрес, Серж (2010). Справочник по арифметике с плавающей запятой (1-е изд.). Биркхаузер . п. 216. дои : 10.1007/978-0-8176-4705-6 . ISBN 978-0-8176-4704-9 . LCCN 2009939668 . S2CID 5693480 . ISBN 978-0-8176-4705-6 (онлайн), ISBN 0-8176-4704-X (печать)
^ «Более трансцендентальные вопросы» . grouper.ieee.org . Архивировано из оригинала 14 ноября 2017 г. Проверено 27 мая 2019 г. (Примечание. Начало обсуждения функций мощности для пересмотра стандарта IEEE 754, май 2007 г.)
^ «Re: Расплывчатая спецификация» . grouper.ieee.org . Архивировано из оригинала 14 ноября 2017 г. Проверено 27 мая 2019 г. (Примечание. Предложение вариантов в обсуждении функций мощности для пересмотра стандарта IEEE 754, май 2007 г.)
^ Обоснование международного стандарта — Языки программирования — C (PDF) (Отчет). Версия 5.10. Апрель 2003. с. 182.
^ «Математика (Java Platform SE 8) pow» . Оракул.
^ «Метод Math.Pow библиотеки классов .NET Framework» . Майкрософт.
^ «Встроенные типы — документация Python 3.8.1» . Проверено 25 января 2020 г. Python определяет мощность (0, 0) и 0 ** 0 = $1$ , как это принято в языках программирования.
^ «math — Математические функции — Документация Python 3.8.1» . Проверено 25 января 2020 г. В исключительных случаях, насколько это возможно, следуйте приложению F стандарта C99. В частности, мощность(1.0, х) и pow(x, 0.0) всегда возвращает 1.0, даже если х — ноль или а НаН .
^ «Справочное руководство по Lua 5.3» . Проверено 27 мая 2019 г.
^ «perlop – Возведение в степень» . Проверено 27 мая 2019 г.
^ Основная команда R (11 июня 2023 г.). «R: Язык и среда для статистических вычислений - Справочный указатель» (PDF) . Версия 4.3.0. п. 25 . Проверено 22 ноября 2019 г. 1 ^ y и y ^ 0 всегда 1.
^ Команда разработчиков Sage (2020). «Справочное руководство Sage 9.2: Стандартные коммутативные кольца. Элементы кольца Z целых чисел» . Проверено 21 января 2021 г. Для совместимости с Python и MPFR 0^0 определяется как 1 в Sage.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «pari.git/commitdiff – 10- x ^ t_FRAC: по возможности возвращайте точный результат; например, 4^(1/2) теперь равно 2» . Проверено 10 сентября 2018 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «Документация по языку и системе Wolfram: Мощность» . Вольфрам . Проверено 2 августа 2018 г.
^ Группа ПАРИ (2018). «Руководство пользователя PARI/GP (версия 2.11.0)» (PDF) . стр. 10, 122 . Проверено 4 сентября 2018 г. Существует также оператор возведения в степень ^, когда показатель степени имеет целочисленный тип; в противном случае она рассматривается как трансцендентная функция. ... Если показатель степени $n$ является целым числом, то точные операции выполняются с использованием методов двоичного (сдвига влево) возведения в степень. ... Если показатель степени $n$ не является целым числом, возведение в степень рассматривается как трансцендентная функция $exp(n log x)$ .

Внешние ссылки [ править ]

[Bourbaki-1] Бурбаки, Николя (2004). «III.§3.5». Элементы математики, Теория множеств . Спрингер-Верлаг .

[Bourbaki_1970_1-2] Бурбаки, Николя (1970). «§III.2 № 9». Алгебра . Спрингер . Единственный моном степени $0$ является единичным элементом $A [(X i) i \in I]$ ; его часто отождествляют с единичным элементом $1$ из $A$

[Bourbaki_1970_2-3] Бурбаки, Николя (1970). «§IV.1 № 3». Алгебра . Спрингер .

[T4n3B-4] Грэм, Рональд ; Кнут, Дональд ; Паташник, Орен (5 января 1989 г.). «Биномиальные коэффициенты». Конкретная математика (1-е изд.). Аддисон-Уэсли Лонгман Паблишинг Ко. с. 162. ИСБН 0-201-14236-8 . В некоторых учебниках оставляют количество $0. 0$ не определено, поскольку функции $x 0$ и $0 х$ имеют разные предельные значения при $уменьшении x$ до 0. Но это ошибка. Мы должны определить $x 0 = 1$ для всех $x$ , если биномиальная теорема должна быть справедливой, когда $x = 0$ , $y = 0$ и/или $x = - y$ . Биномиальная теорема слишком важна, чтобы ее можно было произвольно ограничивать! Напротив, функция $0 х$ совершенно неважно.

[8sCon-5] Вон, Герберт Э. (1970). «Выражение $00$ «. Учитель математики . 63 : 111–112.

[TUZ95-6] Малик, Южная Каролина; Арора, Савита (1992). Математический анализ . Нью-Йорк, США: Уайли. п. 223. ИСБН 978-81-224-0323-7 . В общем случае предел $φ (x)/ ψ (x)$ , когда $x = a,$ в случае существования пределов обеих функций, равен пределу числителя, разделенного на знаменатель. Но что происходит, когда оба предела равны нулю? Тогда деление ( $0/0$ ) становится бессмысленным. Подобный случай известен как неопределенная форма. Другими такими формами являются $\infty/\infty$ , $0 \times \infty$ , $\infty - \infty$ , $00$ , $1 \infty$ и $\infty 0$ .

[Cbfum-7] Пейдж, LJ (март 1954 г.). «Заметка о неопределенных формах». Американский математический ежемесячник . 61 (3): 189–190. дои : 10.2307/2307224 . JSTOR 2307224 .

[Möbius1834-8] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Мёбиус, А. Ф. (1834 г.). «Доказательство уравнения $00 = 1$ , nach JF Pfaff" [Доказательство уравнения $00 = 1$ по Дж. Ф. Пфаффу]. Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке). 1834 (12): 134–136. дои : 10.1515/crll.1834.12.134 . S2CID 199547186 .

[9] Бэксли, Джон В.; Хаяши, Элмер К. (июнь 1978 г.). «Неопределенные формы экспоненциального типа» . Американский математический ежемесячник . 85 (6): 484–486. дои : 10.2307/2320074 . JSTOR 2320074 . Проверено 23 ноября 2021 г.

[10] Сяо, Джинсен; Хэ, Цзяньсюнь (декабрь 2017 г.). «О неопределенных формах экспоненциального типа» . Журнал «Математика» . 90 (5): 371–374. дои : 10.4169/math.mag.90.5.371 . JSTOR 10.4169/math.mag.90.5.371 . S2CID 125602000 . Проверено 23 ноября 2021 г.

[04zJ8-11] Кэрриер, Джордж Ф.; Крук, Макс; Пирсон, Карл Э. (2005). Функции комплексной переменной: теория и методика . п. 15. ISBN 0-89871-595-4 . Поскольку $log(0)$ не существует, $0 С$ является неопределенным. Для $Re(z) > 0$ мы определяем его произвольно как $0$ .

[W1ue5-12] Гонсалес, Марио (1991). Классический комплексный анализ . Чепмен и Холл . п. 56. ИСБН 0-8247-8415-4 . Для $z = 0$ , $w \neq 0$ определим $0 В = 0$ , а $00$ не определяется.

[rYFno-13] Мейерсон, Марк Д. (июнь 1996 г.). " $Х х$ Шпиндель». Журнал Mathematics . Том 69, № 3. С. 198–206. doi : 10.1080/0025570X.1996.11996428 . ... Начнем с $x = 0.$ Здесь $x х$ является неопределенным.

[Euler-14] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эйлер, Леонард (1988). «Глава 6, §97». Введение в анализ бесконечного, Книга 1 . Перевод Блэнтона, Дж. Д. Спрингера. п. 75. ИСБН 978-0-387-96824-7 .

[UzqFL-15] Эйлер, Леонард (1988). «Глава 6, §99». Введение в анализ бесконечного, Книга 1 . Перевод Блэнтона, Дж. Д. Спрингера. п. 76. ИСБН 978-0-387-96824-7 .

[Libri1833-16] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Либри, Гийом (1833). «Mémoire sur les fonctions прекращается» . Журнал чистой и прикладной математики (на французском языке). 1833 (10): 303–316. дои : 10.1515/crll.1833.10.303 . S2CID 121610886 .

[N3UF6-17] Эйлер, Леонард (1787). Институты дифференциального исчисления, Vol. 2 . Тичини ISBN 978-0-387-96824-7 .

[3QtOF-18] Либри, Гийом (1830). «Примечание по значениям функции $0 0 х$ ". Журнал чистой и прикладной математики (на французском языке). 1830 (6): 67–72. doi : 10.1515/crll.1830.6.67 . S2CID 121706970 .

[Knuth1992-19] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Кнут, Дональд Э. (1992). «Два примечания к обозначениям». Американский математический ежемесячник . 99 (5): 403–422. arXiv : математика/9205211 . Бибкод : 1992math......5211K . дои : 10.1080/00029890.1992.11995869 .

[PwNOb-20] Коши, Огюстен-Луи (1821), Курс анализа Королевской политехнической школы , Полное собрание сочинений: 2 (на французском языке), том. 3, с. 65–69

[S-21] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Аноним (1834 г.). «Замечания к статье «Доказательство уравнения $0» 0 = 1$ , nach JF Pfaff" " [Замечания к сочинению "Доказательство уравнения $00 = 1$ , по данным Дж. Ф. Пфаффа». Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке). 1834 (12): 292–294. doi : 10.1515/crll.1834.12.292 .

[Benson-22] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бенсон, Дональд К. (1999). Написано в Нью-Йорке, США. Момент доказательства: математические прозрения . Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета . п. 29. ISBN 978-0-19-511721-9 .

[vtShl-23] Эдвардс; Пенни (1994). Исчисление (4-е изд.). Прентис-Холл . п. 466.

[mfcsT-24] Киди; Биттингер; Смит (1982). Алгебра Два . Аддисон-Уэсли . п. 32.

[Muller_2010-25] Мюллер, Жан-Мишель; Бризебар, Николя; де Динешен, Флоран; Жаннерод, Клод-Пьер; Лефевр, Винсент; Мелькионд, Гийом; Револь, Натали ; Стеле, Дэмиен; Торрес, Серж (2010). Справочник по арифметике с плавающей запятой (1-е изд.). Биркхаузер . п. 216. дои : 10.1007/978-0-8176-4705-6 . ISBN 978-0-8176-4704-9 . LCCN 2009939668 . S2CID 5693480 . ISBN 978-0-8176-4705-6 (онлайн), ISBN 0-8176-4704-X (печать)

[AFaJ2-26] «Более трансцендентальные вопросы» . grouper.ieee.org . Архивировано из оригинала 14 ноября 2017 г. Проверено 27 мая 2019 г. (Примечание. Начало обсуждения функций мощности для пересмотра стандарта IEEE 754, май 2007 г.)

[hVrIi-27] «Re: Расплывчатая спецификация» . grouper.ieee.org . Архивировано из оригинала 14 ноября 2017 г. Проверено 27 мая 2019 г. (Примечание. Предложение вариантов в обсуждении функций мощности для пересмотра стандарта IEEE 754, май 2007 г.)

[JJg1b-28] Обоснование международного стандарта — Языки программирования — C (PDF) (Отчет). Версия 5.10. Апрель 2003. с. 182.

[vH81X-29] «Математика (Java Platform SE 8) pow» . Оракул.

[DaiDu-30] «Метод Math.Pow библиотеки классов .NET Framework» . Майкрософт.

[AGCLB-31] «Встроенные типы — документация Python 3.8.1» . Проверено 25 января 2020 г. Python определяет мощность (0, 0) и 0 ** 0 = $1$ , как это принято в языках программирования.

[mbxdz-32] «math — Математические функции — Документация Python 3.8.1» . Проверено 25 января 2020 г. В исключительных случаях, насколько это возможно, следуйте приложению F стандарта C99. В частности, мощность(1.0, х) и pow(x, 0.0) всегда возвращает 1.0, даже если х — ноль или а НаН .

[regQj-33] «Справочное руководство по Lua 5.3» . Проверено 27 мая 2019 г.

[m5ocl-34] «perlop – Возведение в степень» . Проверено 27 мая 2019 г.

[ijVs7-35] Основная команда R (11 июня 2023 г.). «R: Язык и среда для статистических вычислений - Справочный указатель» (PDF) . Версия 4.3.0. п. 25 . Проверено 22 ноября 2019 г. 1 ^ y и y ^ 0 всегда 1.

[DIJz1-36] Команда разработчиков Sage (2020). «Справочное руководство Sage 9.2: Стандартные коммутативные кольца. Элементы кольца Z целых чисел» . Проверено 21 января 2021 г. Для совместимости с Python и MPFR 0^0 определяется как 1 в Sage.

[pari-commit-c2fac9a15-37] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «pari.git/commitdiff – 10- x ^ t_FRAC: по возможности возвращайте точный результат; например, 4^(1/2) теперь равно 2» . Проверено 10 сентября 2018 г.

[Wolfram-38] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «Документация по языку и системе Wolfram: Мощность» . Вольфрам . Проверено 2 августа 2018 г.

[5slbi-39] Группа ПАРИ (2018). «Руководство пользователя PARI/GP (версия 2.11.0)» (PDF) . стр. 10, 122 . Проверено 4 сентября 2018 г. Существует также оператор возведения в степень ^, когда показатель степени имеет целочисленный тип; в противном случае она рассматривается как трансцендентная функция. ... Если показатель степени $n$ является целым числом, то точные операции выполняются с использованием методов двоичного (сдвига влево) возведения в степень. ... Если показатель степени $n$ не является целым числом, возведение в степень рассматривается как трансцендентная функция $exp(n log x)$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]