Максимизация меры

В математике , в частности в эргодической теории , максимизирующая мера представляет собой особый вид вероятностной меры . Неформально, вероятностная мера µ является максимизирующей мерой для некоторой функции f, если интеграл от f по µ «настолько велик, насколько это возможно». Теория максимизирующих мер сравнительно молода, и об их общей структуре и свойствах известно довольно мало.

Определение

Пусть X — топологическое пространство и T : X → X — непрерывная функция . Обозначим через Inv( T ) множество всех борелевских вероятностных мер на X , инвариантных относительно , т T . е. для любого измеримого по Борелю подмножества A множества X , µ ( T ⁻¹ ( А )) знак равно μ ( А ). (Обратите внимание, что по теореме Крылова-Боголюбова , если X компактно и → метризуемо , Inv( T ) непусто.) Определим для непрерывных функций f : X максимальную R интегральную функцию β по формуле

$\beta (f):=\sup \left.\left\{\int _{X}f\,\mathrm {d} \nu \right|\nu \in \mathrm {Inv} (T)\right\}.$

Вероятностная мера µ в Inv( T ) называется максимизирующей мерой для f , если

$\int _{X}f\,\mathrm {d} \mu =\beta (f).$

Свойства

• Можно показать, что если X — компакт , то Inv( T ) также компактен относительно топологии слабой сходимости мер . Следовательно, в этом случае каждая непрерывная функция f : X → R имеет хотя бы одну максимизирующую меру.
• Если T — непрерывное отображение компактного метрического пространства X в себя, а E — топологическое векторное пространство , плотно и непрерывно вложенное в C ( X ; R ), то множество всех f в E , имеющих уникальную максимизирующую меру, равно равно счетному пересечению открытых . подмножеств E плотных

Ссылки

• Моррис, Ян (2006). Темы термодинамического формализма: случайные состояния равновесия и эргодическая оптимизация (кандидатская диссертация). Университет Манчестера. ПроКвест   2115076468 .
• Дженкинсон, Оливер (2006). «Эргодическая оптимизация» . Дискретные и непрерывные динамические системы . 15 (1): 197–224. дои : 10.3934/dcds.2006.15.197 . ISSN   1078-0947 . МИСТЕР 2191393