Закон (случайные процессы)

В математике закон мера случайного процесса — это , которую процесс вызывает набор функций из набора индексов в пространстве состояний. Закон содержит много информации о процессе; например, в случае случайного блуждания закон представляет собой распределение вероятностей возможных траекторий блуждания.

Определение

Пусть (Ω, F , P ) — вероятностное пространство , T — некоторое индексное множество и ( S , Σ) — измеримое пространство . Пусть X : T × Ω → S — случайный процесс (поэтому отображение

$X_{t}:\Omega \to S:\omega \mapsto X(t,\omega )$

является ( S , Σ) -измеримой функцией для каждого t ∈ T ). Пусть S ^Т обозначают совокупность всех функций из T в S . Процесс X (посредством каррирования ) индуцирует функцию Φ _X : Ω → S ^Т , где

$\left(\Phi _{X}(\omega )\right)(t):=X_{t}(\omega ).$

Закон . процесса X тогда определяется как мера продвижения вперед

${\mathcal {L}}_{X}:=\left(\Phi _{X}\right)_{*}(\mathbf {P} )=\mathbf {P} (\Phi _{X}^{-1}[\cdot ])$

на С ^Т .

Пример

• Закон стандартного броуновского движения является классической мерой Винера . (Действительно, многие авторы определяют броуновское движение как выборочный непрерывный процесс , начинающийся в начале координат, закон которого является мерой Винера, а затем переходят к выводу независимости приращений и других свойств из этого определения; другие авторы предпочитают работать в противоположном направлении. )

См. также

• Конечномерное распределение