Поперечная мера
В математике мера положительную в реальном векторном пространстве называется трансверсальной данному множеству, если она присваивает нулевую меру каждому сдвигу этого набора, одновременно присваивая конечную и ( т. е. ненулевую) меру некоторому компактному множеству .
Определение [ править ]
Пусть V — действительное векторное пространство вместе со структурой метрического пространства, относительно которой оно полно . Борелевская мера µ называется трансверсальной к измеримому по Борелю подмножеству S множества V, если
- существует компактное подмножество K в V такое, что 0 < µ ( K ) < +∞; и
- µ ( v + S ) = 0 для всех v ∈ V , где
- является переводом S на v .
Первое требование гарантирует, что, например, тривиальная мера не считается поперечной мерой.
Пример [ править ]
В качестве примера возьмем V в качестве евклидовой плоскости R. 2 с его обычной евклидовой нормой/метрической структурой. Определим меру µ на R 2 установив µ ( E ) как одномерную меру Лебега пересечения E с первой координатной осью:
Примером компакта K с положительной и конечной µ -мерой является K = B 1 (0), замкнутый единичный шар относительно начала координат, который имеет µ ( K ) = 2. Теперь возьмем множество S в качестве второй координаты ось. Любой сдвиг ( v 1 , v 2 ) + S из S встретится с первой осью координат ровно в одной точке ( v 1 , 0). Поскольку отдельная точка имеет нулевую меру Лебега, µ (( v 1 , v 2 ) + S ) = 0, и поэтому µ трансверсальна к S .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Хант, Брайан Р. и Зауэр, Тим и Йорк, Джеймс А. (1992). «Распространенность: трансляционно-инвариантный «почти каждый» в бесконечномерных пространствах». Бык. амер. Математика. Соц. (НС) . 27 (2): 217–238. arXiv : математика/9210220 . дои : 10.1090/S0273-0979-1992-00328-2 . S2CID 17534021 .
{{cite journal}}
: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )