Конечномерное распределение

В математике конечномерные распределения являются инструментом изучения мер и случайных процессов . Много информации можно получить, изучая «проекцию» меры (или процесса) на конечномерное векторное пространство (или конечный набор времен).

Конечномерные распределения меры

Позволять $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ быть мерой пространства . распределения Конечномерные ​ $\mu$ являются ли меры продвижения вперед $f_{*}(\mu )$, где $f:X\to \mathbb {R} ^{k}$, $k\in \mathbb {N}$, — любая измеримая функция.

Конечномерные распределения случайного процесса

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — вероятностное пространство и пусть $X:I\times \Omega \to \mathbb {X}$ быть случайным процессом . распределения Конечномерные ​ $X$ являются ли меры продвижения вперед $\mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}$ на продуктовом пространстве $\mathbb {X} ^{k}$ для $k\in \mathbb {N}$ определяется

$\mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}(S):=\mathbb {P} \left\{\omega \in \Omega \left|\left(X_{i_{1}}(\omega ),\dots ,X_{i_{k}}(\omega )\right)\in S\right.\right\}.$

Очень часто это условие формулируется в терминах измеримых прямоугольников :

$\mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}(A_{1}\times \cdots \times A_{k}):=\mathbb {P} \left\{\omega \in \Omega \left|X_{i_{j}}(\omega )\in A_{j}\mathrm {\,for\,} 1\leq j\leq k\right.\right\}.$

Определение конечномерных распределений процесса $X$ связано с определением меры $\mu$ следующим образом: напомним, что закон ${\mathcal {L}}_{X}$ из $X$ это мера по сбору $\mathbb {X} ^{I}$ всех функций из $I$ в $\mathbb {X}$. В общем, это бесконечномерное пространство. Конечномерные распределения $X$ являются ли меры продвижения вперед $f_{*}\left({\mathcal {L}}_{X}\right)$ на конечномерном пространстве произведений $\mathbb {X} ^{k}$, где

$f:\mathbb {X} ^{I}\to \mathbb {X} ^{k}:\sigma \mapsto \left(\sigma (t_{1}),\dots ,\sigma (t_{k})\right)$

это естественная «оценка временами» $t_{1},\dots ,t_{k}$"функция.

Отношение к герметичности

Можно показать, что если последовательность вероятностных мер $(\mu _{n})_{n=1}^{\infty }$ является плотным , и все конечномерные распределения $\mu _{n}$ слабо сходятся к соответствующим конечномерным распределениям некоторой вероятностной меры $\mu$, затем $\mu _{n}$ слабо сходится к $\mu$.

См. также

• Закон (случайные процессы)