Стандартное борелевское пространство

В математике стандартным борелевским пространством является борелевское пространство, связанное с польским пространством . За исключением случая дискретных польских пространств, стандартное борелевское пространство уникально с точностью до изоморфизма измеримых пространств .

Формальное определение

Измеримое пространство $(X,\Sigma )$ называется «стандартным Борелем», если существует метрика на $X$ что делает его полным сепарабельным метрическим пространством таким образом, что $\Sigma$ тогда является борелевской σ-алгеброй . Стандартные борелевские пространства обладают несколькими полезными свойствами, которые недоступны для общих измеримых пространств.

Свойства

• Если $(X,\Sigma )$ и $(Y,T)$ являются стандартными борелевскими, то любое биективное измеримое отображение $f:(X,\Sigma )\to (Y,\mathrm {T} )$ является изоморфизмом (т. е. обратное отображение также измеримо). Это следует из теоремы Суслена , поскольку множество, одновременно аналитическое и коаналитическое, обязательно является борелевским.
• Если $(X,\Sigma )$ и $(Y,T)$ являются стандартными борелевскими пространствами и $f:X\to Y$ затем $f$ измеримо тогда и только тогда, график когда $f$ это Борель.
• Произведение и прямое объединение счетного семейства стандартных борелевских пространств стандартны.
• Каждая полная вероятностная мера стандартного борелевского пространства превращает его в стандартное вероятностное пространство .

Теория Куратовского

Теорема . Позволять $X$ быть польским пространством , то есть топологическим пространством таким, что существует метрика $d$ на $X$ который определяет топологию $X$ и это делает $X$ полное сепарабельное метрическое пространство. Затем $X$ поскольку борелевское пространство борелевское изоморфно одному из(1) $\mathbb {R} ,$ (2) $\mathbb {Z}$ или (3) конечное дискретное пространство. (Этот результат напоминает теорему Махарама .)

Отсюда следует, что стандартное борелевское пространство характеризуется с точностью до изоморфизма мощностью своей и что любое несчетное стандартное борелевское пространство имеет мощность континуума .

Борелевские изоморфизмы в стандартных борелевских пространствах аналогичны гомеоморфизмам в топологических пространствах : оба биективны и замкнуты относительно композиции, а гомеоморфизм и его обратный оба непрерывны , а не оба измеримы только по Борелю.

См. также

• Измеримое пространство – основной объект теории меры; множество и сигма-алгебра