Классическое Винеровское пространство

Норберт Винер

В математике области классическое пространство Винера — это совокупность всех непрерывных функций на заданной подинтервале (обычно действительной прямой ) , принимающих значения в метрическом пространстве (обычно n -мерном евклидовом пространстве ). Классическое пространство Винера полезно при изучении случайных процессов , траектории выборки которых являются непрерывными функциями. Оно названо в честь американского математика Норберта Винера .

Определение

Рассмотрим E ⊆ R ^н и метрическое пространство ( M , d ). Классическое пространство Винера C ( E ; M — это пространство всех непрерывных функций f : E → M. ) Т.е. для каждого фиксированного t в E ,

$d(f(s),f(t))\to 0$ как $|s-t|\to 0.$

Почти во всех приложениях берут E = [0, T ] или [0, +∞) и M = R ^н для n из N. некоторого Для краткости записывайте C вместо C ([0, T ]; R ^н ); это векторное пространство . Обозначим C ₀ линейное подпространство , состоящее только из тех функций , которые принимают нулевое значение в нижней части множества E . Многие авторы называют C ₀ «классическим пространством Винера».

Для случайного процесса $\{X_{t},t\in T\}:(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\to (E,{\mathcal {B}})$ и пространство ${\mathcal {F}}(T,E)$ всех функций из $T$ к $E$, человек смотрит на карту $\varphi :\Omega \to {\mathcal {F}}(T,E)\cong E^{T}$. Затем можно определить карты координат или канонические версии. $Y_{t}:E^{T}\to E$ определяется $Y_{t}(\omega )=\omega (t)$. $\{Y_{t},t\in T\}$образуют другой процесс. Тогда мера Винера является единственной мерой на $C_{0}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} )$ такой, что координатный процесс является броуновским движением.

Свойства

Единая топология

Векторное пространство C можно снабдить равномерной нормой

$\|f\|:=\sup _{t\in [0,\,T]}|f(t)|$

превратив его в нормированное векторное пространство (фактически банахово ). Эта норма индуцирует метрику на C : обычным образом $d(f,g):=\|f-g\|$. Топология , порожденная открытыми множествами в этой метрике, является топологией равномерной сходимости на [0, T ] или равномерной топологией .

Думая о области [0, T ] как о «времени» и диапазоне R ^н В качестве «пространства» интуитивный взгляд на однородную топологию заключается в том, что две функции являются «близкими», если мы можем «слегка покачивать пространство» и заставить график f лежать поверх графика g , оставляя при этом время фиксированным. Сравните это с топологией Скорохода , которая позволяет нам «покачивать» и пространство, и время.

Отделимость и полнота

Что касается равномерной метрики, C является одновременно сепарабельным и полным пространством :

• сепарабельность является следствием теоремы Стоуна-Вейерштрасса ;
• Полнота является следствием того, что равномерный предел последовательности непрерывных функций сам по себе непрерывен.

Поскольку оно одновременно сепарабельно и полно, C является польским пространством .

в классическом

Напомним, что модуль непрерывности функции f : [0, T ] → R ^н определяется

$\omega _{f}(\delta ):=\sup \left\{|f(s)-f(t)|:s,t\in [0,T],\,|s-t|\leq \delta \right\}.$

Это определение имеет смысл, даже если f не является непрерывным, и можно показать, что f является непрерывным тогда и только тогда, когда его модуль непрерывности стремится к нулю при δ → 0:

$f\in C\iff \omega _{f}(\delta )\to 0{\text{ as }}\delta \to 0$.

Применяя теорему Арсела-Асколи , можно показать, что последовательность $(\mu _{n})_{n=1}^{\infty }$ вероятностных мер на классическом винеровском пространстве C является тесным тогда и только тогда, когда выполняются оба следующих условия:

$\lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C\mid |f(0)|\geq a\}=0,$ и

$\lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C\mid \omega _{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0$ для всех ε > 0.

Винера

существует «стандартная» мера На C0 ₎ , известная как классическая мера Винера (или просто мера Винера . Мера Винера имеет (по крайней мере) две эквивалентные характеристики:

Если определить броуновское движение как марковский случайный процесс B : [0, T ] × Ω → R ^н , начиная с начала координат, с почти наверняка непрерывными путями и независимыми приращениями

$B_{t}-B_{s}\sim \,\mathrm {Normal} \left(0,|t-s|\right),$

тогда классическая мера Винера γ является законом процесса B .

В качестве альтернативы можно использовать абстрактную конструкцию пространства Винера , в которой классическая мера Винера γ является радонификацией меры множества канонических гауссовских цилиндров Кэмерона-Мартина, в гильбертовом пространстве соответствующем C ₀ .

Классическая мера Винера является гауссовой мерой : в частности, это строго положительная вероятностная мера.

классической меры Винера γ на C0 _{Для данной} произведение меры γ ^н × γ — вероятностная мера на C , где γ ^н обозначает стандартную гауссову меру на R ^н .

См. также

• Абстрактное Винеровское пространство
• Пространство Скорохода — обобщение классического пространства Винера, позволяющее функциям быть разрывными.
• Винеровский процесс