Строго положительная мера

В математике строгая положительность является концепцией теории меры . Интуитивно, строго положительная мера — это мера, которая «нигде не равна нулю» или равна нулю «только в точках».

Определение

Позволять $(X,T)$ — Хаусдорфа топологическое пространство и пусть $\Sigma$ быть $\sigma$-алгебра на $X$ который содержит топологию $T$ (так что каждое открытое множество является измеримым множеством и $\Sigma$ по крайней мере так же хорош, как и Борель $\sigma$-алгебра на $X$). Тогда мера $\mu$ на $(X,\Sigma )$ называется строго положительным, если каждое непустое открытое подмножество $X$ имеет строго положительную меру.

Более кратко, $\mu$ строго положительно тогда и только тогда, когда для всех $U\in T$ такой, что $U\neq \varnothing ,\mu (U)>0.$

Примеры

• Счетная мера на любом множестве $X$ (при любой топологии) строго положителен.
• Мера Дирака обычно не является строго положительной, если только топология $T$ является особенно «грубым» (содержит «несколько» наборов). Например, $\delta _{0}$ на реальной линии $\mathbb {R}$ с обычной борелевской топологией и $\sigma$-алгебра не является строго положительной; однако, если $\mathbb {R}$ оснащен тривиальной топологией $T=\{\varnothing ,\mathbb {R} \},$ затем $\delta _{0}$ является строго положительным. Этот пример иллюстрирует важность топологии в определении строгой положительности.
• Гауссова мера в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ (с его борелевской топологией и $\sigma$-алгебра) строго положительна.
  • Винеровская мера в пространстве непрерывных путей в $\mathbb {R} ^{n}$ является строго положительной мерой. Мера Винера является примером гауссовой меры в бесконечномерном пространстве.
• Мера Лебега по $\mathbb {R} ^{n}$ (с его борелевской топологией и $\sigma$-алгебра) строго положительна.
• Тривиальная мера никогда не бывает строго положительной, независимо от пространства $X$ или используемая топология, за исключением случаев, когда $X$ пусто.

Свойства

• Если $\mu$ и $\nu$ две меры на измеримом топологическом пространстве $(X,\Sigma ),$ с $\mu$ строго положителен и к тому же абсолютно непрерывен по отношению к $\nu ,$ затем $\nu$ также является строго положительным. Доказательство простое: пусть $U\subseteq X$ быть произвольным открытым множеством; с $\mu$ является строго положительным, $\mu (U)>0;$ абсолютной непрерывностью, $\nu (U)>0$ также.
• Следовательно, строгая положительность является инвариантом относительно эквивалентности мер .

См. также

• Поддержка (теория меры) — заданная борелевская мера, набор тех точек, окрестности которых всегда имеют положительную меру. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта — мера строго положительна тогда и только тогда, когда ее опорой является все пространство.