Дробное броуновское движение

В вероятностей теории дробное броуновское движение ( fBm ), также называемое фрактальным броуновским движением , является обобщением броуновского движения . В отличие от классического броуновского движения, приращения fBm не обязательно должны быть независимыми. fBm — с непрерывным временем. гауссов процесс ${\textstyle B_{H}(t)}$ на ${\textstyle [0,T]}$, который начинается с нуля, имеет нулевое математическое ожидание для всех $t$ в ${\textstyle [0,T]}$и имеет следующую ковариационную функцию :

$E[B_{H}(t)B_{H}(s)]={\tfrac {1}{2}}(|t|^{2H}+|s|^{2H}-|t-s|^{2H}),$

где H — действительное число в (0, 1), называемое индексом Херста или параметром Херста, связанным с дробным броуновским движением. Показатель Херста описывает неравномерность результирующего движения: более высокое значение приводит к более плавному движению. Он был введен Мандельбротом и ван Нессом (1968) .

Значение H определяет, к какому типу процесса относится fBm :

• если H = 1/2, то процесс фактически является броуновским движением или винеровским процессом ;
• если H > 1/2, то приращения процесса положительно коррелируют ;
• если H < 1/2, то приращения процесса отрицательно коррелируют.

Дробное броуновское движение имеет стационарные приращения X ( t ) = B _H ( s + t ) − B _H ( s ) (значение одинаково для любого s ). Процесс приращения X ( t ) известен как дробный гауссов шум .

Существует также обобщение дробного броуновского движения: n дробное броуновское движение -го порядка , сокращенно n-fBm. n-fBm — гауссов самоподобный нестационарный процесс, приращения порядка n которого стационарны. При n = 1 n-fBm является классическим fBm.

Как и броуновское движение, которое оно обобщает, дробное броуновское движение названо в честь биолога XIX века Роберта Брауна ; Дробный гауссов шум назван в честь математика Карла Фридриха Гаусса .

Предыстория и определение

До введения дробного броуновского движения Леви (1953) использовал дробный интеграл Римана – Лиувилля для определения процесса.

${\tilde {B}}_{H}(t)={\frac {1}{\Gamma (H+1/2)}}\int _{0}^{t}(t-s)^{H-1/2}\,dB(s)$

где интегрирование производится по показателю белого шума, дБ ( с ). Этот интеграл оказывается неподходящим для определения дробного броуновского движения из-за чрезмерного акцента на его происхождении ( Мандельброт и ван Несс, 1968 , стр. 424). Он не имеет стационарных приращений.

Вместо этого идея состоит в том, чтобы использовать другой дробный интеграл белого шума для определения процесса: интеграл Вейля.

$B_{H}(t)=B_{H}(0)+{\frac {1}{\Gamma (H+1/2)}}\left\{\int _{-\infty }^{0}\left[(t-s)^{H-1/2}-(-s)^{H-1/2}\right]\,dB(s)+\int _{0}^{t}(t-s)^{H-1/2}\,dB(s)\right\}$

при t > 0 (и аналогично при t < 0).Результирующий процесс имеет стационарные приращения.

Основное различие между дробным броуновским движением и обычным броуновским движением заключается в том, что, хотя приращения в броуновском движении независимы, приращения для дробного броуновского движения - нет. Если H > 1/2, то имеется положительная автокорреляция: если на предыдущих шагах наблюдается возрастающая закономерность, то вполне вероятно, что текущий шаг также будет возрастающим. Если H <1/2, автокорреляция отрицательна.

Характеристики

Самоподобие

Процесс самоподобен , поскольку с точки зрения распределения вероятностей :

$B_{H}(at)\sim |a|^{H}B_{H}(t).$

Это свойство обусловлено тем, что ковариационная функция однородна порядка 2H и может рассматриваться как фрактальное свойство. FBm также можно определить как уникальный гауссовский процесс со средним и нулевым значением , нулевойв начале координат со стационарными и самоподобными приращениями.

Стационарные приращения

Он имеет стационарные приращения :

$B_{H}(t)-B_{H}(s)\;\sim \;B_{H}(t-s).$

Дальнодействующая зависимость

Для Н > ⁠ 1/2 ⁠ , зависимость процесс дальнодействующую имеет

$\sum _{n=1}^{\infty }E[B_{H}(1)(B_{H}(n+1)-B_{H}(n))]=\infty .$

Регулярность

Пути выборки почти нигде не дифференцируемы . Однако почти все траектории локально гельдерово непрерывны любого порядка строго меньше H : для каждой такой траектории, для каждого T > 0 и для каждого ε > 0 существует (случайная) константа c такая, что

$|B_{H}(t)-B_{H}(s)|\leq c|t-s|^{H-\varepsilon }$

для 0 < s , t < T .

Измерение

С вероятностью 1 график B _H ( t ) имеет обе хаусдорфовы размерности и размер коробки из 2- H .

Интеграция

Что касается регулярного броуновского движения, можно определить стохастические интегралы относительно дробного броуновского движения, обычно называемые «дробными стохастическим интегралами». Однако в целом, в отличие от интегралов по регулярному броуновскому движению, дробные стохастические интегралы не являются семимартингалами .

Интерпретация частотной области

Точно так же, как броуновское движение можно рассматривать как белый шум, отфильтрованный $\omega ^{-1}$ (т.е. интегрированное), дробное броуновское движение представляет собой белый шум, отфильтрованный $\omega ^{-H-1/2}$ (соответствует дробному интегрированию ).

Примеры путей

практические компьютерные реализации FBm . Могут быть созданы хотя они являются лишь конечным приближением. Выбранные пути выборки можно рассматривать как отображение дискретных точек выборки в процессе fBm . Ниже показаны три реализации, каждая с 1000 точками fBm с параметром Херста 0,75.

«H» = 0,75 реализация 1

«H» = 0,75 реализация 2

«H» = 0,75 реализация 3

реализации трех различных типов fBm Ниже показаны , каждый из которых показывает 1000 точек: первый с параметром Херста 0,15, второй с параметром Херста 0,55 и третий с параметром Херста 0,95. Чем выше параметр Херста, тем более плавной будет кривая.

«Н» = 0,15

«Н» = 0,55

«Н» = 0,95

Метод 1 моделирования

Можно смоделировать траектории выборки fBm, используя методы генерации стационарных гауссовских процессов с известной ковариационной функцией. Самый простой методопирается на метод разложения Холецкого ковариационной матрицы (поясняется ниже), который на сетке размера $n$имеет сложность заказа $O(n^{3})$. Более сложный, но в вычислительном отношении более быстрый метод — это встраивания циркулянта метод Дитриха и Ньюсама (1997) .

Предположим, мы хотим смоделировать значения fBM время от времени. $t_{1},\ldots ,t_{n}$ используя метод разложения Холецкого .

• Формируем матрицу $\Gamma ={\bigl (}R(t_{i},\,t_{j}),i,j=1,\ldots ,\,n{\bigr )}$ где $\,R(t,s)=(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})/2$.
• Вычислить $\,\Sigma$ матрица квадратного корня из $\,\Gamma$, то есть $\,\Sigma ^{2}=\Gamma$. Грубо говоря, $\,\Sigma$ - матрица «стандартного отклонения», связанная с матрицей дисперсии-ковариации $\,\Gamma$.
• Построить вектор $\,v$ из n чисел, нарисованных независимо в соответствии со стандартным распределением Гаусса,
• Если мы определим $\,u=\Sigma v$ затем $\,u$ дает образец пути fBm .

Чтобы вычислить $\,\Sigma$мы можем использовать, например, метод разложения Холецкого . Альтернативный метод использует собственные значения $\,\Gamma$:

• С $\,\Gamma$ является симметричной матрицей , положительно определенной то все собственные значения $\,\lambda _{i}$ из $\,\Gamma$ удовлетворить $\,\lambda _{i}>0$, ( $i=1,\dots ,n$).
• Позволять $\,\Lambda$ — диагональная матрица собственных значений, т.е. $\Lambda _{ij}=\lambda _{i}\,\delta _{ij}$ где $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера . Мы определяем $\Lambda ^{1/2}$ как диагональная матрица с элементами $\lambda _{i}^{1/2}$, то есть $\Lambda _{ij}^{1/2}=\lambda _{i}^{1/2}\,\delta _{ij}$.

Обратите внимание, что результат имеет действительное значение, поскольку $\lambda _{i}>0$.

• Позволять $\,v_{i}$ собственный вектор, связанный с собственным значением $\,\lambda _{i}$. Определять $\,P$ как матрица, чья $i$-й столбец — собственный вектор $\,v_{i}$.

Заметим, что поскольку собственные векторы линейно независимы, матрица $\,P$ является обратимым.

• Отсюда следует, что $\Sigma =P\,\Lambda ^{1/2}\,P^{-1}$ потому что $\Gamma =P\,\Lambda \,P^{-1}$.

Метод 2 моделирования

Также известно, что

$B_{H}(t)=\int _{0}^{t}K_{H}(t,s)\,dB(s)$

где B — стандартное броуновское движение и

$K_{H}(t,s)={\frac {(t-s)^{H-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (H+{\frac {1}{2}})}}\;_{2}F_{1}\left(H-{\frac {1}{2}};\,{\frac {1}{2}}-H;\;H+{\frac {1}{2}};\,1-{\frac {t}{s}}\right).$

Где $_{2}F_{1}$ — гипергеометрический интеграл Эйлера .

Скажем, мы хотим смоделировать FBm в точках $0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T$.

• Создайте вектор из n чисел, нарисованный в соответствии со стандартным распределением Гаусса.
• Умножьте его покомпонентно на √ T / n , чтобы получить приращения броуновского движения на [0, T ]. Обозначим этот вектор через $(\delta B_{1},\ldots ,\delta B_{n})$.
• Для каждого $t_{j}$, вычислить

$B_{H}(t_{j})={\frac {n}{T}}\sum _{i=0}^{j-1}\int _{t_{i}}^{t_{i+1}}K_{H}(t_{j},\,s)\,ds\ \delta B_{i}.$

Интеграл может быть эффективно вычислен с помощью квадратуры Гаусса .

См. также

• Броуновская поверхность
• Авторегрессионное дробно-интегрированное скользящее среднее
• Мультифрактал : обобщенная структура дробных броуновских движений.
• Розовый шум
• Раздачи твиди

Ссылки

• Беран, Дж. (1994), Статистика процессов с длинной памятью , Chapman & Hall, ISBN  0-412-04901-5 .
• Крейгмил П.Ф. (2003), «Моделирование класса стационарных гауссовских процессов с использованием алгоритма Дэвиса-Харта с применением к процессам с длинной памятью», Journal of Times Series Analysis , 24: 505–511.
• Дикер, Т. (2004). Моделирование дробного броуновского движения (PDF) (магистерская диссертация) . Проверено 29 декабря 2012 г.
• Дитрих, ЧР; Ньюсам, Г.Н. (1997), «Быстрое и точное моделирование стационарных гауссовских процессов посредством циркулянтного встраивания ковариационной матрицы», SIAM Journal on Scientific Computing , 18 (4): 1088–1107, Bibcode : 1997SJSC...18.1088D , дои : 10.1137/s1064827592240555 .
• Фальконер, Кеннет (2003), Математические основы и приложения фрактальной геометрии (2-е изд.), Wiley, стр. 267–271, ISBN  0-470-84861-8 , получено 23 января 2024 г.
• Леви, П. (1953), Случайные функции: общая теория со специальными ссылками на случайные функции Лапласа , Публикации Калифорнийского университета по статистике, том. 1, стр. 331–390 .
• Мандельброт, Б .; ван Несс, Дж.В. (1968), «Дробные броуновские движения, дробные шумы и приложения», SIAM Review , 10 (4): 422–437, Bibcode : 1968SIAMR..10..422M , doi : 10.1137/1010093 , JSTOR   2027184 .
• Ори, Стивен (1970), «Гауссовы выборочные функции и хаусдорфова размерность железнодорожных переездов», Журнал теории вероятностей и смежных областей , 15 (3): 249–256, doi : 10.1007/BF00534922 , S2CID   121253646 .
• Перрин, Э.; Харба, Р.; Берзин-Джозеф, К.; Ирибаррен, И.; Бонами, А. (2001). «Дробное броуновское движение NTH-порядка и дробные гауссовские шумы» . Транзакции IEEE по обработке сигналов . 49 (5): 1049–1059. Бибкод : 2001ITSP...49.1049P . дои : 10.1109/78.917808 .
• Самородницкий Г., Такку М.С. (1994), Стабильные негауссовы случайные процессы , Глава 7: «Самоподобные процессы» (Чепмен и Холл).

Дальнейшее чтение

• Сэйнти, П. (1992), «Построение комплекснозначного дробного броуновского движения порядка N », Журнал математической физики , 33 (9): 3128, Bibcode : 1992JMP....33.3128S , doi : 10.1063/1.529976 .