Это распространится

В математике , в частности, в стохастическом анализе , диффузия Ито является решением определенного типа стохастического дифференциального уравнения . Это уравнение похоже на уравнение Ланжевена, используемое в физике для описания броуновского движения частицы, находящейся под действием потенциала в вязкой жидкости. Диффузия Ито названа в честь японского математика Киёси Ито .

Обзор

Этот винеровский процесс (броуновское движение) в трехмерном пространстве (показан один образец пути) является примером диффузии Ито.

( однородная во времени ) диффузия Ито в n -мерном евклидовом пространстве ${\boldsymbol {\textbf {R}}}^{n}$ — это процесс X : [0, +∞) × Ω → R ^н определенный в вероятностном пространстве (Ω, Σ, P ) и удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению вида

$\mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t},$

где B — m -мерное броуновское движение и b : R ^н → Р ^н и σ: R ^н → Р ^{n × m} удовлетворяют обычному непрерывности Липшица условию

$|b(x)-b(y)|+|\sigma (x)-\sigma (y)|\leq C|x-y|$

для некоторой константы C и всех x , y ∈ R ^н ; это условие обеспечивает существование единственного сильного решения X приведенного выше стохастического дифференциального уравнения. Векторное поле b известно дрейфа коэффициент X ; как матричное поле известно как коэффициент диффузии X σ . Важно отметить, что b и σ не зависят от времени; если бы они зависели от времени, X назывался бы только процессом Ито , а не диффузией. Диффузия Ито обладает рядом замечательных свойств, в том числе

• непрерывность образца и Феллера ;
• свойство Маркова ;
• сильное марковское свойство ;
• существование бесконечно малого генератора ;
• существование характеристического оператора ;
• Формула Дынкина .

В частности, диффузия Ито — это непрерывный строго марковский процесс, область определения его характеристического оператора включает все дважды непрерывно дифференцируемые функции, поэтому это диффузия в смысле, определенном Дынкиным (1965).

Непрерывность

Основная статья: Непрерывный случайный процесс

Непрерывность образца

Диффузия Ито X представляет собой выборочный непрерывный процесс , т. е. почти для всех реализаций B _t шума (ω) X _t (ω) является непрерывной функцией временного параметра t . Точнее, существует «непрерывная версия» X , непрерывный процесс Y , так что

$\mathbf {P} [X_{t}=Y_{t}]=1{\mbox{ for all }}t.$

Это следует из стандартной теории существования и единственности сильных решений стохастических дифференциальных уравнений.

Преемственность Феллера

Помимо непрерывности (выборки), диффузия Ито X удовлетворяет более строгому требованию быть непрерывным по Феллеру процессом .

Для точки x ∈ R ^н , пусть П ^х обозначим закон X при заданных исходных данных X ₀ = x , и пусть E ^х обозначим ожидание относительно P ^х .

Пусть f : R ^н → R функция по Борелю — измеримая , ограниченная снизу и определяющая при фиксированном t ≥ 0 u : R ^н → R автор

$u(x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})].$

• Полунепрерывность снизу : если f полунепрерывен снизу, то u полунепрерывен снизу.
• Непрерывность Феллера: если f ограничен и непрерывен, то u непрерывен.

Поведение функции u, указанной выше, при изменении времени t рассматривается с помощью обратного уравнения Колмогорова, уравнения Фоккера – Планка и т. д. (см. ниже).

Собственность Маркова

Основная статья: Марковская собственность

Собственность Маркова

Диффузия Ито X обладает важным свойством быть марковским : будущее поведение X , учитывая то, что произошло до некоторого момента времени t , такое же, как если бы процесс начался в позиции X _t в момент времени 0. Точная математическая формулировка этого утверждения требует некоторых дополнительных обозначений:

через Σ _∗ Обозначим естественную фильтрацию (Ω, Σ), порожденную броуновским движением B : при t ≥ 0

$\Sigma _{t}=\Sigma _{t}^{B}=\sigma \left\{B_{s}^{-1}(A)\subseteq \Omega \ :\ 0\leq s\leq t,A\subseteq \mathbf {R} ^{n}{\mbox{ Borel}}\right\}.$

Легко показать, что X адаптирован -измерим) , к Σ _∗ (т.е. каждый X _t Σ _t поэтому естественная фильтрация F _∗ = F _∗ ^Х (Ω, Σ), порожденного X, имеет F _t ⊆ Σ _t для каждого t ≥ 0.

Пусть f : R ^н → R — ограниченная, измеримая по Борелю функция. Тогда для всех t и h ≥ 0 условное ожидание , обусловленное σ-алгеброй Σ _t, и ожидание «перезапуска» процесса из X _t удовлетворяют марковскому свойству :

$\mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}{\big ]}(\omega )=\mathbf {E} ^{X_{t}(\omega )}[f(X_{h})].$

Фактически, X также является марковским процессом относительно фильтрации F _∗ , как показывает следующее:

${\begin{aligned}\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}F_{t}\right]&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}\right]{\big |}F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right]{\big |}F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right].\end{aligned}}$

Сильное марковское свойство

Сильное марковское свойство является обобщением указанного выше свойства Маркова, в котором t заменяется подходящим случайным временем τ : Ω → [0, +∞], известным как время остановки . Так, например, вместо того, чтобы «перезапускать» процесс X в момент времени t = 1, можно «перезапустить» всякий раз, когда X впервые достигает некоторой заданной точки p из R. ^н .

Как и раньше, пусть f : R ^н → R — ограниченная, измеримая по Борелю функция. Пусть τ — момент остановки относительно фильтрации Σ _∗ с τ < +∞ почти наверняка . Тогда для всех h ≥ 0

$\mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{\tau +h}){\big |}\Sigma _{\tau }{\big ]}=\mathbf {E} ^{X_{\tau }}{\big [}f(X_{h}){\big ]}.$

Генератор

Основная статья: Генератор бесконечно малых величин (случайные процессы)

Определение

С каждой диффузией Ито связан оператор в частных производных второго порядка, известный как генератор диффузии. Генератор очень полезен во многих приложениях и кодирует большой объем информации о X. процессе Формально бесконечно малый генератор диффузии Ито X — это оператор A , который определен как действующий на подходящие функции f : R. ^н → R автор

$Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}.$

Множество всех функций f, для которых существует этот предел в точке x, обозначается D _A ( x ), а D _A обозначает множество всех f , для которых существует предел для всех x ∈ R. ^н . Можно показать, что любой с компактным носителем C ² (дважды дифференцируемая с непрерывной второй производной) функция f лежит в DA _что и

$Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x),$

или, с точки зрения градиента , скаляра и Фробениуса внутреннего произведения ,

$Af(x)=b(x)\cdot \nabla _{x}f(x)+{\tfrac {1}{2}}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right):\nabla _{x}\nabla _{x}f(x).$

Пример

Генератор A для стандартного n -мерного броуновского движения B , который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению d X _t = d B _t , имеет вид

$Af(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\delta _{ij}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}(x)$,

т. е. A = ∆/2, где ∆ обозначает оператор Лапласа .

Уравнения Колмогорова и Фоккера–Планка.

Основные статьи: обратное уравнение Колмогорова и уравнение Фоккера – Планка.

Генератор используется при формулировке обратного уравнения Колмогорова. Интуитивно это уравнение говорит нам, как ожидаемое значение любой достаточно гладкой статистики X меняется во времени: оно должно решить определенное уравнение в частных производных, в котором время t и начальное положение x являются независимыми переменными. Точнее, если f ∈ C ² ( Р ^н ; R ) имеет компактный носитель и u : [0, +∞) × R ^н → R определяется формулой

$u(t,x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})],$

тогда u ( t , x ) дифференцируемо по t , u ( t , ·) ∈ DA _u для всех t , и удовлетворяет следующему уравнению в частных производных , известному как обратное уравнение Колмогорова :

${\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}(t,x)=Au(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\u(0,x)=f(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}$

Уравнение Фоккера-Планка (также известное как уравнение Колмогорова ) в некотором смысле « сопряжено » к обратному уравнению и говорит нам, как функции плотности вероятности X прямое _t изменяются со временем t . Пусть ρ( t , ·) — плотность X _t относительно меры Лебега на R ^н , т.е. для любого измеримого по Борелю множества S ⊆ R ^н ,

$\mathbf {P} \left[X_{t}\in S\right]=\int _{S}\rho (t,x)\,\mathrm {d} x.$

Пусть А ^∗ обозначим эрмитово сопряженное к A (относительно L ² внутренний продукт ). Тогда, учитывая, что начальное положение X ₀ имеет заданную плотность ρ ₀ , ρ( t , x ) дифференцируемо по t , ρ( t , ·) ∈ для _{всех DA *} t и ρ удовлетворяет следующему частному дифференциалу уравнение, известное как уравнение Фоккера – Планка :

${\begin{cases}{\dfrac {\partial \rho }{\partial t}}(t,x)=A^{*}\rho (t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\\rho (0,x)=\rho _{0}(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}$

Формула Фейнмана–Каца

Основная статья: формула Фейнмана – Каца

Формула Фейнмана-Каца является полезным обобщением обратного уравнения Колмогорова. Опять же, f находится в C ² ( Р ^н ; R ) и имеет компактный носитель, а q : R ^н → R считается непрерывной функцией , ограниченной снизу. Определим функцию v : [0, +∞) × R ^н → R автор

$v(t,x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\exp \left(-\int _{0}^{t}q(X_{s})\,\mathrm {d} s\right)f(X_{t})\right].$

Формула Фейнмана–Каца утверждает, что v удовлетворяет уравнению в частных производных

${\begin{cases}{\dfrac {\partial v}{\partial t}}(t,x)=Av(t,x)-q(x)v(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\v(0,x)=f(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}$

Более того, если w : [0, +∞) × R ^н → R — это C ¹ во времени, С ² в пространстве, ограниченном на K × R ^н для всех компактных K и удовлетворяет приведенному выше уравнению в частных производных, то w должно быть v , как определено выше.

Обратное уравнение Колмогорова — это частный случай формулы Фейнмана–Каца, в которой q ( x ) = 0 для всех x ∈ R ^н .

Характеристический оператор

Определение

Характеристический оператор диффузии Ито X — это оператор в частных производных, тесно связанный с генератором, но несколько более общий. Он больше подходит для определенных задач, например при решении задачи Дирихле .

Характеристический оператор ${\mathcal {A}}$ диффузии Ито X определяется формулой

${\mathcal {A}}f(x)=\lim _{U\downarrow x}{\frac {\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{U}})\right]-f(x)}{\mathbf {E} ^{x}[\tau _{U}]}},$

где множества U образуют последовательность открытых множеств U _k , убывающих к точке x в том смысле, что

$U_{k+1}\subseteq U_{k}{\mbox{ and }}\bigcap _{k=1}^{\infty }U_{k}=\{x\},$

и

$\tau _{U}=\inf\{t\geq 0\ :\ X_{t}\not \in U\}$

это первый момент выхода из U для X. — $D_{\mathcal {A}}$ обозначает множество всех f, для которых этот предел существует для всех x ∈ R ^н и все последовательности { U _k }. Если Е ^х [τ _U ] = +∞ для всех открытых множеств U, содержащих x , определим

${\mathcal {A}}f(x)=0.$

Связь с генератором

Характеристический оператор и бесконечно малый генератор очень тесно связаны и даже совпадают для большого класса функций. Можно показать, что

$D_{A}\subseteq D_{\mathcal {A}}$

и это

$Af={\mathcal {A}}f{\mbox{ for all }}f\in D_{A}.$

В частности, генератор и характеристический оператор совпадают для всех C ² функции f , и в этом случае

${\mathcal {A}}f(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x).$

Приложение: броуновское движение на римановом многообразии.

Характеристический оператор броуновского движения есть ⁠ 1/2 раза ⁠ . оператор Лапласа-Бельтрами Здесь это оператор Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере.

Выше генератор (и, следовательно, характеристический оператор) броуновского движения на R ^н было рассчитано, чтобы быть ⁠ 1/2 обозначает Δ, где Δ ⁠ оператор Лапласа. Характеристический оператор полезен при определении броуновского движения на m -мерном римановом многообразии ( M , g ): броуновское движение на M определяется как диффузия на M, характеристический оператор которой ${\mathcal {A}}$ в локальных координатах x _i , 1 ≤ i ≤ m , определяется выражением ⁠ 1 / 2 ⁠ Δ _LB , где Δ _LB — оператор Лапласа-Бельтрами, заданный в локальных координатах формулой

$\Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),$

где [ г ^ij ] = [ г _ij ] ⁻¹ в смысле обратной квадратной матрицы .

Резольвентный оператор

В общем случае генератор A диффузии Ито X не является ограниченным оператором . положительное кратное тождественного оператора I вычитается Однако если из A , то полученный оператор обратим. Обратный к этому оператору может быть выражен через сам X с использованием резольвентного оператора.

При α > 0 резольвентный оператор R _α , действующий на ограниченные непрерывные функции g : R ^н → R определяется формулой

$R_{\alpha }g(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}g(X_{t})\,\mathrm {d} t\right].$

Используя непрерывность Феллера диффузии X , можно показать, что R _α g сама по себе является ограниченной непрерывной функцией. Кроме того, R _α и α I − A являются взаимно обратными операторами:

• если ж : Р ^н → R — это C ² с компактным носителем, то для всех α > 0

$R_{\alpha }(\alpha \mathbf {I} -A)f=f;$

• если г : Р ^н → R ограничен и непрерывен, то R _α g лежит в DA _и для всех α > 0

$(\alpha \mathbf {I} -A)R_{\alpha }g=g.$

Инвариантные меры

Иногда необходимо найти инвариантную меру диффузии Ито X , т.е. меру на R ^н которое не меняется при «потоке» X : т.е. если X ₀ распределяется согласно такой инвариантной мере µ _∞ , то X _t также распределяется согласно µ _∞ для любого t ≥ 0. Уравнение Фоккера–Планка предлагает способ найти такую ​​меру, по крайней мере, если она имеет функцию плотности вероятности ρ _∞ : если X ₀ действительно распределен согласно инвариантной мере µ _∞ с плотностью ρ _∞ , то плотность ρ( t , ·) X _t не меняется с t , поэтому ρ( t , ·) = ρ _∞ и поэтому ρ _∞ должно решать (независимое от времени) дифференциальное уравнение в частных производных

$A^{*}\rho _{\infty }(x)=0,\quad x\in \mathbf {R} ^{n}.$

Это иллюстрирует одну из связей между стохастическим анализом и изучением уравнений в частных производных. И наоборот, данное линейное уравнение в частных производных второго порядка формы Λ f = 0 может быть трудно решить напрямую, но если Λ = A ^∗ для некоторой диффузии Ито X и инвариантной меры для X легко вычислить, тогда плотность этой меры дает решение уравнения в частных производных.

Инвариантные меры для градиентных потоков

Инвариантную меру сравнительно легко вычислить, если процесс X представляет собой стохастический градиентный поток вида

$\mathrm {d} X_{t}=-\nabla \Psi (X_{t})\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},$

где β > 0 играет роль обратной температуры , а Ψ : R ^н → R — скалярный потенциал, удовлетворяющий подходящим условиям гладкости и роста. В этом случае уравнение Фоккера–Планка имеет единственное стационарное решение ρ _∞ (т. е. X имеет единственную инвариантную меру µ _∞ с плотностью ρ _∞ ) и задается распределением Гиббса :

$\rho _{\infty }(x)=Z^{-1}\exp(-\beta \Psi (x)),$

где статистическая сумма Z определяется выражением

$Z=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\exp(-\beta \Psi (x))\,\mathrm {d} x.$

Более того, плотность ρ∞ _{удовлетворяет} вариационному принципу : она минимизируется по всем плотностям вероятности ρ на R ^н свободной энергии функционал F, определяемый формулой

$F[\rho ]=E[\rho ]+{\frac {1}{\beta }}S[\rho ],$

где

$E[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Psi (x)\rho (x)\,\mathrm {d} x$

играет роль энергетического функционала, а

$S[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\rho (x)\log \rho (x)\,\mathrm {d} x$

является отрицательным функционалом энтропии Гиббса-Больцмана. Даже когда потенциал Ψ ​​ведет себя недостаточно хорошо для статистической суммы Z и меры Гиббса µ _∞ определения , свободная энергия F [ρ( t , ·)] все еще имеет смысл для каждого момента времени t ≥ 0, при условии, что начальное условие имеет F [ρ(0, ·)] < +∞. Функционал свободной энергии F фактически является функцией Ляпунова для уравнения Фоккера–Планка: F [ρ( t , ·)] должна уменьшаться с увеличением t . Таким образом, F является H -функцией - динамики X .

Пример

Рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека X на R ^н удовлетворяющее стохастическому дифференциальному уравнению

$\mathrm {d} X_{t}=-\kappa (X_{t}-m)\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},$

где m ∈ R ^н и β, κ > 0 — заданные константы. В этом случае потенциал Ψ ​​определяется выражением

$\Psi (x)={\tfrac {1}{2}}\kappa |x-m|^{2},$

и поэтому инвариантная мера для X является гауссовой мерой с плотностью ρ _∞, определяемой формулой

$\rho _{\infty }(x)=\left({\frac {\beta \kappa }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\exp \left(-{\frac {\beta \kappa |x-m|^{2}}{2}}\right)$.

Эвристически, для больших X t t _{приблизительно} нормально распределяется со средним m и дисперсией (βκ) ⁻¹ . Выражение для дисперсии можно интерпретировать следующим образом: большие значения κ означают, что потенциальная яма Ψ имеет «очень крутые стороны», поэтому маловероятно, что X _t отойдет далеко от минимума Ψ в точке m ; аналогично, большие значения β означают, что система достаточно «холодная» с небольшим шумом, поэтому, опять же, X _t вряд ли уйдет далеко от m .

Свойство мартингейла

В общем, диффузия Ито X не является мартингалом . Однако для любой f ∈ C ² ( Р ^н ; R ) с компактным носителем, процесс M : [0, +∞) × Ω → R , определенный формулой

$M_{t}=f(X_{t})-\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s,$

где A — генератор X , является мартингалом относительно естественной фильтрации F _∗ (Ω, Σ) с X. помощью Доказательство довольно простое: из обычного выражения действия генератора на достаточно гладкие функции f и леммы Ито (правила стохастической цепочки ) следует, что

$f(X_{t})=f(x)+\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}\nabla f(X_{s})^{\top }\sigma (X_{s})\,\mathrm {d} B_{s}.$

Поскольку интегралы Ито являются мартингалами относительно естественной фильтрации Σ _∗ (Ω, Σ) с помощью B , при t > s ,

$\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}=M_{s}.$

Следовательно, как и требуется,

$\mathbf {E} ^{x}[M_{t}|F_{s}]=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}{\big |}F_{s}\right]=\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{s}{\big |}F_{s}{\big ]}=M_{s},$

поскольку M _s -измеримо F _s .

Формула Дынкина

Основная статья: формула Дынкина

Формула Дынкина, названная в честь Евгения Дынкина , дает ожидаемое значение любой достаточно гладкой статистики диффузии Ито X (с генератором A ) во время остановки. А именно, если τ — момент остановки с E ^х [τ] < +∞ и f : R ^н → R — это C ² с компактной поддержкой, то

$\mathbf {E} ^{x}[f(X_{\tau })]=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau }Af(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].$

Формулу Дынкина можно использовать для расчета многих полезных статистических данных о времени остановки. Например, каноническое броуновское движение на действительной прямой, начинающееся с 0, выходит из интервала (− R , + R ) в случайный момент времени τ _R с ожидаемым значением.

$\mathbf {E} ^{0}[\tau _{R}]=R^{2}.$

Формула Дынкина дает информацию о поведении X в довольно общий момент остановки. Для получения дополнительной информации о распределении X во время удара можно изучить гармоническую меру процесса.

Сопутствующие меры

Гармоническая мера

Основная статья: Гармоническая мера

Во многих ситуациях достаточно знать, когда диффузия Ито X впервые покинет измеримое множество H ⊆ R. ^н . То есть нужно изучить время первого выхода

$\tau _{H}(\omega )=\inf\{t\geq 0|X_{t}\not \in H\}.$

Иногда, однако, требуется также знать распределение точек, в которых X выходит из множества. Например, каноническое броуновское движение B на действительной прямой, начинающейся с 0, выходит из интервала (−1, 1) в точке −1 с вероятностью ⁠ 1/2 ⁠ и при 1 с вероятностью ⁠ 1/2 ( −1 ⁠ , поэтому B _{τ , 1)} на равномерно распределено множестве {−1, 1}.

В общем случае, если G вкладывается компактно в R ^н , то гармоническая мера (или распределение попаданий ) X на границе ∂ G группы G — это мера µ _G ^х определяется

$\mu _{G}^{x}(F)=\mathbf {P} ^{x}\left[X_{\tau _{G}}\in F\right]$

для x ∈ G и F ⊆ ∂ G .

Возвращаясь к предыдущему примеру броуновского движения, можно показать, что если B — броуновское движение в R ^н начиная с x ∈ R ^н и D ⊂ R ^н является открытым шаром с центром на x , то гармоническая мера B на ∂D инвариантна относительно всех вращений D вокруг и x совпадает с нормированной поверхностной мерой на ∂D .

Гармоническая мера обладает интересным свойством среднего значения : если f : R ^н → R — любая ограниченная, измеримая по Борелю функция, а φ задается формулой

$\varphi (x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{H}})\right],$

тогда для всех борелевских множеств G ⊂ ⊂ H и всех x ∈ G ,

$\varphi (x)=\int _{\partial G}\varphi (y)\,\mathrm {d} \mu _{G}^{x}(y).$

Свойство среднего значения очень полезно при решении уравнений в частных производных с использованием случайных процессов .

Мера Зеленого и формула Зеленого

Основная статья: Зеленая мера

Пусть A — оператор частных производных в области D ⊆ R ^н и пусть X — диффузия Ито с А в качестве генератора. Интуитивно понятно, что мера Грина борелевского множества H — это ожидаемая продолжительность времени, в течение которого остается в H, прежде чем оно покинет область D. X То есть мера Грина X G относительно D в точке x , обозначаемая ( x , ·), определена для борелевских множеств H ⊆ R. ^н к

$G(x,H)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}\chi _{H}(X_{s})\,\mathrm {d} s\right],$

или для ограниченных непрерывных функций f : D → R по формуле

$\int _{D}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].$

Название «Зеленая мера» происходит от того, что если X — броуновское движение, то

$G(x,H)=\int _{H}G(x,y)\,\mathrm {d} y,$

где G ( x , y ) — функция Грина для оператора ⁠ 1/2 ​ области ⁠ в D. Δ

Предположим, что E ^х [τ _D ] < +∞ для всех x ∈ D . Тогда формула Грина справедлива для всех f ∈ C ² ( Р ^н ; R ) с компактным носителем:

$f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f\left(X_{\tau _{D}}\right)\right]-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).$

В частности, если носитель f вложен компактно в D ,

$f(x)=-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).$

См. также

• Процесс диффузии

Ссылки

• Дынкин Евгений Борисович ; пер. Дж. Фабиус; В. Гринберг; А. Майтра; Г. Маджоне (1965). Марковские процессы. Том. Я, II . Основы математических наук, том 121. Нью-Йорк: Academic Press Inc. MR. 0193671
• Джордан, Ричард; Киндерлерер, Дэвид; Отто, Феликс (1998). «Вариационная формулировка уравнения Фоккера – Планка». СИАМ Дж. Математика. Анал . 29 (1): 1–17 (электронный). CiteSeerX   10.1.1.6.8815 . дои : 10.1137/S0036141096303359 . S2CID   13890235 . МИСТЕР 1617171
• Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-04758-1 . МИСТЕР 2001996 г. (см. разделы 7, 8 и 9)