Теорема Лебега о дифференцировании

В математике — теорема дифференцирования Лебега это теорема реального анализа , которая утверждает, что почти для каждой точки значение интегрируемой функции — это предельное среднее, взятое вокруг этой точки. Теорема названа в честь Анри Лебега .

Заявление

Для интегрируемой по Лебегу вещественной или комплекснозначной функции f на R ^н неопределенный интеграл — это функция множества , которая отображает измеримое множество A в интеграл Лебега от $f\cdot \mathbf {1} _{A}$, где $\mathbf {1} _{A}$ обозначает характеристическую функцию множества A . Обычно пишут

$$A\mapsto \int _{A}f\ \mathrm {d} \lambda ,$$

где λ мерная — n - мера Лебега .

Производная x этого интеграла в точке определяется как

$$\lim _{B\to x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f\,\mathrm {d} \lambda ,$$

где | Б | обозначает объем (т. е. меру Лебега) шара B с центром в точке x , а B → x означает, что диаметр B стремится к 0.
Теорема Лебега о дифференцировании ( Lebesgue 1910 ) утверждает, что эта производная существует и равна f ( x ) почти в каждой точке x ∈ R. ^н . На самом деле верно и несколько более сильное утверждение. Обратите внимание, что:

$$\left|{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} \lambda (y)-f(x)\right|=\left|{\frac {1}{|B|}}\int _{B}(f(y)-f(x))\,\mathrm {d} \lambda (y)\right|\leq {\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-f(x)|\,\mathrm {d} \lambda (y).$$

Более сильное утверждение состоит в том, что правая часть стремится к нулю почти для каждой точки x . Точки x, для которых это верно, называются точками Лебега функции f .

Имеет место и более общая версия. Шары B можно заменить семейством ${\mathcal {V}}$ множеств U ограниченного эксцентриситета . Это означает, что существует некоторое фиксированное c > 0 такое, что каждое множество U из семейства содержится в шаре B с $|U|\geq c\,|B|$. Предполагается также, что каждая точка x ∈ R ^н содержится в сколь угодно малых множествах из ${\mathcal {V}}$. Когда эти множества сжимаются до x , сохраняется тот же результат: почти для каждой x точки

$$f(x)=\lim _{U\to x,\,U\in {\mathcal {V}}}{\frac {1}{|U|}}\int _{U}f\,\mathrm {d} \lambda .$$

Семейство кубиков является примером такого семейства. ${\mathcal {V}}$как и семья ${\mathcal {V}}$( m ) прямоугольников в R ² такое, что отношение сторон остается между m ⁻¹ и m для некоторого фиксированного m задана произвольная норма ≥ 1. Если на R ^н , еще одним примером является семейство шаров для метрики, связанной с нормой.

Одномерный случай был ранее доказан Лебегом (1904) . Если f интегрируема на прямой, функция

$$F(x)=\int _{(-\infty ,x]}f(t)\,\mathrm {d} t$$

почти всюду дифференцируема, причем $F'(x)=f(x).$ Были $F$ определяемый интегралом Римана, это, по сути, была бы фундаментальная теорема исчисления , но Лебег доказал, что это остается верным при использовании интеграла Лебега.

Доказательство

Теорема в более сильной форме о том, что почти каждая точка является точкой Лебега интегрируемой функции f , может быть доказана как следствие слабого локально ¹ оценки максимальной функции Харди–Литтлвуда . Приведенное ниже доказательство следует стандартной трактовке, которую можно найти у Бенедетто и Чайи (2009) , Штейна и Шакарчи (2005) , Уидена и Зигмунда (1977) и Рудина (1987) .

Поскольку утверждение носит локальный характер, f можно считать, что равна нулю вне некоторого шара конечного радиуса и, следовательно, интегрируема. Тогда достаточно доказать, что множество

$E_{\alpha }={\Bigl \{}x\in \mathbf {R} ^{n}:\limsup _{|B|\rightarrow 0,\,x\in B}{\frac {1}{|B|}}{\bigg |}\int _{B}f(y)-f(x)\,\mathrm {d} y{\bigg |}>2\alpha {\Bigr \}}$

имеет меру 0 для всех α > 0.

Пусть ε > 0 задано. Используя плотность непрерывных функций компактного ​ носителя в L ¹ ( Р ^н ) можно найти такую ​​функцию g, удовлетворяющую

$\|f-g\|_{L^{1}}=\int _{\mathbf {R} ^{n}}|f(x)-g(x)|\,\mathrm {d} x<\varepsilon .$

Тогда полезно переписать основное различие как

${\frac {1}{|B|}}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} y-f(x)={\Bigl (}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}{\bigl (}f(y)-g(y){\bigr )}\,\mathrm {d} y{\Bigr )}+{\Bigl (}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}g(y)\,\mathrm {d} y-g(x){\Bigr )}+{\bigl (}g(x)-f(x){\bigr )}.$

Первый член может быть ограничен значением в точке x максимальной функции для f − g , обозначенной здесь через $(f-g)^{*}(x)$:

${\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-g(y)|\,\mathrm {d} y\leq \sup _{r>0}{\frac {1}{|B_{r}(x)|}}\int _{B_{r}(x)}|f(y)-g(y)|\,\mathrm {d} y=(f-g)^{*}(x).$

Второе слагаемое в пределе исчезает, поскольку g — непрерывная функция, а третье слагаемое ограничено величиной | ж ( Икс ) - грамм ( Икс )|. Чтобы абсолютное значение исходной разности в пределе превышало 2 α , хотя бы одно из первых или третьих слагаемых должно быть больше α по абсолютной величине. Однако оценка функции Харди–Литтлвуда говорит, что

${\Bigl |}\left\{x:(f-g)^{*}(x)>\alpha \right\}{\Bigr |}\leq {\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\|f-g\|_{L^{1}}<{\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\varepsilon ,$

для некоторой постоянной An _, зависящей только от размерности n . Неравенство Маркова (также называемое неравенством Чебышева) гласит, что

${\Bigl |}\left\{x:|f(x)-g(x)|>\alpha \right\}{\Bigr |}\leq {\frac {1}{\alpha }}\,\|f-g\|_{L^{1}}<{\frac {1}{\alpha }}\,\varepsilon$

откуда

$|E_{\alpha }|\leq {\frac {A_{n}+1}{\alpha }}\,\varepsilon .$

Поскольку ε было произвольным, его можно взять сколь угодно малым, из чего следует теорема.

доказательства

Лемма Витали о покрытии жизненно важна для доказательства этой теоремы; его роль заключается в доказательстве оценки максимальной функции Харди–Литтлвуда .

Теорема справедлива и в том случае, если в определении производной шары заменяются семействами множеств с диаметром, стремящимся к нулю, удовлетворяющими условию регулярности Лебега , определенному выше как семейство множеств с ограниченным эксцентриситетом . Это следует из того, что такую ​​же замену можно сделать и в формулировке леммы о накрывании Витали.

Обсуждение

Это аналог и обобщение фундаментальной теоремы исчисления , которая приравнивает интегрируемую по Риману функцию и производную ее (неопределённого) интеграла. Также возможно показать обратное – что каждая дифференцируемая функция равна интегралу от ее производной, но для этого требуется интеграл Хенстока – Курцвейла , чтобы иметь возможность интегрировать произвольную производную.

Частным случаем теоремы дифференцирования Лебега является теорема плотности Лебега , которая эквивалентна теореме дифференцирования для характеристических функций измеримых множеств. Теорема о плотности обычно доказывается более простым методом (например, см. «Мера и категория»).

Эта теорема верна также для любой конечной борелевской меры на R ^н вместо меры Лебега (доказательство можно найти, например, в ( Ledrappier & Young 1985 )). В более общем смысле это верно для любой конечной борелевской меры в сепарабельном метрическом пространстве, такой, что выполняется хотя бы одно из следующих условий:

• метрическое пространство является римановым многообразием ,
• метрическое пространство — локально компактное ультраметрическое пространство ,
• эта мера увеличивается вдвое .

Доказательство этих результатов можно найти в разделах 2.8–2.9 (Федерер, 1969).

См. также

• Теорема плотности Лебега

Ссылки

• Лебег, Анри (1904). Уроки интегрирования и поиска примитивных функций . Париж: Готье-Виллар.
• Лебег, Анри (1910). «Об интегрировании разрывных функций» . Научные анналы Высшей нормальной школы . 27 : 361–450. дои : 10.24033/asens.624 .
• Уиден, Ричард Л.; Зигмунд, Антони (1977). Мера и интеграл – введение в реальный анализ . Марсель Деккер.
• Окстоби, Джон К. (1980). Мера и категория . Спрингер Верлаг.
• Штейн, Элиас М .; Шакарчи, Рами (2005). Реальный анализ . Принстонские лекции по анализу, III. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. хх+402. ISBN  0-691-11386-6 . МИСТЕР 2129625
• Бенедетто, Джон Дж.; Чая, Войцех (2009). Интеграция и современный анализ . Расширенные тексты Биркхойзера. Спрингер. стр. 361–364. ISBN  978-0817643065 .
• Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике (3-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN  0070542341 .
• Ледрапье, Ф.; Янг, Л.С. (1985). «Метрическая энтропия диффеоморфизмов: Часть I: Характеристика мер, удовлетворяющих формуле энтропии Песина». Анналы математики . 122 (3): 509–539. дои : 10.2307/1971328 . JSTOR   1971328 .
• Федерер, Герберт (1969). Геометрическая теория измерений . Основы математических наук, Vol. Том 153. Нью-Йорк: Springer-Verlag New York Inc.