Аддитивный процесс

Аддитивный процесс в теории вероятностей представляет собой кадлаг , непрерывный по вероятности стохастический процесс с независимыми приращениями .Аддитивный процесс — это обобщение процесса Леви (процесс Леви — это аддитивный процесс со стационарными приращениями). Примером аддитивного процесса, не являющегося процессом Леви, является броуновское движение с зависящим от времени дрейфом. Аддитивный процесс был предложен Полем Леви в 1937 году.

Существуют приложения аддитивного процесса в количественных финансах. (это семейство процессов может улавливать важные характеристики подразумеваемой волатильности ) и в цифровой обработке изображений .

Определение

Аддитивный процесс представляет собой обобщение процесса Леви, полученное при ослаблении гипотезы о стационарных приращениях. Благодаря этой особенности аддитивный процесс может описывать более сложные явления, чем процесс Леви.

Случайный процесс $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ на $\mathbb {R} ^{d}$ такой, что $X_{0}=0$ почти наверняка является аддитивным процессом, если он удовлетворяет следующей гипотезе:

1. Он имеет независимые приращения.
2. Оно непрерывно по вероятности.

Основные свойства

Независимые приращения

Случайный процесс $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ имеет независимые приращения тогда и только тогда, когда для любого $0\leq p<r\leq s<t$ случайная величина $X_{t}-X_{s}$ не зависит от случайной величины $X_{r}-X_{p}$.

Непрерывность вероятности

Случайный процесс $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ непрерывно по вероятности тогда и только тогда, когда для любого $t>0$

$\lim _{s\to t^{-}}\Pr \left({\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}\geq \varepsilon \right)=0.$

Представление Леви – Хинчина

Существует сильная связь между аддитивным процессом и бесконечно делимыми распределениями . Аддитивный процесс во времени $t$ имеет бесконечно делимое распределение, характеризующееся порождающей тройкой $(\gamma _{t},A_{t},\nu _{t})$. $\gamma _{t}$ является вектором в $\mathbb {R} ^{d}$, $A_{t}$ это матрица в $\mathbb {R} ^{d\times d}$ и $\nu _{t}$ это мера по $\mathbb {R} ^{d}$ такой, что $\nu _{t}(\{0\})=0$ и $\int _{\mathbb {R} ^{d}}(1\wedge x^{2})\nu _{t}(dx)<\infty$.

$\gamma _{t}$ называется дрейфовым членом, $A_{t}$ ковариационная матрица и $\nu _{t}$ Мера Леви.Характеристическую функцию аддитивного процесса можно явно записать, используя формулу Леви – Хинчина :

$\varphi _{X}(u)(t):=\operatorname {E} \left[e^{iu'X_{t}}\right]=\exp \left(u'\gamma _{t}i-{\frac {1}{2}}u'A_{t}u+\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left(e^{iu'x}-1-iu'x\mathbf {I} _{|x|<1}\right)\,\nu _{t}(dx)\right),$

где $u$ является вектором в $\mathbb {R} ^{d}$ и $\mathbf {I_{C}}$ – индикаторная функция множества $C$.

Характеристическая функция процесса Леви имеет ту же структуру, но с $\gamma _{t}=t\gamma ,\nu _{t}=t\nu$ и $A_{t}=At$ с $\gamma$ вектор в $\mathbb {R} ^{d}$, $A$ положительно определенная матрица в $\mathbb {R} ^{d\times d}$ и $\nu$ это мера по $\mathbb {R} ^{d}$.

Существование и единственность в законе аддитивного процесса

Следующий результат вместе с формулой Леви–Хинчина характеризует аддитивный процесс.

Позволять $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ быть аддитивным процессом на $\mathbb {R} ^{d}$. Тогда его бесконечно делимое распределение таково, что:

1. Для всех $t$, $A_{t}$ является положительно определенной матрицей.
2. $\gamma _{0}=0,A_{0}=0,\nu _{0}=0$ и для всех $s,t$ таков, что $s<t$, $A_{t}-A_{s}$ является положительно определенной матрицей и $\nu _{t}(B)\geq \nu _{s}(B)$ для каждого $B$ в $\mathbf {B} (\mathbb {R} ^{d})$.
3. Если $s\to t$ $\gamma _{s}\to \gamma _{t},A_{s}\to A_{t}$ и $\nu _{s}(B)\to \nu _{t}(B)$ каждый $B$ в $\mathbf {B} (\mathbb {R} ^{d})$, $0\not \in B$.

Обратно, для семейства бесконечно делимых распределений, характеризующихся порождающей тройкой $(\gamma _{t},A_{t},\nu _{t})$ удовлетворяющий условиям 1, 2 и 3, существует аддитивный процесс $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ с этим распределением.

Подкласс аддитивного процесса

Аддитивный логистический процесс

Семейство аддитивных процессов с обобщенным логистическим распределением . Их характеристическая функция по 5 параметрам:

$\operatorname {E} \left[e^{iuX_{t}}\right]=\left({\frac {B(\alpha _{t}+i\sigma _{t}u,\beta _{t}-i\sigma u)}{B(\alpha _{t},\beta _{t})}}\right)^{\delta _{t}}e^{i\mu _{t}u}\;\;.$

Двумя подслучаями аддитивного логистического процесса являются симметричный логистический аддитивный процесс со стандартным логистическим распределением ( $\alpha _{t}=1$, $\beta _{t}=1$, $\delta _{t}=1$) и аддитивный процесс Дагама в сопряженной степени с распределением Дагама ( $\alpha _{t}=1$, $\beta _{t}=1-\sigma (t)$, $\alpha _{t}=1$).

Функция $\mu _{t}$ всегда можно выбрать, поскольку аддитивный процесс представляет собой мартингал .

Аддитивный нормальный закаленный стабильный процесс

Расширение нормальных стабильных процессов Леви; некоторые хорошо известные стабильные процессы Леви с нормальным умеренным режимом имеют нормальное обратное гауссово распределение и дисперсионно-гамма-распределение . Аддитивные процессы нормального отпуска, стабильные имеют ту же характеристическую функцию, что и стабильные процессы нормального отпуска Леви, но с параметрами, зависящими от времени. $\sigma _{t}$ (уровень волатильности), $k_{t}$ (дисперсия прыжков) и $\eta _{t}$ (связано с перекосом):

$\operatorname {E} \left[e^{iuX_{t}}\right]={\cal {L}}_{t}\left(iu\left({\frac {1}{2}}+\eta _{t}\right)\sigma _{t}^{2}+{\frac {u^{2}\sigma _{t}^{2}}{2}};\;k_{t},\;\alpha \right)e^{iu\varphi _{t}t},$

где

$\ln {\cal {L}}_{t}\left(u;\;k_{t},\;\alpha \right):={\begin{cases}\displaystyle {\frac {t}{k_{t}}}\displaystyle {\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left\{1-\left(1+{\frac {u\;k_{t}}{1-\alpha }}\right)^{\alpha }\right\}&{\mbox{if }}\;0<\alpha <1\\[4mm]\displaystyle -{\frac {t}{k_{t}}}\ln \left(1+u\;k_{t}\right)&{\mbox{if }}\;\alpha =0\end{cases}}$

Функция $\varphi _{t}$ всегда можно выбрать, поскольку аддитивный процесс представляет собой мартингал .

Аддитивный субординатор

Положительный неубывающий аддитивный процесс $\{S_{t}\}_{t\geq 0}$ со значениями в $\mathbb {R}$ является аддитивным субординатором .Аддитивный субординатор является семимартингалом (благодаря тому, что он не убывает), и его преобразование Лапласа всегда можно переписать в виде

$\operatorname {E} \left[e^{-uS_{t}}\right]=\exp \left(ub_{t}+\int _{\mathbb {R} ^{d}}(e^{iux}-1)\nu _{t}(dx)\right).$

Можно использовать аддитивный субординатор для изменения времени процесса Леви с получением нового класса аддитивных процессов.

Процесс Сато

Аддитивный самоподобный процесс $\{Z_{t}\}_{t\geq 0}$ называется процессом Сато. Процесс Сато можно построить из процесса Леви. $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ такой, что $Z_{t}$ имеет тот же закон $t^{h}X_{1}$.

Примером может служить дисперсионная гамма SSD, процесс Сато, полученный на основе дисперсионного гамма-процесса .

Характеристическая функция дисперсии гаммы во времени $t=1$ является

$\operatorname {E} \left[e^{iuX_{1}}\right]=\left({\frac {1}{1-iu\theta \nu +0.5\sigma ^{2}\nu u^{2}}}\right)^{1/\nu },$

где $\theta ,\nu$ и $\sigma$ являются положительными константами.

Характеристическая функция дисперсионной гамма SSD:

$\operatorname {E} \left[e^{iuZ_{t}}\right]=\left({\frac {1}{1-iut^{h}\theta \nu +0.5\sigma ^{2}\nu u^{2}t^{2}h}}\right)^{1/\nu }$

Моделирование

Моделирование аддитивного процесса является вычислительно эффективным благодаря независимости приращений. Приращения аддитивного процесса можно моделировать отдельно, а моделирование также можно распараллеливать.

Симуляция прыжка

Моделирование скачков представляет собой обобщение на класс аддитивных процессов метода моделирования скачков, разработанного для процессов Леви. Метод основан на отсечении небольших скачков ниже определенного порога и моделировании конечного числа независимых скачков. Более того, гауссово приближение можно применить для замены малых скачков диффузионным членом. Также возможно использовать алгоритм Зиккурата для ускорения моделирования прыжков.

Обращение характеристической функции

Моделирование процесса Леви посредством обращения характеристической функции является хорошо известным в литературе методом. Этот метод можно распространить на аддитивные процессы. Ключевая идея – получение аппроксимации кумулятивной функции распределения (КФР) путем обращения характеристической функции . Скорость инверсии увеличивается за счет использования быстрого преобразования Фурье . Как только будет доступна аппроксимация CDF, можно будет смоделировать приращение аддитивного процесса, просто моделируя однородную случайную величину. Этот метод требует таких же вычислительных затрат, как и моделирование стандартного геометрического броуновского движения.

Приложения

Количественные финансы

Процесс Леви используется для моделирования логарифмической доходности рыночных цен. К сожалению, стационарность приращений не воспроизводит правильно рыночные данные. Процесс Леви хорошо подходит для цен опционов колл и опционов пут ( подразумеваемая волатильность ) для одной даты истечения, но не может соответствовать ценам опционов с разными сроками погашения ( поверхность волатильности ). Аддитивный процесс вводит детерминированную нестационарность, которая позволяет ему соответствовать всем срокам годности.

Процесс Сато с четырьмя параметрами (самоподобный аддитивный процесс) может правильно воспроизвести поверхность волатильности (погрешность 3% на рынке акций S&P 500 ). Ошибка такого порядка обычно получается при использовании моделей с 6–10 параметрами, соответствующими рыночным данным. Самоподобный процесс правильно описывает рыночные данные из-за его плоской асимметрии и избыточного эксцесса ; эмпирические исследования наблюдали такое поведение при асимметрии рынка и избыточном эксцессе. Некоторые из процессов, которые соответствуют ценам опционов с ошибкой 3%, - это VGSSD, NIGSSD, MXNRSSD, полученные из гамма-процесса дисперсии, нормального обратного гауссовского процесса и процесса Мейкснера.

Аддитивные нормальные и умеренные стабильные процессы точно соответствуют данным рынка акций (погрешность ниже 0,8% на рынке акций S&P 500 ), особенно для коротких сроков погашения. Это семейство процессов очень хорошо воспроизводит также перекос волатильности, подразумеваемый рынком акций.Более того, в калиброванных параметрах возникает интересная характеристика масштабирования мощности. $k_{t}={\bar {k}}t^{\beta }$ и $\eta _{t}={\bar {\eta }}t^{\delta }$. Есть статистические данные, что $\beta =1$и $\delta =-1/2$.

Подчинение Леви используется для построения новых процессов Леви (например, дисперсионного гамма-процесса и нормального обратного гауссовского процесса). Существует большое количество финансовых применений процессов, построенных по принципу подчинения Леви. Аддитивный процесс, построенный посредством аддитивного подчинения, сохраняет аналитическую управляемость процесса, построенного посредством подчинения Леви, но он лучше отражает неоднородную во времени структуру рыночных данных. Аддитивное подчинение применяется к товарному рынку. и опционам VIX.

Цифровая обработка изображений

Для обработки изображений можно применить оценку, основанную на минимуме аддитивного процесса. Целью такой оценки является различение реального сигнала и шума в пикселях изображения.

Источники

• Танков, Петр; Продолжение, Рама (2003). Финансовое моделирование со скачкообразными процессами . Чепмен и Холл. ISBN  1584884134 .
• Сато, Кен-Ито (1999). Процессы Леви и бесконечно делимые распределения . Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521553025 .
• Ли, Цзин; Ли, Линфэй; Мендоса-Арриага, Рафаэль (2016). «Аддитивное подчинение и его применение в финансах». Финансы и стохастика . 20 (3): 2–6. дои : 10.1007/s00780-016-0300-8 . S2CID   254078941 .
• Карр, Питер; Торричелли, Лоренцо (2021). «Аддитивные логистические процессы в ценообразовании опционов». Финансы и стохастика . 25 (3). arXiv : 1909.07139 . дои : 10.1080/14697688.2021.1983200 . S2CID   202577472 .
• Ацзоне, Мишель; Бавьера, Роберто (2022). «Аддитивные нормальные стабильные процессы для производных акций и степенное масштабирование». Количественные финансы . 22 . дои : 10.1007/s00780-021-00461-8 . hdl : 11585/851693 . S2CID   234657892 .
• Ацзоне, Мишель; Бавьера, Роберто (2023). «Быстрая схема Монте-Карло для аддитивных процессов и ценообразования опционов» . Вычислительная наука управления . 20(1). дои : 10.1007/s10287-023-00463-1 . hdl : 11311/1242978 .
• Эберляйн, Эрнст; Мадан, Дилип Б. (2009). «Процессы Сато и оценка структурированных продуктов». Количественные финансы . 9 (1): 27–42. дои : 10.1080/14697680701861419 . S2CID   16991478 .
• Баллотта, Лаура; Кириаку, Иоаннис (2014). «Моделирование процесса CGMY и ценообразования опционов по методу Монте-Карло» (PDF) . Журнал фьючерсных рынков . 34 (12): 1095–1121. дои : 10.1002/фут.21647 .
• Карр, Питер; Жеман, Хелиетт; Мадан, Дилип Б.; Йор, Марк (2007). «Саморазложимость и ценообразование опционов». Математические финансы . 17 (1): 31–57. CiteSeerX   10.1.1.348.3383 . дои : 10.1111/j.1467-9965.2007.00293.x . S2CID   452963 .
• Ли, Цзин; Ли, Линфэй; Чжан, Гунцю (2017). «Модели чистого скачка ценообразования и хеджирования деривативов VIX». Журнал экономической динамики и контроля . 74 : 28–55. дои : 10.1016/j.jedc.2016.11.001 .
• Бхаттачарья, ПК; Брокуэлл, П.Дж. (1976). «Минимум аддитивного процесса с приложениями к теории оценки сигналов и теории хранения» . Журнал теории вероятностей и смежных областей . 37 (1): 51–75. дои : 10.1007/BF00536298 . S2CID   121247350 .