Локально конечная мера

В математике — локально конечная мера это мера , для которой каждая точка пространства меры имеет окрестность конечной меры . ^[1]^[2]

Определение [ править ]

Позволять $(X,T)$ — Хаусдорфа топологическое пространство и пусть $\Sigma$ быть $\sigma$ -алгебра на $X$ который содержит топологию $T$ (так что каждое открытое множество является измеримым множеством и $\Sigma$ по крайней мере так же хорош, как и Борель $\sigma$ -алгебра на $X$ ). Мера/ знаковая мера / комплексная мера $\mu$ определено на $\Sigma$ называется локально конечным , если для каждой точки $p$ пространства $X,$ есть открытый район $N_{p}$ из $p$ такой, что $\mu$ -мера $N_{p}$ конечно.

В более сжатых обозначениях $\mu$ локально конечно тогда и только тогда, когда

{\text{for all }}p\in X,{\text{ there exists }}N_{p}\in T{\mbox{ such that }}p\in N_{p}{\mbox{ and }}\left|\mu \left(N_{p}\right)\right|<+\infty .

Любая вероятностная мера на $X$ локально конечен, поскольку он присваивает единичную меру всему пространству. Точно так же любая мера, которая присваивает конечную меру всему пространству, локально конечна.
Мера Лебега в евклидовом пространстве локально конечна.
По определению любая мера Радона локально конечна.
Считающая мера иногда локально конечна, а иногда нет: считающая мера целых чисел с их обычной дискретной топологией локально конечна, а считающая мера на вещественной прямой с ее обычной борелевской топологией - нет.

Внутренняя регулярная мера - борелевская мера, значение которой в борелевском наборе определяется как нижняя граница меры ее открытого надмножества.
Строго положительная мера

^ Берже, Клод (1963). Топологические пространства . п. 31. ISBN 0486696537 .
^ Джеминьяни, Майкл К. (1972). Элементарная топология . п. 228. ИСБН 0486665224 .