Поддержка (теория меры)

В математике носитель . (иногда топологический носитель или спектр ) меры $\mu$ на измеримом топологическом пространстве $(X,\operatorname {Borel} (X))$ это точное представление о том, где в пространстве $X$ мера «живет». Оно определяется как самое большое закрытое ) подмножество ( $X$ для которого каждая открытая окрестность каждой точки множества имеет положительную меру.

Мотивация

(Неотрицательная) мера $\mu$ на измеримом пространстве $(X,\Sigma )$ это действительно функция $\mu :\Sigma \to [0,+\infty ].$ согласно обычному определению поддержки Поэтому , , поддержка $\mu$ является подмножеством σ-алгебры $\Sigma :$

$$\operatorname {supp} (\mu ):={\overline {\{A\in \Sigma \,\vert \,\mu (A)\neq 0\}}},$$

где черта обозначает замыкание множества . Однако это определение несколько неудовлетворительно: мы используем понятие замыкания, но у нас нет даже топологии на $\Sigma .$ Что мы действительно хотим знать, так это где в пространстве $X$ мера $\mu$ не равно нулю. Рассмотрим два примера:

1. Мера Лебега $\lambda$ на реальной линии $\mathbb {R} .$ Кажется очевидным, что $\lambda$ «живет» на всей реальной линии.
2. Мера Дирака $\delta _{p}$ в какой-то момент $p\in \mathbb {R} .$ Опять же, интуиция подсказывает, что мера $\delta _{p}$ «живет» в этой точке $p,$ и больше нигде.

В свете этих двух примеров мы можем отклонить следующие возможные определения в пользу определения, приведенного в следующем разделе:

1. Мы могли бы удалить точки, где $\mu$ равно нулю, а опору примем за остаток $X\setminus \{x\in X\mid \mu (\{x\})=0\}.$ Это может работать для меры Дирака. $\delta _{p},$ но это точно не сработает $\lambda :$ поскольку мера Лебега любого одноэлементного элемента равна нулю, это определение дало бы $\lambda$ пустая поддержка.
2. По сравнению с понятием строгой положительности мер, мы могли бы принять в качестве носителя множество всех точек с окрестностью положительной меры:
   $$\{x\in X\mid \exists N_{x}{\text{ open}}{\text{ such that }}(x\in N_{x}{\text{ and }}\mu (N_{x})>0)\}$$
   (или закрытие этого). Это также слишком упрощенно: взяв $N_{x}=X$ по всем пунктам $x\in X,$ это сделало бы поддержку каждой меры, кроме нулевой меры, всей $X.$

Однако идея «локальной строгой позитивности» не слишком далека от работоспособного определения.

Определение

Позволять $(X,T)$ быть топологическим пространством ; позволять $B(T)$ обозначим борелевскую σ-алгебру на $X,$ т.е. наименьшая сигма-алгебра на $X$ который содержит все открытые множества $U\in T.$ Позволять $\mu$ быть мерой $(X,B(T))$ Тогда носитель (или спектр ) $\mu$ определяется как множество всех точек $x$ в $X$ для которого каждая открытая окрестность $N_{x}$ из $x$ имеет положительную меру:

$$\operatorname {supp} (\mu ):=\{x\in X\mid \forall N_{x}\in T\colon (x\in N_{x}\Rightarrow \mu (N_{x})>0)\}.$$

Некоторые авторы предпочитают считать замыканием приведенное выше множество. Однако в этом нет необходимости: см. «Свойства» ниже.

Эквивалентное определение поддержки – это крупнейшая $C\in B(T)$ (по включению) такой, что каждое открытое множество, имеющее непустое пересечение с $C$ имеет положительную меру, т.е. наибольшую $C$ такой, что:

$$(\forall U\in T)(U\cap C\neq \varnothing \implies \mu (U\cap C)>0).$$

Знаковые и комплексные меры

Это определение можно распространить на знаковые и сложные меры. Предположим, что $\mu :\Sigma \to [-\infty ,+\infty ]$ является подписанной мерой . Используя теорему Хана о разложении, запишите

$$\mu =\mu ^{+}-\mu ^{-},$$

где $\mu ^{\pm }$ обе меры являются неотрицательными. Тогда поддержка ​ $\mu$ определяется как

$$\operatorname {supp} (\mu ):=\operatorname {supp} (\mu ^{+})\cup \operatorname {supp} (\mu ^{-}).$$

Аналогично, если $\mu :\Sigma \to \mathbb {C}$ является комплексной , поддержка мерой $\mu$ определяется как объединение опор его вещественной и мнимой частей.

Свойства

$\operatorname {supp} (\mu _{1}+\mu _{2})=\operatorname {supp} (\mu _{1})\cup \operatorname {supp} (\mu _{2})$ держит.

Мера $\mu$ на $X$ строго положителен тогда и только тогда, когда он имеет поддержку $\operatorname {supp} (\mu )=X.$ Если $\mu$ является строго положительным и $x\in X$ произвольна, то любая открытая окрестность $x,$ поскольку это открытое множество , оно имеет положительную меру; следовательно, $x\in \operatorname {supp} (\mu ),$ так $\operatorname {supp} (\mu )=X.$ И наоборот, если $\operatorname {supp} (\mu )=X,$ тогда всякое непустое открытое множество (являющееся открытой окрестностью некоторой точки внутри него, которая также является точкой носителя) имеет положительную меру; следовательно, $\mu$ является строго положительным.Поддержка меры закрыта в $X,$поскольку его дополнением является объединение открытых множеств меры $0.$

В общем случае поддержка ненулевой меры может быть пустой: см. примеры ниже. Однако, если $X$ является топологическим пространством Хаусдорфа и $\mu$ — мера Радона , борелевское множество $A$ вне опоры имеет нулевую меру :

$$A\subseteq X\setminus \operatorname {supp} (\mu )\implies \mu (A)=0.$$

Обратное верно, если $A$ открыто, но, вообще говоря, это неверно: оно терпит неудачу, если существует точка $x\in \operatorname {supp} (\mu )$ такой, что $\mu (\{x\})=0$ (например, мера Лебега). Таким образом, не нужно «интегрировать вне носителя»: для любой измеримой функции $f:X\to \mathbb {R}$ или $\mathbb {C} ,$

$$\int _{X}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{\operatorname {supp} (\mu )}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x).$$

Понятия носителя меры и спектра самосопряженного линейного оператора в гильбертовом пространстве тесно связаны. Действительно, если $\mu$ является регулярной борелевской мерой на прямой $\mathbb {R} ,$ тогда оператор умножения $(Af)(x)=xf(x)$ самосопряжен в своей естественной области определения

$$D(A)=\{f\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\mid xf(x)\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\}$$

и его спектр совпадает с существенным диапазоном тождественной функции $x\mapsto x,$ именно поддержка $\mu .$

Примеры

Мера Лебега

В случае меры Лебега $\lambda$ на реальной линии $\mathbb {R} ,$ рассмотрим произвольную точку $x\in \mathbb {R} .$ Тогда любая открытая окрестность $N_{x}$ из $x$ должен содержать некоторый открытый интервал $(x-\epsilon ,x+\epsilon )$ для некоторых $\epsilon >0.$ Этот интервал имеет меру Лебега $2\epsilon >0,$ так $\lambda (N_{x})\geq 2\epsilon >0.$ С $x\in \mathbb {R}$ был произвольным, $\operatorname {supp} (\lambda )=\mathbb {R} .$

Мера Дирака

В случае меры Дирака $\delta _{p},$ позволять $x\in \mathbb {R}$ и рассмотрим два случая:

1. если $x=p,$ затем каждое открытое соседство $N_{x}$ из $x$ содержит $p,$ так $\delta _{p}(N_{x})=1>0.$
2. с другой стороны, если $x\neq p,$ тогда существует достаточно малый открытый шар $B$ вокруг $x$ который не содержит $p,$ так $\delta _{p}(B)=0.$

Мы заключаем, что $\operatorname {supp} (\delta _{p})$ является замыканием одноэлементного множества $\{p\},$ который $\{p\}$ сам.

Фактически, мера $\mu$ на действительной линии – это мера Дирака $\delta _{p}$ в какой-то момент $p$ тогда и только тогда, когда поддержка $\mu$ это одноэлементный набор $\{p\}.$ Следовательно, мера Дирака на вещественной прямой является единственной мерой с нулевой дисперсией (при условии, что мера вообще имеет дисперсию).

Равномерное распределение

Рассмотрим меру $\mu$ на реальной линии $\mathbb {R}$ определяется

$$\mu (A):=\lambda (A\cap (0,1))$$

т.е. равномерная мера на открытом интервале $(0,1).$ Аргумент, аналогичный примеру меры Дирака, показывает, что $\operatorname {supp} (\mu )=[0,1].$ Обратите внимание, что граничные точки 0 и 1 лежат на носителе: любое открытое множество, содержащее 0 (или 1), содержит открытый интервал около 0 (или 1), который должен пересекаться $(0,1),$ и поэтому должен иметь положительный результат $\mu$-мера.

Нетривиальная мера, поддержка которой пуста

Пространство всех счетных ординалов с топологией, порожденной «открытыми интервалами», является локально компактным хаусдорфовым пространством . Мера («мера Дьедонне»), которая присваивает меру 1 борелевским множествам, содержащим неограниченное замкнутое подмножество, и присваивает 0 другим борелевским множествам, является борелевской вероятностной мерой, носитель которой пуст.

Нетривиальная мера, носитель которой имеет нулевую меру

На хаусдорфовом пространстве носитель ненулевой меры всегда непуст, но может иметь меру $0.$ Примером этого является добавление первого неисчисляемого порядкового номера. $\Omega$ к предыдущему примеру: опорой меры является единственная точка $\Omega ,$ который имеет меру $0.$

Ссылки

• Амбросио Л., Джильи Н. и Саваре Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и пространстве вероятностных мер . ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель. ISBN  3-7643-2428-7 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Партасарати, КР (2005). Вероятностные меры в метрических пространствах . AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд. п. xii+276. ISBN  0-8218-3889-Х . МИСТЕР 2169627 (См. главу 2, раздел 2.)
• Тешль, Джеральд (2009). Математические методы квантовой механики с приложениями к операторам Шрёдингера . АМС. (См. главу 3, раздел 2)