Теорема плотности Лебега

В математике утверждает , теорема плотности Лебега что для любого измеримого множества Лебега $A\subset \mathbb {R} ^{n}$, «плотность» A равна 0 или 1 почти в каждой точке $\mathbb {R} ^{n}$. Кроме того, «плотность» равна 1 почти в каждой точке A. A Интуитивно это означает, что «ребро» A , множество точек в A, «окрестности» которых частично находятся в A и частично вне A , пренебрежимо мало .

Пусть µ — мера Лебега в евклидовом пространстве R ^н и A — измеримое по Лебегу подмножество R ^н . Определим приблизительную плотность A в -окрестности точки x в ε R ^н как

$d_{\varepsilon }(x)={\frac {\mu (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\mu (B_{\varepsilon }(x))}}$

где Bε _точке обозначает замкнутый шар радиуса ε с центром в x .

Теорема Лебега о плотности что почти для каждой точки x из A плотность утверждает ,

$d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)$

существует и равен 0 или 1.

Другими словами, для каждого измеримого множества A плотность A равна 0 или 1 почти всюду в R. ^н . Однако если µ( A ) > 0 и µ( R ^н \ A ) > 0 , то всегда найдутся точки из R ^н где плотность не равна ни 0, ни 1.

Например, для квадрата на плоскости плотность в каждой точке внутри квадрата равна 1, по краям — 1/2, а в углах — 1/4. Множество точек плоскости, в которых плотность не равна ни 0, ни 1, непусто (граница квадрата), но ею можно пренебречь.

Теорема Лебега о плотности является частным случаем теоремы Лебега о дифференцировании .

Таким образом, эта теорема верна и для любой конечной борелевской меры на R ^н вместо меры Лебега см. Обсуждение .

См. также

• Теорема Лебега о дифференцировании - Математическая теорема в реальном анализе

Ссылки

• Халлард Т. Крофт. Три точечные задачи Штейнгауза. Кварта. Дж. Математика. Оксфорд (2) , 33:71-83, 1982.

Эта статья включает в себя материал из теоремы о плотности Лебега на платформе PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .