Теорема Колмогорова о продолжении

В математике теорема расширения Колмогорова (также известная как теорема существования Колмогорова , теорема согласованности Колмогорова или теорема Даниэля-Колмогорова ) — это теорема , которая гарантирует, что подходящим образом «непротиворечивый» набор конечномерных распределений будет определять случайный процесс . Оно приписывается английскому математику Перси Джону Дэниелу и русскому математику Андрею Николаевичу Колмогорову . ^[1]

Формулировка теоремы [ править ]

Позволять $T$ обозначим некоторый интервал (называемый « временем ») и пусть $n\in \mathbb {N}$ . Для каждого $k\in \mathbb {N}$ и конечная последовательность различных времен $t_{1},\dots ,t_{k}\in T$ , позволять $\nu _{t_{1}\dots t_{k}}$ быть вероятностной мерой $(\mathbb {R} ^{n})^{k}.$ Предположим, что эти меры удовлетворяют двум условиям согласованности:

1. для всех перестановок $\pi$ из $\{1,\dots ,k\}$ и измеримые множества $F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ,

\nu _{t_{\pi (1)}\dots t_{\pi (k)}}\left(F_{\pi (1)}\times \dots \times F_{\pi (k)}\right)=\nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right);

2. для всех измеримых множеств $F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ , $m\in \mathbb {N}$

\nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right)=\nu _{t_{1}\dots t_{k},t_{k+1},\dots ,t_{k+m}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\times \underbrace {\mathbb {R} ^{n}\times \dots \times \mathbb {R} ^{n}} _{m}\right).

Тогда существует вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ и случайный процесс $X:T\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ такой, что

\nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right)=\mathbb {P} \left(X_{t_{1}}\in F_{1},\dots ,X_{t_{k}}\in F_{k}\right)

для всех $t_{i}\in T$ , $k\in \mathbb {N}$ и измеримые множества $F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ , то есть $X$ имеет $\nu _{t_{1}\dots t_{k}}$ как его конечномерные распределения относительно времен $t_{1}\dots t_{k}$ .

Фактически, всегда можно принять в качестве основного вероятностного пространства $\Omega =(\mathbb {R} ^{n})^{T}$ и принять за $X$ канонический процесс $X\colon (t,Y)\mapsto Y_{t}$ . Следовательно, альтернативный способ формулировки теоремы о продолжении Колмогорова состоит в том, что при условии выполнения вышеуказанных условий согласованности существует (единственная) мера $\nu$ на $(\mathbb {R} ^{n})^{T}$ с маргиналами $\nu _{t_{1}\dots t_{k}}$ для любого конечного набора времен $t_{1}\dots t_{k}$ . Теорема Колмогорова о продолжении применима, когда $T$ неисчислимо, но цена, которую придется заплатитьдля этого уровня общности заключается в том, что мера $\nu$ определяется только на произведении σ- алгебры $(\mathbb {R} ^{n})^{T}$ , который не очень богат.

Разъяснение условий [ править ]

Два условия, требуемые теоремой, тривиально удовлетворяются любым случайным процессом. Например, рассмотрим стохастический процесс с дискретным временем и действительным значением. $X$ . Тогда вероятность $\mathbb {P} (X_{1}>0,X_{2}<0)$ может быть вычислено либо как $\nu _{1,2}(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{-})$ или как $\nu _{2,1}(\mathbb {R} _{-}\times \mathbb {R} _{+})$ . Следовательно, для того, чтобы конечномерные распределения были непротиворечивыми, должно выполняться условие $\nu _{1,2}(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{-})=\nu _{2,1}(\mathbb {R} _{-}\times \mathbb {R} _{+})$ .Первое условие обобщает это утверждение, чтобы оно выполнялось для любого количества моментов времени. $t_{i}$ и любые управляющие наборы $F_{i}$ .

Продолжая пример, второе условие означает, что $\mathbb {P} (X_{1}>0)=\mathbb {P} (X_{1}>0,X_{2}\in \mathbb {R} )$ . Кроме того, это тривиальное условие, которому будет удовлетворять любое непротиворечивое семейство конечномерных распределений.

теоремы Следствия

Поскольку эти два условия тривиально выполняются для любого случайного процесса, сила теоремы состоит в том, что никаких других условий не требуется: для любого разумного (т. е. непротиворечивого) семейства конечномерных распределений существует случайный процесс с этими распределениями.

Теоретико-мерный подход к случайным процессам начинается с вероятностного пространства и определяет случайный процесс как семейство функций в этом вероятностном пространстве. Однако во многих приложениях отправной точкой на самом деле являются конечномерные распределения случайного процесса. Теорема гласит, что при условии, что конечномерные распределения удовлетворяют очевидным требованиям непротиворечивости, всегда можно определить вероятностное пространство, соответствующее поставленной цели. Во многих ситуациях это означает, что не нужно явно указывать, что такое вероятностное пространство. Многие тексты о случайных процессах действительно предполагают вероятностное пространство, но никогда явно не указывают, что это такое.

Теорема используется в одном из стандартных доказательств существования броуновского движения путем указания конечномерных распределений как гауссовых случайных величин, удовлетворяющих приведенным выше условиям согласованности. Как и в большинстве определений броуновского движения, требуется, чтобы выборочные траектории были непрерывными почти наверняка, а затем можно использовать теорему о непрерывности Колмогорова для построения непрерывной модификации процесса, построенного с помощью теоремы о продолжении Колмогорова.

Общий вид теоремы [ править ]

Теорема Колмогорова о расширении дает нам условия, при которых набор мер в евклидовых пространствах является конечномерным распределением некоторых $\mathbb {R} ^{n}$ -значный случайный процесс, но предположение, что пространство состояний $\mathbb {R} ^{n}$ ненужно. Фактически, было бы достаточно любого набора измеримых пространств вместе с набором внутренних регулярных мер, определенных на конечных произведениях этих пространств, при условии, что эти меры удовлетворяют определенному соотношению совместимости. Формальная формулировка общей теоремы такова. ^[2]

Позволять $T$ быть любым набором. Позволять $\{(\Omega _{t},{\mathcal {F}}_{t})\}_{t\in T}$ быть некоторой совокупностью измеримых пространств, и для каждого $t\in T$ , позволять $\tau _{t}$ быть топологией Хаусдорфа на $\Omega _{t}$ . Для каждого конечного подмножества $J\subset T$ , определять

\Omega _{J}:=\prod _{t\in J}\Omega _{t}

.

Для подмножеств $I\subset J\subset T$ , позволять $\pi _{I}^{J}:\Omega _{J}\to \Omega _{I}$ обозначим каноническую карту проекции $\omega \mapsto \omega |_{I}$ .

Для каждого конечного подмножества $F\subset T$ , предположим, что у нас есть вероятностная мера $\mu _{F}$ на $\Omega _{F}$ которая является внутренней регулярной относительно топологии произведения (индуцированной $\tau _{t}$ ) на $\Omega _{F}$ . Предположим также, что эта коллекция $\{\mu _{F}\}$ мер удовлетворяет следующему соотношению совместимости: для конечных подмножеств $F\subset G\subset T$ , у нас это есть

\mu _{F}=(\pi _{F}^{G})_{*}\mu _{G}

где $(\pi _{F}^{G})_{*}\mu _{G}$ обозначает продвижения вперед меру $\mu _{G}$ индуцированное каноническим отображением проекции $\pi _{F}^{G}$ .

Тогда существует единственная вероятностная мера $\mu$ на $\Omega _{T}$ такой, что $\mu _{F}=(\pi _{F}^{T})_{*}\mu$ для каждого конечного подмножества $F\subset T$ .

Отметим, что все меры $\mu _{F},\mu$ определены на сигма-алгебре произведения в соответствующих пространствах, что (как упоминалось ранее) является довольно грубым. Мера $\mu$ иногда может быть соответствующим образом расширено до более крупной сигма-алгебры, если присутствует дополнительная структура.

Обратите внимание, что исходное утверждение теоремы является лишь частным случаем этой теоремы с $\Omega _{t}=\mathbb {R} ^{n}$ для всех $t\in T$ , и $\mu _{\{t_{1},...,t_{k}\}}=\nu _{t_{1}\dots t_{k}}$ для $t_{1},...,t_{k}\in T$ . Случайный процесс был бы просто каноническим процессом. $(\pi _{t})_{t\in T}$ , определенный на $\Omega =(\mathbb {R} ^{n})^{T}$ с вероятностной мерой $P=\mu$ . Причина того, что в исходной формулировке теоремы не упоминается внутренняя регулярность мер $\nu _{t_{1}\dots t_{k}}$ заключается в том, что это произойдет автоматически, поскольку вероятностные меры Бореля на польских пространствах автоматически являются радоновыми .

Эта теорема имеет множество далеко идущих следствий; например, его можно использовать для доказательства существования, среди прочего:

Броуновское движение, т. е. винеровский процесс ,
цепь Маркова, принимающая значения в заданном пространстве состояний с заданной матрицей перехода,
бесконечные произведения (внутренне-регулярных) вероятностных пространств.

История [ править ]

По словам Джона Олдрича, теорема была независимо открыта британским математиком Перси Джоном Дэниелом в несколько иной ситуации теории интегрирования. ^[3]

Ссылки [ править ]

^ Оксендал, Бернт (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Шпрингер. п. 11. ISBN 3-540-04758-1 .
^ Тао, Т. (2011). Введение в теорию меры . Аспирантура по математике . Том. 126. Провиденс: Американское математическое общество. п. 195. ИСБН 978-0-8218-6919-2 .
^ Дж. Олдрич, Но вы должны помнить П. Дж. Дэниела из Шеффилда, Электронный журнал истории вероятностей и статистики, Vol. 3, № 2, 2007 г.

Внешние ссылки [ править ]

Олдрич, Дж. (2007) «Но вы должны помнить П.Дж.Дэниела из Шеффилда», Electronic Journ@l for History of Probability and Статистика, декабрь 2007 г.

[1] Оксендал, Бернт (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Шпрингер. п. 11. ISBN 3-540-04758-1 .

[2] Тао, Т. (2011). Введение в теорию меры . Аспирантура по математике . Том. 126. Провиденс: Американское математическое общество. п. 195. ИСБН 978-0-8218-6919-2 .

[3] Дж. Олдрич, Но вы должны помнить П. Дж. Дэниела из Шеффилда, Электронный журнал истории вероятностей и статистики, Vol. 3, № 2, 2007 г.

[1]

[2]

[3]