Процесс Гальтона – Ватсона

Вероятности выживания Гальтона-Ватсона для различных экспоненциальных темпов роста населения, если можно предположить, что количество детей каждого родительского узла соответствует распределению Пуассона . При λ ≤ 1 возможное вымирание произойдет с вероятностью 1. Но вероятность выживания нового вида может быть весьма низкой, даже если λ > 1 и популяция в целом испытывает довольно сильный экспоненциальный рост .

Процесс Гальтона-Ватсона — это ветвящийся случайный процесс, возникший в результате статистического исследования Фрэнсиса Гальтона исчезновения фамилий . Этот процесс моделирует фамилии как патрилинейные (передаваемые от отца к сыну), в то время как потомки случайным образом становятся мужскими или женскими, и имена вымирают, если линия фамилий вымирает (носители фамилии умирают, не имея потомков мужского пола). Это точное описание передачи Y-хромосомы в генетике, и поэтому модель полезна для понимания гаплогрупп ДНК Y-хромосомы человека . Аналогично, поскольку митохондрии наследуются только по материнской линии, одна и та же математическая формулировка описывает передачу митохондрий. Эта формула имеет ограниченную полезность для понимания фактического распределения фамилий, поскольку на практике фамилии меняются по многим другим причинам, и исчезновение линии имен является лишь одним из факторов.

История

были обеспокоены Викторианцы тем, что аристократические фамилии вымирали.

В 1869 году Гальтон опубликовал «Наследственный гений» , в котором рассматривал вымирание различных социальных групп.

Первоначально Гальтон поставил математический вопрос о распределении фамилий среди идеализированного населения в выпуске The Educational Times за 1873 год :

Большой народ, из которого нас будут интересовать только взрослые мужчины численностью N и каждый из которых носит отдельные фамилии, колонизирует район. Их закон народонаселения таков, что в каждом поколении 0 процентов взрослых мужчин не имеют детей мужского пола, достигающих взрослой жизни; а1 есть один такой ребенок мужского пола; у а2 — два; и так далее до а5, у которого пятеро. Найдите, какая часть их фамилий вымрет через r поколений; и сколько случаев, когда фамилия будет принадлежать m лицам.

Преподобный Генри Уильям Уотсон предложил решение. Вместе они затем написали в 1874 году статью под названием «О вероятности вымирания семей» в Журнале Антропологического института Великобритании и Ирландии (ныне Журнал Королевского антропологического института ). Гальтон и Уотсон, по-видимому, разработали свой процесс независимо от более ранней работы И. Дж. Бьенеме ; видеть. Их решение является неполным, согласно которому все фамилии вымирают с вероятностью 1.

Бьенеме опубликовал ответ на проблему в 1845 году. с обещанием опубликовать вывод позже, однако публикация его решения неизвестна. (Однако Брю (1991) претендует на восстановление доказательства). Его вдохновил Эмиль Литтре. и Луи-Франсуа Бенуастон де Шатонеф (друг Бьенеме).

Курно опубликовал решение в 1847 году в главе 36 книги «О происхождении и пределах соответствия между алгеброй и геометрией». Проблема в его формулировке состоит в том,

Рассмотрим игрока, который покупает лотереи. Каждая лотерея стоит 1 экю и приносит выплаты. $0,1,...,n$ с вероятностями $p_{0},...,p_{n}$. Игрок всегда тратит все свои деньги на покупку лотерей. Если игрок начинает с $k$ долларов, какова вероятность банкротства?

Рональд А. Фишер в 1922 году изучал ту же проблему, сформулированную с точки зрения генетики. Вместо исчезновения фамилий он изучал вероятность исчезновения мутантного гена в большой популяции. Холдейн решил проблему в 1927 году.

Агнер Краруп Эрланг был членом известной семьи Краруп, которая вымирала. В 1929 году он посмертно опубликовал ту же задачу (рядом с задачей помещен его некролог). Эрланг умер бездетным. Стеффенсен решил ее в 1930 году.

Подробную историю см. в Kendall (1966). и 1975 г. ) и а также раздел 17 гл.

Концепции

Предположим, ради модели, что фамилии всем детям мужского пола передаются их отцом. Предположим, что количество сыновей человека является случайной величиной, распределенной на множестве { 0, 1, 2, 3, ... }. Далее предположим, что количество сыновей разных мужчин является независимыми случайными величинами, имеющими одинаковое распределение.

Тогда простейший содержательный математический вывод состоит в том, что если среднее число сыновей человека равно 1 или меньше, то их фамилия почти наверняка вымрет, а если больше 1, то существует более чем нулевая вероятность того, что она сохранится в течение долгого времени. любое заданное количество поколений.

вероятность выживания нового мутантного гена, или инициирование цепной ядерной реакции , или динамику вспышек болезней в их первых поколениях распространения, или шансы вымирания небольшой популяции организмов Современные приложения включают ; а также объяснение (возможно, наиболее близкое к первоначальному интересу Гальтона), почему лишь горстка мужчин в глубоком прошлом человечества теперь имела каких-либо выживших потомков по мужской линии, что отражено в довольно небольшом количестве отличительных гаплогрупп ДНК Y-хромосомы человека .

Следствием высокой вероятности вымирания является то, что, если линия выжила , она, вероятно, чисто случайно испытала необычно высокие темпы роста в своих ранних поколениях, по крайней мере, по сравнению с остальной частью популяции.

Математическое определение

Процесс Гальтона–Ватсона — это случайный процесс { X _n }, который развивается по рекуррентной формуле X ₀ = 1 и

$X_{n+1}=\sum _{j=1}^{X_{n}}\xi _{j}^{(n)}$

где $\{\xi _{j}^{(n)}:n,j\in \mathbb {N} \}$ представляет собой набор независимых и одинаково распределенных натуральных числовых случайных величин.

По аналогии с фамилиями X _n можно понимать как количество потомков (по мужской линии) в n -м поколении, а $\xi _{j}^{(n)}$ можно рассматривать как количество детей (мужского пола) j -го из этих потомков. Рекуррентное соотношение утверждает, что количество потомков в n + 1-м поколении представляет собой сумму по всем потомкам n- го поколения числа детей этого потомка.

Вероятность вымирания (т.е. вероятность окончательного вымирания) определяется выражением

$\lim _{n\to \infty }\Pr(X_{n}=0).\,$

Очевидно, что оно равно нулю, если каждый член популяции имеет ровно одного потомка. За исключением этого случая (обычно называемого тривиальным случаем), существует простое необходимое и достаточное условие, которое приведено в следующем разделе.

Критерий угасания процесса Гальтона – Ватсона

В нетривиальном случае вероятность окончательного вымирания равна 1, если E { ξ ₁ } ⩽ 1, и строго меньше 1, если E { ξ ₁ } > 1.

Этот процесс можно рассматривать аналитически, используя метод вероятностных производящих функций .

Если количество детей ξ _j в каждом узле соответствует распределению Пуассона с параметром λ, можно найти особенно простую повторяемость для общей вероятности вымирания x _n для процесса, начинающегося с одного человека в момент времени n = 0:

$x_{n+1}=e^{\lambda (x_{n}-1)},\,$

давая приведенные выше кривые.

Бисексуальный процесс Гальтона-Ватсона

В описанном выше классическом семейном процессе Гальтона-Ватсона необходимо учитывать только мужчин, поскольку только мужчины передают свою фамилию потомкам. Фактически это означает, что размножение можно смоделировать как бесполое. (Аналогичным образом, если анализируется митохондриальная передача, необходимо учитывать только женщин, поскольку только женщины передают свои митохондрии потомкам.)

Моделью, более точно соответствующей фактическому половому размножению, является так называемый «бисексуальный процесс Гальтона-Ватсона», при котором размножаются только пары. ( Бисексуальность в этом контексте относится к числу вовлеченных полов, а не к сексуальной ориентации .) В этом процессе предполагается, что каждый ребенок является мужчиной или женщиной, независимо друг от друга, с определенной вероятностью и так называемой «функцией спаривания». определяет, сколько пар образуется в данном поколении. Как и прежде, воспроизведение разных пар считается независимым друг от друга. Теперь аналог тривиального случая соответствует случаю, когда каждый самец и самка размножаются ровно в одной паре, имея одного потомка мужского и одного женского пола, и что функция спаривания принимает значение минимума числа самцов и самок (что тогда такие же, начиная со следующего поколения).

Поскольку полное воспроизводство внутри поколения теперь сильно зависит от функции спаривания, вообще не существует простого необходимого и достаточного условия для окончательного вымирания, как в случае классического процесса Гальтона-Ватсона. Однако, исключая нетривиальный случай, концепция усредненного среднего воспроизводства (Брусс (1984)) допускает общее достаточное условие окончательного вымирания, которое рассматривается в следующем разделе.

Критерий вымирания

Если в нетривиальном случае среднее значение воспроизводства на пару остается ограниченным во всех поколениях и не превышает 1 при достаточно большом размере популяции, то вероятность окончательного вымирания всегда равна 1.

Примеры

Приводить исторические примеры процесса Гальтона-Ватсона сложно из-за того, что история фамилий часто значительно отклоняется от теоретической модели. Примечательно, что могут быть созданы новые имена, существующие имена могут быть изменены в течение жизни человека, и исторически люди часто принимали имена не связанных между собой людей, особенно дворян. Таким образом, небольшое количество фамилий в настоящее время само по себе не является свидетельством того, что имена со временем вымерли или что это произошло из-за вымирания фамильных линий – для этого необходимо, чтобы в прошлом было больше имен и чтобы они вымирают из-за вымирания линии, а не из-за изменения имени по другим причинам, например, из-за того, что вассалы принимают имя своего господина.

Китайские имена являются хорошо изученным примером исчезновения фамилий: в настоящее время в Китае используется всего около 3100 фамилий по сравнению с почти 12 000, зарегистрированными в прошлом. при этом 22% населения носят имена Ли , Ван и Чжан (численность около 300 миллионов человек), а 200 самых популярных имен охватывают 96% населения. Имена изменились или вымерли по разным причинам, таким как люди, берущие имена своих правителей, орфографические упрощения, табу на использование символов из имени императора и другие. Хотя вымирание фамильных линий может быть фактором исчезновения фамилий, оно ни в коем случае не является единственным или даже значимым фактором. Действительно, наиболее значимым фактором, влияющим на частоту фамилий, являются другие этнические группы, идентифицирующие себя как хань и принимающие ханьские имена. Кроме того, хотя по разным причинам возникли новые имена, это перевешивалось исчезновением старых названий.

Напротив, некоторые народы приняли фамилии лишь недавно. Это означает как то, что у них не наблюдалось исчезновения фамилий в течение длительного периода, так и то, что имена были приняты, когда в стране было относительно большое население, а не меньшее население в древние времена. Кроме того, эти имена часто выбираются творчески и очень разнообразны. Примеры включают в себя:

• Японские имена , которые в основном используются только во время реставрации Мэйдзи в конце 19 века (когда население составляло более 30 000 000), имеют более 100 000 фамилий, фамилии очень разнообразны, и правительство ограничивает супружеские пары использованием одной и той же фамилии.
• Многие голландские имена включили официальную фамилию только после наполеоновских войн в начале 19 века. Раньше фамилии происходили от отчеств (например, Янсен = сын Джона), личные качества (например, де Рийке = богатый), географическое положение (например, ван Роттердам) и занятия (например, Виссер = рыбак), иногда даже вместе взятые (например, Ян Янс). Ван Роттердам). Существует более 68 000 голландских фамилий.
• Тайские имена включают фамилию только с 1920 года, и только одна семья может использовать данную фамилию; следовательно, существует большое количество тайских имен. Кроме того, тайцы довольно часто меняют свои фамилии, что усложняет анализ.

С другой стороны, некоторые примеры высокой концентрации фамилий не связаны в первую очередь с процессом Гальтона-Ватсона:

• Вьетнамские имена имеют около 100 фамилий, при этом 60% населения имеют три фамилии. По оценкам, одно только имя Нгуен используют почти 40% населения Вьетнама, а 90% имеют 15 имен. Однако, как ясно показывает история имени Нгуен, это в немалой степени связано с тем, что имена навязывались людям или были приняты по причинам, не связанным с генетическим родством.

См. также

• Процесс ветвления
• Ресурсозависимый ветвящийся процесс
• Родословная развал

Дальнейшее чтение

• Ф. Томас Брюсс (1984). «Заметка о критериях вымирания бисексуальных процессов Гальтона – Ватсона». Журнал прикладной вероятности 21 : 915–919.
• CC Heyde и E Seneta (1977). И. Ж. Бьенем: Ожидаемая статистическая теория . Берлин, Германия.
• Кендалл, генеральный директор (1966). «Разветвленные процессы с 1873 года». Журнал Лондонского математического общества . с1-41: 385–406. дои : 10.1112/jlms/s1-41.1.385 . ISSN   0024-6107 .
• Кендалл, генеральный директор (1975). «Генеалогия ветвящихся генеалогических процессов до (и после) 1873 года». Бюллетень Лондонского математического общества . 7 (3): 225–253. дои : 10.1112/blms/7.3.225 . ISSN   0024-6093 .

Внешние ссылки

• «Выживание одного мутанта», Питер М. Ли из Йоркского университета.
• Простой процесс Гальтона-Ватсона: классический подход , Мюнстерский университет