Введение в анализ бесконечно малых

Число Эйлера е соответствует заштрихованной площади, равной 1, введенной в главе VII.

Введение в анализ бесконечно малых ( лат .: Введение в анализ бесконечного ) — двухтомный труд Леонарда Эйлера , в котором заложены основы математического анализа . Написанное на латыни и опубликованное в 1748 году, « Введение» содержит 18 глав в первой части и 22 главы во второй. Он имеет номера Энестрема E101 и E102.

Содержание

Глава 1 посвящена понятиям переменных и функций . В главе 4 представлены бесконечные ряды через рациональные функции .

По словам Хенка Боса ,

Введение задумано как обзор понятий и методов анализа и аналитической геометрии , предшествующий изучению дифференциального и интегрального исчисления. [Эйлер] превратил этот обзор в мастерское упражнение по введению как можно большего объема анализа без использования дифференцирования или интегрирования. В частности, он ввел элементарные трансцендентные функции, логарифм, показательную функцию, тригонометрические функции и обратные к ним, не прибегая к интегральному исчислению, что было немалым подвигом, поскольку логарифм традиционно был связан с квадратурой гиперболы и тригонометрическим числом. функции длины дуги окружности.

Эйлер совершил этот подвиг, введя возведение степень в ^Икс для произвольной константы a в положительных действительных числах . Он отметил, что отображение x таким образом является не алгебраической функцией , а скорее трансцендентной функцией . При a > 1 эти функции монотонно возрастают и образуют биекцию действительной прямой с положительными действительными числами. Тогда каждое основание a соответствует обратной функции, называемой логарифмом по основанию a в главе 6. В главе 7 Эйлер вводит e как число, гиперболический логарифм которого равен 1. Здесь имеется в виду Грегуар де Сент-Винсент , который выполнил квадратуру гиперболы y = 1/ x посредством описания гиперболического логарифма. В разделе 122 логарифм по основанию e называется «натуральным или гиперболическим логарифмом… поскольку квадратуру гиперболы можно выразить через эти логарифмы». Здесь он также дает показательный ряд:

$\exp(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{z^{k} \over k!}=1+z+{z^{2} \over 2}+{z^{3} \over 6}+{z^{4} \over 24}+\cdots$

Затем в главе 8 Эйлер готовится обратиться к классическим тригонометрическим функциям как к «трансцендентным величинам, возникающим из окружности». Он использует единичный круг и представляет формулу Эйлера . В главе 9 рассматриваются триномиальные множители в полиномах . Глава 16 посвящена разделам — теме теории чисел . Цепные дроби — тема главы 18.

Влияние

Карла Бенджамина Бойера В лекциях на Международном конгрессе математиков Эйлера сравнивалось 1950 года влияние «Введения» с влиянием « Евклида » Элементов , назвав «Элементы» главным учебником древних времен, а «Введение» «лучшим учебником современности». Бойер также писал:

Анализ Эйлера приближается к современной ортодоксальной дисциплине — изучению функций с помощью бесконечных процессов, особенно с помощью бесконечных рядов.

Сомнительно, чтобы какая-либо другая по существу дидактическая работа включала в себя столь же большую часть оригинального материала, который сохранился сегодня в курсах колледжа... Может быть сравнительно легко прочитан современным студентом... Прообраз современных учебников.

Английские переводы

Первый перевод на английский язык был сделан Джоном Д. Блэнтоном и опубликован в 1988 году. Второе, написанное Яном Брюсом, доступно в Интернете. Список изданий Introductio составил В. Фредерик Рики .

Ранние упоминания

Страница из «Введения в анализ бесконечностей» , 1748 г.

• JC Scriba (2007) обзор переиздания немецкого издания MR 1885 года 1983 года. 715928

на перевод Блэнтона

• Дору Стефанеску MR 1025504
• Марко Панса (2007) MR 2384380
• Рикардо Кинтеро Сасуэта (1999) MR 1823258
• Эрнст Хайрер и Герхард Ваннер (1996) Анализ по истории , глава 1, стр. 1–79, Тексты для студентов по математике № 70, ISBN   978-0-387-77036-9 МР 1410751