Поперечная мера

В математике мера положительную в реальном векторном пространстве называется трансверсальной данному множеству, если она присваивает нулевую меру каждому сдвигу этого набора, одновременно присваивая конечную и ( т. е. ненулевую) меру некоторому компактному множеству .

Определение

Пусть V — действительное векторное пространство вместе со структурой метрического пространства, относительно которой оно полно . Борелевская мера µ называется трансверсальной к измеримому по Борелю подмножеству S множества V, если

• существует компактное подмножество K в V такое, что 0 < µ ( K ) < +∞; и
• µ ( v + S ) = 0 для всех v ∈ V , где

$v+S=\{v+s\in V|s\in S\}$

является переводом S на v .

Первое требование гарантирует, что, например, тривиальная мера не считается поперечной мерой.

Пример

В качестве примера возьмем V в качестве евклидовой плоскости R. ² с его обычной евклидовой нормой/метрической структурой. Определим меру µ на ​​R ² установив µ ( E ) как одномерную меру Лебега пересечения E с первой координатной осью:

$\mu (E)=\lambda ^{1}{\big (}\{x\in \mathbf {R} |(x,0)\in E\subseteq \mathbf {R} ^{2}\}{\big )}.$

Примером компакта K с положительной и конечной µ -мерой является K = B ₁ (0), замкнутый единичный шар относительно начала координат, который имеет µ ( K ) = 2. Теперь возьмем множество S в качестве второй координаты ось. Любой сдвиг ( v ₁ , v ₂ ) + S из S встретится с первой осью координат ровно в одной точке ( v ₁ , 0). Поскольку отдельная точка имеет нулевую меру Лебега, µ (( v ₁ , v ₂ ) + S ) = 0, и поэтому µ трансверсальна к S .

См. также

• Распространенные и застенчивые наборы

Ссылки

• Хант, Брайан Р. и Зауэр, Тим и Йорк, Джеймс А. (1992). «Распространенность: трансляционно-инвариантный «почти каждый» в бесконечномерных пространствах». Бык. амер. Математика. Соц. (НС) . 27 (2): 217–238. arXiv : математика/9210220 . дои : 10.1090/S0273-0979-1992-00328-2 . S2CID   17534021 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )