Винеровский процесс

Винерский процесс

Функция плотности вероятности
Иметь в виду	$0$
Дисперсия	$\sigma ^{2}t$

Единственная реализация одномерного винеровского процесса

Единая реализация трехмерного винеровского процесса

В математике винеровский процесс — это действительный случайный с непрерывным временем, процесс названный в честь американского математика Норберта Винера за его исследования математических свойств одномерного броуновского движения. Его часто также называют броуновским движением из-за его исторической связи с одноименным физическим процессом, первоначально наблюдавшимся шотландским ботаником Робертом Брауном . Это один из самых известных процессов Леви ( случайные процессы со стационарными независимыми приращениями ), который часто встречается в чистой и прикладной математике , экономике , количественных финансах , эволюционной биологии и физике .

Винеровский процесс играет важную роль как в чистой, так и в прикладной математике. В чистой математике винеровский процесс дал начало изучению мартингалов с непрерывным временем . Это ключевой процесс, с помощью которого можно описать более сложные случайные процессы. По существу, он играет жизненно важную роль в стохастическом исчислении , диффузионных процессах и даже теории потенциала . Это движущий процесс эволюции Шрамма-Лёвнера . В прикладной математике винеровский процесс используется для представления интеграла белого шума гауссовского процесса и поэтому полезен в качестве модели шума в электронной технике (см. Броуновский шум ), ошибок приборов в теории фильтрации и возмущений в теории управления .

Винеровский процесс находит применение во всех математических науках. В физике он используется для изучения броуновского движения , диффузии мельчайших частиц, взвешенных в жидкости, и других типов диффузии с помощью уравнений Фоккера-Планка и Ланжевена . Он также формирует основу для строгой формулировки квантовой механики с использованием интеграла по траекториям ( по формуле Фейнмана-Каца решение уравнения Шредингера может быть представлено в терминах винеровского процесса) и изучения вечной инфляции в физической космологии . Это также заметно в математической теории финансов , в частности в модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза .

винеровского

Винеровский процесс $W_{t}$ характеризуется следующими свойствами:

1. $W_{0}=0$ почти наверняка
2. $W$ имеет независимые приращения : для каждого $t>0,$ будущие приращения $W_{t+u}-W_{t},$ $u\geq 0,$ независимы от прошлых ценностей $W_{s}$, $s<t.$
3. $W$ имеет гауссовы приращения: $W_{t+u}-W_{t}$ обычно распределяется со средним значением $0$ и дисперсия $u$, $W_{t+u}-W_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,u).$
4. $W$ почти наверняка имеет непрерывные пути: $W_{t}$ почти наверняка непрерывен в $t$.

Наличие независимых приращений процесса означает, что если 0 ⩽ s ₁ < t ₁ ⩽ s ₂ < t _2, то W _{t 1} − W _{s 1} и W _{t 2} − W _{s 2} являются независимыми случайными величинами, и аналогичное условие выполняется для n приращения.

Альтернативной характеристикой процесса Винера является так называемая характеристика Леви , которая гласит, что процесс Винера представляет собой почти наверняка непрерывный мартингал с W ₀ = 0 и квадратичной вариацией [ W _t , W _t ] = t (что означает, что W _t ² − t также является мартингалом).

Третья характеристика состоит в том, что винеровский процесс имеет спектральное представление в виде синусоидального ряда, коэффициенты которого являются независимыми N (0, 1) случайными величинами. Это представление можно получить с помощью теоремы Карунена–Лоэва .

Другой характеристикой винеровского процесса является определенный интеграл (от нулевого времени до момента t ) нулевого среднего, единичной дисперсии, дельта-коррелированного («белого») гауссовского процесса .

Винеровский процесс может быть построен как масштабный предел случайного блуждания или других случайных процессов с дискретным временем и стационарными независимыми приращениями. Это известно как теорема Донскера . Как и случайное блуждание, винеровский процесс рекуррентен в одном или двух измерениях (это означает, что он почти наверняка бесконечно часто возвращается в любую фиксированную окрестность начала координат), тогда как он не рекуррентен в измерениях три и выше (где многомерный винеровский процесс представляет собой процесс такой, что его координаты являются независимыми винеровскими процессами). В отличие от случайного блуждания, оно масштабно-инвариантно , что означает, что

$$\alpha ^{-1}W_{\alpha ^{2}t}$$

является винеровским процессом для любой ненулевой константы α . Мера Винера — это вероятностный закон в пространстве непрерывных функций g с g (0) = 0 , индуцированный винеровским процессом. Интеграл , основанный на мере Винера, можно назвать интегралом Винера .

как предел

Позволять $\xi _{1},\xi _{2},\ldots$ быть iid случайными величинами со средним значением 0 и дисперсией 1. Для каждого n определите случайный процесс с непрерывным временем

$$W_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{1\leq k\leq \lfloor nt\rfloor }\xi _{k},\qquad t\in [0,1].$$

Это случайная ступенчатая функция. Приращения $W_{n}$ независимы, поскольку $\xi _{k}$независимы. Для n больших $W_{n}(t)-W_{n}(s)$ близко к $N(0,t-s)$по центральной предельной теореме. Теорема Донскера утверждает, что поскольку $n\to \infty$, $W_{n}$ приближается к винеровскому процессу, который объясняет повсеместное распространение броуновского движения.

Свойства одномерного винеровского процесса

Пять выбранных процессов, ожидаемое стандартное отклонение выделено серым цветом.

Основные свойства

Безусловная функция плотности вероятности следует нормальному распределению со средним значением = 0 и дисперсией = t в фиксированный момент времени t :

$$f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/(2t)}.$$

Ожидание равно нулю:

$$\operatorname {E} [W_{t}]=0.$$

Дисперсия , если использовать вычислительную формулу, равна t :

$$\operatorname {Var} (W_{t})=t.$$

Эти результаты непосредственно следуют из определения, что приращения имеют нормальное распределение с центром в нуле. Таким образом

$$W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim N(0,t).$$

и

Ковариация и ( корреляция где $s\leq t$):

$${\begin{aligned}\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})&=s,\\\operatorname {corr} (W_{s},W_{t})&={\frac {\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {s}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {s}{t}}}.\end{aligned}}$$

Эти результаты следуют из определения, что непересекающиеся приращения независимы, и используется только то свойство, что они некоррелированы. Предположим, что $t_{1}\leq t_{2}$.

$$\operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\right].$$

Замена

$$W_{t_{2}}=(W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}}$$

мы приходим к:

$${\begin{aligned}\operatorname {E} [W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}})\right]\\&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]+\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right].\end{aligned}}$$

С $W_{t_{1}}=W_{t_{1}}-W_{t_{0}}$ и $W_{t_{2}}-W_{t_{1}}$ независимы,

$$\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]=\operatorname {E} [W_{t_{1}}]\cdot \operatorname {E} [W_{t_{2}}-W_{t_{1}}]=0.$$

Таким образом

$$\operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right]=t_{1}.$$

Следствие, полезное для моделирования, состоит в том, что мы можем написать для t ₁ < t ₂ :

$$W_{t_{2}}=W_{t_{1}}+{\sqrt {t_{2}-t_{1}}}\cdot Z$$

где Z — независимая стандартная нормальная переменная.

Представление Винера

Винер (1923) также дал представление броуновского пути в виде случайного ряда Фурье . Если $\xi _{n}$ являются независимыми гауссовыми переменными со средним нулем и дисперсией единица, то

$$W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \pi nt}{\pi n}}$$

и

$$W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}$$

представляют собой броуновское движение на $[0,1]$. Масштабируемый процесс

$${\sqrt {c}}\,W\left({\frac {t}{c}}\right)$$

является броуновским движением $[0,c]$ (см. теорему Карунена – Лёва ).

Максимум бега

Совместное распределение бегающего максимума

$$M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}$$

и W _t ​

$$f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,w\leq m.$$

Чтобы получить безусловное распределение $f_{M_{t}}$, проинтегрируем по −∞ < w ≤ m :

$${\begin{aligned}f_{M_{t}}(m)&=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]&={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,\end{aligned}}$$

функция плотности вероятности полунормального распределения . Ожидание является

$$\operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}$$

Если во время $t$ Винеровский процесс имеет известное значение $W_{t}$, можно вычислить условное распределение вероятностей максимума на интервале $[0,t]$(см. Распределение вероятностей крайних точек винеровского случайного процесса ). Кумулятивная функция распределения вероятностей максимального значения, обусловленная известным значением $W_{t}$, является:

$$\,F_{M_{W_{t}}}(m)=\Pr \left(M_{W_{t}}=\max _{0\leq s\leq t}W(s)\leq m\mid W(t)=W_{t}\right)=\ 1-\ e^{-2{\frac {m(m-W_{t})}{t}}}\ \,,\,\ \ m>\max(0,W_{t})$$

Самоподобие

Демонстрация броуновского масштабирования, показывающая $V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}$для уменьшения c . Обратите внимание, что средние характеристики функции не изменяются при увеличении масштаба, и обратите внимание, что по горизонтали она увеличивается в квадрате быстрее, чем по вертикали.

Броуновское масштабирование

Для каждого c > 0 процесс $V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}$ это еще один винеровский процесс.

Обратное время

Процесс $V_{t}=W_{1}-W_{1-t}$ для 0 ≤ t ≤ 1 распределяется как W _t для 0 ≤ t ≤ 1 .

Инверсия времени

Процесс $V_{t}=tW_{1/t}$ это еще один винеровский процесс.

инвариантность

Рассмотрим винеровский процесс $W(t)$, $t\in \mathbb {R}$, обусловленный так, что $\lim _{t\to \pm \infty }tW(t)=0$ (что справедливо почти наверняка) и как обычно $W(0)=0$. Тогда все винеровские процессы представляют собой следующие ( Takenaka 1988 ):

$${\begin{array}{rcl}W_{1,s}(t)&=&W(t+s)-W(s),\quad s\in \mathbb {R} \\W_{2,\sigma }(t)&=&\sigma ^{-1/2}W(\sigma t),\quad \sigma >0\\W_{3}(t)&=&tW(-1/t).\end{array}}$$

Таким образом, винеровский процесс инвариантен относительно проективной группы PSL(2,R) и генераторов группы. Действие элемента $g={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ является $W_{g}(t)=(ct+d)W\left({\frac {at+b}{ct+d}}\right)-ctW\left({\frac {a}{c}}\right)-dW\left({\frac {b}{d}}\right),$ которое определяет групповое действие в том смысле, что $(W_{g})_{h}=W_{gh}.$

инвариантность в

Позволять $W(t)$ быть двумерным винеровским процессом, рассматриваемым как комплексный процесс с $W(0)=0\in \mathbb {C}$. Позволять $D\subset \mathbb {C}$ быть открытым множеством, содержащим 0, и $\tau _{D}$ быть связано с марковским временем:

$$\tau _{D}=\inf\{t\geq 0|W(t)\not \in D\}.$$

Если $f:D\to \mathbb {C}$ — голоморфная функция , не являющаяся постоянной, такая, что $f(0)=0$, затем $f(W_{t})$ представляет собой изменяющийся во времени винеровский процесс в $f(D)$( Лоулер 2005 ). Точнее, процесс $Y(t)$ Винер в $D$ с марковским временем $S(t)$ где

$$Y(t)=f(W(\sigma (t)))$$

$$S(t)=\int _{0}^{t}|f'(W(s))|^{2}\,ds$$

$$\sigma (t)=S^{-1}(t):\quad t=\int _{0}^{\sigma (t)}|f'(W(s))|^{2}\,ds.$$

Класс

Если многочлен p ( x , t ) удовлетворяет уравнению в частных производных

$$\left({\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t)=0$$

тогда случайный процесс

$$M_{t}=p(W_{t},t)$$

это мартингейл .

Пример: $W_{t}^{2}-t$является мартингалом, который показывает, что вариация W квадратичная на [0, t ] равна t . Отсюда следует, что ожидаемое первого выхода W время из (− c , c ) равно c ² .

В более общем смысле, для каждого полинома p ( x , t ) следующий случайный процесс является мартингалом:

$$M_{t}=p(W_{t},t)-\int _{0}^{t}a(W_{s},s)\,\mathrm {d} s,$$

где а — полином

$$a(x,t)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t).$$

Пример: $p(x,t)=\left(x^{2}-t\right)^{2},$ $a(x,t)=4x^{2};$ процесс

$$\left(W_{t}^{2}-t\right)^{2}-4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s$$

является мартингалом, который показывает, что квадратичная вариация мартингала $W_{t}^{2}-t$ на [0, t ] равно

$$4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s.$$

О функциях p ( xa , t ), более общих, чем полиномы, см. локальные мартингалы .

Некоторые свойства примеров путей

Множество всех функций w с этими свойствами имеет полную винеровскую меру. То есть путь (выборочная функция) винеровского процесса почти наверняка обладает всеми этими свойствами.

Качественные свойства

• Для каждого ε > 0 функция w принимает как (строго) положительные, так и (строго) отрицательные значения на (0, ε).
• Функция w непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема (как и функция Вейерштрасса ).
• Для любого $\epsilon >0$, $w(t)$ почти наверняка нет $({\tfrac {1}{2}}+\epsilon )$- Гёльдер непрерывен и почти наверняка $({\tfrac {1}{2}}-\epsilon )$- Гельдер непрерывный.
• Точки локального максимума функции w представляют собой плотное счетное множество; максимальные значения попарно различны; каждый локальный максимум является острым в следующем смысле: если w имеет локальный максимум в точке t , то
  $$\lim _{s\to t}{\frac {|w(s)-w(t)|}{|s-t|}}\to \infty .$$
  То же самое справедливо и для локальных минимумов.
• Функция w не имеет точек локального возрастания, т. е. ни один t > 0 не удовлетворяет следующему условию для некоторого ε из (0, t ): во-первых, w ( s ) ⩽ w ( t ) для всех s из ( t − ε, t ) и, во-вторых, w ( s ) ≥ w ( t ) для всех s из ( t , t + ε). (Локальное увеличение является более слабым условием, чем условие w увеличения на ( t − ε , t + ε ).) То же самое справедливо и для локального убывания.
• Функция w имеет неограниченную вариацию на каждом интервале.
• Квадратичная вариация w на [0, t ] равна t .
• Нули функции w представляют собой нигде не плотное совершенное множество меры Лебега 0 и размерности Хаусдорфа 1/2 (следовательно, несчетное).

Количественные свойства

Закон повторного логарифма

$$\limsup _{t\to +\infty }{\frac {|w(t)|}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1,\quad {\text{almost surely}}.$$

Модуль непрерывности

Локальный модуль непрерывности:

$$\limsup _{\varepsilon \to 0+}{\frac {|w(\varepsilon )|}{\sqrt {2\varepsilon \log \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.$$

Глобальный модуль непрерывности (Леви):

$$\limsup _{\varepsilon \to 0+}\sup _{0\leq s<t\leq 1,t-s\leq \varepsilon }{\frac {|w(s)-w(t)|}{\sqrt {2\varepsilon \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.$$

размерности

Теоремы об удвоении размерности говорят, что размерность Хаусдорфа множества при броуновском движении почти наверняка удваивается.

Местное время

Образ меры Лебега на [0, t ] при отображении w ( мера прямого действия ) имеет плотность L _t . Таким образом,

$$\int _{0}^{t}f(w(s))\,\mathrm {d} s=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)L_{t}(x)\,\mathrm {d} x$$

для широкого класса функций f (а именно: всех непрерывных функций; всех локально интегрируемых функций; всех неотрицательных измеримых функций). Плотность L _t непрерывна (точнее, может и будет выбрана) непрерывной. Число L _t ( x ) называется локальным временем в точке x функции w на [0, t ]. Он строго положителен для всех x интервала ( a , b ), где a и b — наименьшее и наибольшее значение w на [0, t ] соответственно. (Для x вне этого интервала местное время, очевидно, исчезает.) Рассматриваемое как функция двух переменных x и t , локальное время все еще непрерывно. Рассматриваемое как функция от t (пока x фиксировано), локальное время является сингулярной функцией , соответствующей неатомарной мере на множестве нулей w .

Эти свойства непрерывности довольно нетривиальны. Учтите, что местное время также можно определить (как плотность прямой меры) для гладкой функции. Однако тогда плотность разрывна, если только данная функция не монотонна. Другими словами, существует конфликт между хорошим поведением функции и хорошим поведением ее локального времени. В этом смысле непрерывность локального времени винеровского процесса является еще одним проявлением негладкости траектории.

Скорость информации

Информационная скорость винеровского процесса относительно квадрата расстояния ошибки, т.е. его квадратичная функция искажения скорости , определяется выражением

$$R(D)={\frac {2}{\pi ^{2}\ln 2D}}\approx 0.29D^{-1}.$$

Поэтому невозможно закодировать $\{w_{t}\}_{t\in [0,T]}$ используя двоичный код размером менее $TR(D)$ бит и восстановить его с ожидаемой среднеквадратической ошибкой менее $D$. С другой стороны, для любого $\varepsilon >0$, Существует $T$ достаточно большой и двоичный код не более $2^{TR(D)}$ отдельные элементы, такие что ожидаемая среднеквадратическая ошибка при восстановлении $\{w_{t}\}_{t\in [0,T]}$ из этого кода не более $D-\varepsilon$.

Во многих случаях невозможно закодировать винеровский процесс без предварительной его выборки . Когда винеровский процесс дискретизируется через определенные промежутки времени $T_{s}$ прежде чем применять двоичный код для представления этих выборок, оптимальный компромисс между скоростью кода $R(T_{s},D)$ и ожидаемая среднеквадратическая ошибка $D$ (при оценке винеровского процесса с непрерывным временем) следует параметрическому представлению

$$R(T_{s},D_{\theta })={\frac {T_{s}}{2}}\int _{0}^{1}\log _{2}^{+}\left[{\frac {S(\varphi )-{\frac {1}{6}}}{\theta }}\right]d\varphi ,$$

$$D_{\theta }={\frac {T_{s}}{6}}+T_{s}\int _{0}^{1}\min \left\{S(\varphi )-{\frac {1}{6}},\theta \right\}d\varphi ,$$

где $S(\varphi )=(2\sin(\pi \varphi /2))^{-2}$ и $\log ^{+}[x]=\max\{0,\log(x)\}$. В частности, $T_{s}/6$ — среднеквадратическая ошибка, связанная только с операцией выборки (без кодирования).

Связанные процессы

Винеровские процессы со сносом ( синий ) и без сноса ( красный ).

2D винеровские процессы со сносом ( синий ) и без сноса ( красный ).

Генератор броуновского движения – это 1/2 В оператора раза больше Лапласа-Бельтрами . На изображении выше изображено броуновское движение на специальном многообразии: поверхности сферы.

Случайный процесс, определяемый

$$X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}$$

называется винеровским процессом со сносом µ и бесконечно малой дисперсией σ ² . Эти процессы исчерпывают непрерывные процессы Леви , а это означает, что они являются единственными непрерывными процессами Леви, как следствие представления Леви–Хинчина.

Два случайных процесса на интервале времени [0, 1] возникают, грубо говоря, при условии, что винеровский процесс обращается в нуль на обоих концах [0,1]. Без каких-либо дополнительных условий этот процесс принимает как положительные, так и отрицательные значения на [0, 1] и называется броуновским мостом . При условии сохранения положительного значения (0, 1) этот процесс называется броуновским отклонением . В обоих случаях строгая трактовка включает предельную процедуру, поскольку формула P ( A | B ) = P ( A ∩ B )/ P ( B ) неприменима, когда P ( B ) = 0.

Геометрическое броуновское движение можно записать

$$e^{\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t}{2}}+\sigma W_{t}}.$$

Это стохастический процесс, который используется для моделирования процессов, которые никогда не могут принимать отрицательные значения, например, стоимость акций.

Случайный процесс

$$X_{t}=e^{-t}W_{e^{2t}}$$

распределяется подобно процессу Орнштейна–Уленбека с параметрами $\theta =1$, $\mu =0$, и $\sigma ^{2}=2$.

Время попадания в одну точку x винеровского процесса > 0 является случайной величиной с распределением Леви . Семейство этих случайных величин (индексированных всеми положительными числами x ) представляет собой непрерывную слева модификацию процесса Леви . этого Непрерывная справа модификация процесса задается моментами первого выхода из отрезков [0, x ].

Местное время L = ( L ^Икс _t ) _{x ∈ R , t ≥ 0} броуновского движения описывает время, которое процесс проводит в точке x . Формально

$$L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{t})\,ds$$

где δ — дельта-функция Дирака . Поведение местного времени характеризуется теоремами Рэя–Найта .

Броуновские мартингалы

Пусть A — событие, связанное с винеровским процессом (более формально: множество, измеримое относительно меры Винера в пространстве функций), а X _{t —} условная вероятность A при заданном винеровском процессе на интервале времени [0 , t ] (более формально: мера Винера множества траекторий, конкатенация которых с данной частичной траекторией на [0, t ] принадлежит A ). Тогда процесс X _t является непрерывным мартингалом. Его мартингальное свойство непосредственно следует из определений, но его непрерывность — это совершенно особый факт — частный случай общей теоремы, утверждающей, что все броуновские мартингалы непрерывны. Броуновский мартингал по определению является мартингалом , адаптированным к броуновской фильтрации; а броуновская фильтрация по определению является фильтрацией , порождаемой винеровским процессом.

броуновское

Интеграл по времени винеровского процесса

$$W^{(-1)}(t):=\int _{0}^{t}W(s)\,ds$$

называется интегрированным броуновским движением или интегрированным винеровским процессом . Оно возникает во многих приложениях и, как можно показать, имеет распределение N (0, t ³ /3), рассчитывается с учетом того, что ковариация винеровского процесса равна $t\wedge s=\min(t,s)$.

Для общего случая процесса, определенного формулой

$$V_{f}(t)=\int _{0}^{t}f'(s)W(s)\,ds=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))\,dW_{s}$$

Тогда для $a>0$,

$$\operatorname {Var} (V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))^{2}\,ds$$

$$\operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t+a)-f(s))(f(t)-f(s))\,ds$$

Фактически, $V_{f}(t)$всегда является нормальной случайной величиной с нулевым средним значением. Это позволяет моделировать $V_{f}(t+a)$ данный $V_{f}(t)$ принимая

$$V_{f}(t+a)=A\cdot V_{f}(t)+B\cdot Z$$

где Z — стандартная нормальная переменная и

$$A={\frac {\operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))}{\operatorname {Var} (V_{f}(t))}}$$

$$B^{2}=\operatorname {Var} (V_{f}(t+a))-A^{2}\operatorname {Var} (V_{f}(t))$$

Случай $V_{f}(t)=W^{(-1)}(t)$ соответствует $f(t)=t$. Все эти результаты можно рассматривать как прямые следствия изометрии Ито . - кратно n интегрированный Винеровский процесс представляет собой нормальную переменную с нулевым средним и дисперсией ${\frac {t}{2n+1}}\left({\frac {t^{n}}{n!}}\right)^{2}$. Это дается формулой Коши для повторного интегрирования .

Изменение времени

Каждый непрерывный мартингал (начиная с начала координат) представляет собой изменяющийся во времени винеровский процесс.

Пример: 2 W _t = V (4 t ), где V — другой винеровский процесс (отличный от W, но распределенный так же, как W ).

Пример. $W_{t}^{2}-t=V_{A(t)}$ где $A(t)=4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s$ а V — еще один винеровский процесс.

В общем случае, если M — непрерывный мартингал, то $M_{t}-M_{0}=V_{A(t)}$ где A ( t ) — квадратичная вариация M — на [0, t ], а V винеровский процесс.

Следствие. (См. также теоремы Дуба о сходимости мартингала .) Пусть M _t — непрерывный мартингал и

$$M_{\infty }^{-}=\liminf _{t\to \infty }M_{t},$$

$$M_{\infty }^{+}=\limsup _{t\to \infty }M_{t}.$$

Тогда возможны только следующие два случая:

$$-\infty <M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}<+\infty ,$$

$$-\infty =M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}=+\infty ;$$

другие случаи (например, $M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}=+\infty ,$   $M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}<+\infty$ и т. д.) имеют вероятность 0.

В частности, неотрицательный непрерывный мартингал имеет конечный предел (при t почти наверняка → ∞).

Все сказанное (в этом подразделе) для мартингалов справедливо и для локальных мартингалов .

Изменение меры

Широкий класс непрерывных семимартингалов (особенно диффузионных процессов ) связан с винеровским процессом через сочетание изменения времени и изменения меры .

Используя этот факт, изложенные выше качественные свойства винеровского процесса можно обобщить на широкий класс непрерывных семимартингалов.

Комплексный

Комплексный винеровский процесс можно определить как комплексный случайный процесс вида $Z_{t}=X_{t}+iY_{t}$ где $X_{t}$ и $Y_{t}$ являются независимыми винеровскими процессами (действительнозначными).

Самоподобие

Броуновское масштабирование, обращение времени, инверсия времени: то же, что и в вещественном случае.

Инвариантность вращения: для каждого комплексного числа $c$ такой, что $|c|=1$ процесс $c\cdot Z_{t}$ — еще один комплексный винеровский процесс.

Изменение времени

Если $f$ это целая функция , то процесс $f(Z_{t})-f(0)$ представляет собой изменяющийся во времени комплексный винеровский процесс.

Пример: $Z_{t}^{2}=\left(X_{t}^{2}-Y_{t}^{2}\right)+2X_{t}Y_{t}i=U_{A(t)}$ где

$$A(t)=4\int _{0}^{t}|Z_{s}|^{2}\,\mathrm {d} s$$

и $U$ — еще один комплексный винеровский процесс.

В отличие от случая с действительным значением, комплексный мартингейл обычно не является изменяемым во времени комплексным винеровским процессом. Например, мартингейл $2X_{t}+iY_{t}$ не здесь $X_{t}$ и $Y_{t}$ являются, как и раньше, независимыми винеровскими процессами).

Броуновский лист

Основная статья: Броуновский лист

Броуновский лист — это многопараметрическое обобщение. Определение варьируется от авторов, некоторые определяют броуновский лист как двумерный временной параметр. $t$ в то время как другие определяют его для общих размеров.

См. также

Общие сведения:

• Абстрактное Винеровское пространство
• Классическое Винеровское пространство
• Распределение Чернова
• фрактал
• Броуновская паутина
• Распределение вероятностей экстремумов винеровского случайного процесса

Числовая выборка пути:

• Метод Эйлера – Маруямы
• Метод прогулки по сферам

Ссылки

• Кляйнерт, Хаген (2004). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках (4-е изд.). Сингапур: World Scientific. ISBN  981-238-107-4 . (также доступно онлайн: PDF-файлы )
• Лоулер, Грег (2005), Конформно-инвариантные процессы на плоскости , AMS .
• Старк, Генри; Вудс, Джон (2002). Вероятность и случайные процессы с применением к обработке сигналов (3-е изд.). Нью-Джерси: Прентис Холл. ISBN  0-13-020071-9 .
• Ревуз, Дэниел; Йор, Марк (1994). Непрерывные мартингалы и броуновское движение (Второе изд.). Спрингер-Верлаг.
• Такенака, Сигео (1988), «О траекторной проективной инвариантности броуновского движения», Proc Japan Acad , 64 : 41–44 .

Внешние ссылки

• Броуновское движение для школьника
• Броуновское движение, «разнообразное и волнообразное»
• Обсуждает историю, ботанику и физику оригинальных наблюдений Брауна с видео.
• «Предсказание Эйнштейна, наконец, стало свидетелем столетие спустя» : тест для наблюдения за скоростью броуновского движения
• «Интерактивное веб-приложение: случайные процессы, используемые в количественных финансах» .