Метод Эйлера-Маруямы

В исчислении Ито метод Эйлера -Маруямы (также называемый просто методом Эйлера ) — это метод приближенного численного решения стохастического дифференциального уравнения (СДУ). Это расширение метода Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений на стохастические дифференциальные уравнения, названные в честь Леонарда Эйлера и Гисиро Маруямы . То же самое обобщение невозможно сделать для любого произвольного детерминированного метода. ^{[ 1 ]}

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение (см. исчисление Ито )

\mathrm {d} X_{t}=a(X_{t},t)\,\mathrm {d} t+b(X_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t},

с начальным условием X ₀ = x ₀ , где W _t обозначает винеровский процесс , и предположим, что мы хотим решить это СДУ на некотором интервале времени [0, T ]. Тогда приближением Эйлера–Маруямы к истинному решению X является цепь Маркова Y , определенная следующим образом:

Разобьем интервал [0, T ] на N равных подинтервалов шириной $\Delta t>0$ :

0=\tau _{0}<\tau _{1}<\cdots <\tau _{N}=T{\text{ and }}\Delta t=T/N;

Установить Y ₀ = х ₀
Рекурсивно определите Y _n для 0 ≤ n ≤ N-1 по формуле

\,Y_{n+1}=Y_{n}+a(Y_{n},\tau _{n})\,\Delta t+b(Y_{n},\tau _{n})\,\Delta W_{n},

где

\Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}.

Случайные величины Δ W _n являются независимыми и одинаково распределенными нормальными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием и дисперсией Δ t .

Пример

Численное моделирование

Областью, которая получила значительную выгоду от СДУ, является математическая биология . Поскольку многие биологические процессы носят как стохастический, так и непрерывный характер, численные методы решения СДУ очень ценны в этой области.

На рисунке изображено стохастическое дифференциальное уравнение, решенное с использованием метода Эйлера-Маруямы. Детерминированный аналог показан синим цветом.

Компьютерная реализация

Следующий код Python реализует метод Эйлера-Маруямы и использует его для решения процесса Орнштейна-Уленбека, определенного формулой

dY_{t}=\theta \cdot (\mu -Y_{t})\,{\mathrm {d} }t+\sigma \,{\mathrm {d} }W_{t}

Y_{0}=Y_{\mathrm {init} }.

Случайные числа для ${\mathrm {d} }W_{t}$ генерируются с использованием математического пакета NumPy .

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


class Model:
    """Stochastic model constants."""
    THETA = 0.7
    MU = 1.5
    SIGMA = 0.06


def mu(y: float, _t: float) -> float:
    """Implement the Ornstein–Uhlenbeck mu."""
    return Model.THETA * (Model.MU - y)


def sigma(_y: float, _t: float) -> float:
    """Implement the Ornstein–Uhlenbeck sigma."""
    return Model.SIGMA


def dW(delta_t: float) -> float:
    """Sample a random number at each call."""
    return np.random.normal(loc=0.0, scale=np.sqrt(delta_t))


def run_simulation():
    """ Return the result of one full simulation."""
    T_INIT = 3
    T_END = 7
    N = 1000  # Compute at 1000 grid points
    DT = float(T_END - T_INIT) / N
    TS = np.arange(T_INIT, T_END + DT, DT)
    assert TS.size == N + 1

    Y_INIT = 0

    ys = np.zeros(TS.size)
    ys[0] = Y_INIT
    for i in range(1, TS.size):
        t = T_INIT + (i - 1) * DT
        y = ys[i - 1]
        ys[i] = y + mu(y, t) * DT + sigma(y, t) * dW(DT)

    return TS, ys


def plot_simulations(num_sims: int):
    """ Plot several simulations in one image."""
    for _ in range(num_sims):
        plt.plot(*run_simulation())

    plt.xlabel("time")
    plt.ylabel("y")
    plt.show()


if __name__ == "__main__":
    NUM_SIMS = 5
    plot_simulations(NUM_SIMS)

Ниже приведен просто перевод приведенного выше кода на язык программирования MATLAB (R2019b) :

%% Initialization and Utility
close all;
clear all;

numSims = 5;            % display five runs
tBounds = [3 7];        % The bounds of t
N       = 1000;         % Compute at 1000 grid points
dt      = (tBounds(2) - tBounds(1)) / N ;
y_init  = 0;            % Initial y condition 


% Initialize the probability distribution for our
% random variable with mean 0 and stdev of sqrt(dt)
pd = makedist('Normal',0,sqrt(dt));

c = [0.7, 1.5, 0.06];   % Theta, Mu, and Sigma, respectively

ts = linspace(tBounds(1), tBounds(2), N); % From t0-->t1 with N points
ys = zeros(1,N);     % 1xN Matrix of zeros

ys(1) = y_init;
%% Computing the Process
for j = 1:numSims
    for i = 2:numel(ts)
        t = tBounds(1) + (i-1) .* dt;
        y = ys(i-1);
        mu      = c(1) .* (c(2) - y);
        sigma   = c(3);
        dW      = random(pd);
        
        ys(i) = y + mu .* dt + sigma .* dW;
    end
    figure;
    hold on;
    plot(ts, ys, 'o')
end

См. также

Ссылки

^ Клоден, П.Е. и Платен, Э. (1992). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений . Шпрингер, Берлин. ISBN 3-540-54062-8 .

[1] Клоден, П.Е. и Платен, Э. (1992). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений . Шпрингер, Берлин. ISBN 3-540-54062-8 .

[ 1 ]