Непрерывная функция

В математике — непрерывная функция это функция , небольшое изменение аргумента которой вызывает небольшое изменение значения функции . Это означает, что нет резких изменений стоимости, известных как разрывы . Точнее, функция является непрерывной, если сколь угодно малые изменения ее значения могут быть обеспечены путем ограничения достаточно малых изменений ее аргумента. – Разрывная функция это функция, которая не является непрерывной . До XIX века математики во многом полагались на интуитивные представления о непрерывности и рассматривали только непрерывные функции. Эпсилон -дельта-определение предела было введено для формализации определения непрерывности.

Непрерывность — одна из основных концепций исчисления и математического анализа , где аргументами и значениями функций являются действительные и комплексные числа. Эта концепция была обобщена на функции между метрическими пространствами и между топологическими пространствами . Последние являются наиболее общими непрерывными функциями, и их определение лежит в основе топологии .

Более сильной формой непрерывности является равномерная непрерывность . В теории порядка , особенно в теории областей , родственным понятием непрерывности является непрерывность Скотта .

Например, функция H ( t ) , обозначающая высоту растущего цветка в момент времени t, будет считаться непрерывной. Напротив, функция M ( t ) , обозначающая сумму денег на банковском счете в момент времени t , будет считаться разрывной, поскольку она «скачет» в каждый момент времени, когда деньги вносятся или снимаются.

История

Форма определения непрерывности эпсилон-дельта была впервые дана Бернаром Больцано в 1817 году. Огюстен-Луи Коши определил непрерывность $y=f(x)$ следующим образом: бесконечно малое приращение $\alpha$ независимой переменной x всегда приводит к бесконечно малому изменению $f(x+\alpha )-f(x)$зависимой переменной y (см., например, Cours d'Analyse , стр. 34). Коши определил бесконечно малые величины через переменные величины, и его определение непрерывности во многом соответствует определению бесконечно малых величин, используемому сегодня (см. микронепрерывность ). Формальное определение и различие между точечной непрерывностью и равномерной непрерывностью были впервые даны Больцано в 1830-х годах, но работа не была опубликована до 1930-х годов. Как и Больцано, Карл Вейерштрасс отрицал непрерывность функции в точке c и по обе стороны от , если она не была определена в точке c нее , но Эдуард Гурса позволило определить функцию только в точке c и по одну сторону от c , а Камилла Джордан позволял это, даже если функция была определена только в c . Все три из этих неэквивалентных определений поточечной непрерывности все еще используются. Эдуард Гейне дал первое опубликованное определение однородной непрерывности в 1872 году, но основывал эти идеи на лекциях, прочитанных Питером Густавом Леженом Дирихле в 1854 году.

Реальные функции

Определение

Функция $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ непрерывен в своей области определения ( $\mathbb {R} \setminus \{0\}$), но является разрывным в $x=0,$ если рассматривать его как частичную функцию, определенную на действительных числах. .

, Действительная функция которая является функцией преобразования действительных чисел в действительные числа, может быть представлена ​​графиком в декартовой плоскости ; такая функция непрерывна, если, грубо говоря, график представляет собой одну непрерывную кривую которой , областью определения является вся действительная линия. Более математически строгое определение дано ниже.

Непрерывность вещественных функций обычно определяют в терминах пределов . Функция f с переменной x непрерывна при действительном числе c , если предел $f(x),$ когда x стремится к c , равно $f(c).$

Существует несколько различных определений (глобальной) непрерывности функции, которые зависят от природы ее области определения .

Функция непрерывна на открытом интервале , если этот интервал содержится в области определения функции и функция непрерывна в каждой точке интервала. Функция, непрерывная на отрезке $(-\infty ,+\infty )$(вся вещественная линия ) часто называют просто непрерывной функцией; говорят также, что такая функция всюду непрерывна . Например, все полиномиальные функции всюду непрерывны.

Функция непрерывна на полуоткрытом или замкнутом интервале; если интервал содержится в области определения функции, функция непрерывна в каждой внутренней точке интервала, а значение функции в каждой конечной точке, принадлежащей интервалу, является пределом значений функции, когда переменная стремится к концу из внутренней части интервала. Например, функция $f(x)={\sqrt {x}}$ непрерывна на всей своей области определения, которая представляет собой замкнутый интервал $[0,+\infty ).$

Многие часто встречающиеся функции являются частичными функциями , область определения которых состоит из всех действительных чисел, за исключением некоторых изолированных точек . Примеры включают обратную функцию ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ и касательная функция $x\mapsto \tan x.$Когда они непрерывны в своей области, в некоторых контекстах говорят, что они непрерывны, хотя они не непрерывны повсюду. В других контекстах, главным образом, когда кто-то интересуется их поведением вблизи исключительных точек, говорят, что они прерывисты.

Частичная функция разрывна в точке, если точка принадлежит топологическому замыканию своей области определения, и либо точка не принадлежит области определения функции, либо функция не является непрерывной в этой точке. Например, функции ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ и ${\textstyle x\mapsto \sin({\frac {1}{x}})}$являются прерывистыми в 0 и остаются прерывистыми, какое бы значение ни было выбрано для их определения в 0 . Точка, в которой функция разрывна, называется разрывом .

Используя математическую запись, существует несколько способов определения непрерывных функций в трех упомянутых выше смыслах.

Позволять

$$f:D\to \mathbb {R}$$

быть функцией, определенной на подмножестве $D$ из набора $\mathbb {R}$ действительных чисел.

Это подмножество $D$является областью f . Некоторые возможные варианты включают в себя

• $D=\mathbb {R}$: то есть $D$это весь набор действительных чисел. или, для a и b , действительных чисел
• $D=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}$: $D$ представляет собой закрытый интервал , или
• $D=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}$: $D$ представляет собой открытый интервал .

В случае с доменом $D$ определяется как открытый интервал, $a$ и $b$ не принадлежат к $D$и значения $f(a)$ и $f(b)$ не имеет значения для непрерывности $D$.

Определение с точки зрения пределов функций

Функция f непрерывна в некоторой точке c своей области определения, предел если $f(x),$ когда x приближается к c через область определения f , существует и равен $f(c).$ В математической записи это записывается как

$$\lim _{x\to c}{f(x)}=f(c).$$

В деталях это означает три условия: во-первых, f должно быть определено в c (гарантируется требованием, чтобы c находился в области определения f ). Во-вторых, предел этого уравнения должен существовать. В-третьих, значение этого предела должно равняться $f(c).$

(Здесь мы предположили, что область определения f не имеет изолированных точек .)

зрения

Окрестность — это множество , точки c содержащее, по крайней мере, все точки в пределах некоторого фиксированного расстояния от c . Интуитивно понятно, что функция непрерывна в точке c, если диапазон f в окрестности точки c сжимается до одной точки. $f(c)$поскольку ширина окрестности вокруг c сжимается до нуля. Точнее, функция f непрерывна в точке c своей области определения, если для любой окрестности $N_{1}(f(c))$ есть район $N_{2}(c)$ в своей области такой, что $f(x)\in N_{1}(f(c))$ в любое время $x\in N_{2}(c).$

Поскольку окрестности определены в любом топологическом пространстве , это определение непрерывной функции применимо не только к действительным функциям, но и тогда, когда область определения и кодомен являются топологическими пространствами , и, таким образом, является наиболее общим определением. Отсюда следует, что функция автоматически непрерывна в каждой изолированной точке своей области определения. Например, каждая вещественная функция целых чисел непрерывна.

последовательностей

Последовательность exp(1/ n ) сходится к exp(0) = 1

Вместо этого можно потребовать этого для любой последовательности $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ точек в области, сходящейся к c , соответствующая последовательность $\left(f(x_{n})\right)_{n\in \mathbb {N} }$ сходится к $f(c).$ В математических обозначениях

$$\forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)\,.$$

непрерывных

Иллюстрация ε - δ -определения: при x = 2 любое значение δ ≤ 0,5 удовлетворяет условию определения для ε = 0,5 .

Явно включив определение предела функции, мы получаем автономное определение: Учитывая функцию $f:D\to \mathbb {R}$ как указано выше, и элемент $x_{0}$ домена $D$, $f$ называется непрерывным в точке $x_{0}$ когда выполняется следующее: для любого положительного действительного числа $\varepsilon >0,$ каким бы маленьким оно ни было, существует некоторое положительное действительное число $\delta >0$ такой, что для всех $x$ в области $f$ с $x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta ,$ значение $f(x)$ удовлетворяет

$$f\left(x_{0}\right)-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .$$

Альтернативно написано: непрерывность $f:D\to \mathbb {R}$ в $x_{0}\in D$ означает, что для каждого $\varepsilon >0,$ существует $\delta >0$ такой, что для всех $x\in D$:

$$\left|x-x_{0}\right|<\delta ~~{\text{ implies }}~~|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .$$

Более интуитивно мы можем сказать, что если мы хотим получить все $f(x)$ ценности, чтобы остаться в каком-то небольшом районе вокруг $f\left(x_{0}\right),$ нам нужно выбрать достаточно маленькую окрестность для $x$ ценности вокруг $x_{0}.$ Если мы сможем сделать это, независимо от того, насколько мал $f(x_{0})$ окрестности, то $f$ является непрерывным в $x_{0}.$

Говоря современным языком, это обобщается определением непрерывности функции относительно основы топологии , здесь метрической топологии .

Вейерштрасс требовал, чтобы интервал $x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta$ быть полностью в пределах домена $D$, но Джордан снял это ограничение.

Определение с точки зрения контроля над остатком

В доказательствах и численном анализе нам часто необходимо знать, насколько быстро сходятся пределы, или, другими словами, контролировать остаток. Мы можем формализовать это до определения непрерывности. Функция $C:[0,\infty )\to [0,\infty ]$ называется функцией управления, если

• C не убывает
• $\inf _{\delta >0}C(\delta )=0$

Функция $f:D\to R$ является C -непрерывным в $x_{0}$ если существует такая окрестность ${\textstyle N(x_{0})}$ что

$$|f(x)-f(x_{0})|\leq C\left(\left|x-x_{0}\right|\right){\text{ for all }}x\in D\cap N(x_{0})$$

Функция непрерывна по $x_{0}$ если оно C -непрерывно для некоторой управляющей C. функции

Такой подход естественным образом приводит к уточнению понятия непрерывности за счет ограничения набора допустимых функций управления. Для заданного набора функций управления ${\mathcal {C}}$ функция ${\mathcal {C}}$-непрерывный, если это так $C$-непрерывный для некоторых $C\in {\mathcal {C}}.$ Например, Липшица и непрерывные функции Гельдера показателя α ниже определяются набором функций управления

$${\mathcal {C}}_{\mathrm {Lipschitz} }=\{C:C(\delta )=K|\delta |,\ K>0\}$$

соответственно

$${\mathcal {C}}_{{\text{Hölder}}-\alpha }=\{C:C(\delta )=K|\delta |^{\alpha },\ K>0\}.$$

Определение с использованием колебаний

Неспособность функции быть непрерывной в точке количественно выражается ее колебанием .

Непрерывность также можно определить с точки зрения колебаний : функция f непрерывна в точке. $x_{0}$ тогда и только тогда, когда его колебание в этой точке равно нулю; в символах, $\omega _{f}(x_{0})=0.$ Преимущество этого определения состоит в том, что оно дает количественную оценку разрыва: колебание показывает, насколько функция разрывна в определенной точке.

Это определение полезно в описательной теории множеств для изучения множества разрывов и непрерывных точек: непрерывные точки представляют собой пересечение множеств, где колебание меньше $\varepsilon$ (отсюда и $G_{\delta }$ set ) – и дает быстрое доказательство одного направления условия интегрируемости Лебега .

Колебания эквивалентны $\varepsilon -\delta$ определение путем простой перестановки и использования предела ( lim sup , lim inf ) для определения колебаний: если (в данной точке) для данной $\varepsilon _{0}$ здесь нет $\delta$ который удовлетворяет $\varepsilon -\delta$ определению, то колебание не менее $\varepsilon _{0},$ и наоборот, если для каждого $\varepsilon$ есть желаемый $\delta ,$ колебание равно 0. Определение колебания можно естественным образом обобщить на отображения топологического пространства в метрическое пространство .

Определение с использованием гиперреальности

Коши определил непрерывность функции в следующих интуитивных терминах: бесконечно малое изменение независимой переменной соответствует бесконечно малому изменению зависимой переменной (см. «Кур анализа» , стр. 34). Нестандартный анализ — это способ сделать это математически строгим. Действительная линия дополняется добавлением бесконечных и бесконечно малых чисел, образуя гипердействительные числа . В нестандартном анализе непрерывность можно определить следующим образом.

Действительная функция f является непрерывной в точке x , если ее естественное расширение на гиперреальные объекты обладает тем свойством, что для всех бесконечно dx малых $f(x+dx)-f(x)$ бесконечно мал

(см. микронепрерывность ). Другими словами, бесконечно малое приращение независимой переменной всегда приводит к бесконечно малому изменению зависимой переменной, что дает современное выражение Огюстена-Луи Коши определению непрерывности .

Построение непрерывных функций

График кубической функции не имеет скачков и дыр. Функция непрерывна.

Проверку непрерывности данной функции можно упростить, проверив одно из вышеперечисленных определяющих свойств строительных блоков данной функции. Несложно показать, что сумма двух функций, непрерывная в некоторой области, непрерывна и в этой области. Данный

$$f,g\colon D\to \mathbb {R} ,$$

то сумма непрерывных функций

$$s=f+g$$

(определяется $s(x)=f(x)+g(x)$ для всех $x\in D$) непрерывен в $D.$

То же самое справедливо и для произведения непрерывных функций ,

$$p=f\cdot g$$

(определяется $p(x)=f(x)\cdot g(x)$ для всех $x\in D$) является непрерывным в $D.$

Объединив указанные выше сохранения непрерывности, непрерывности постоянных функций и тождественной функции $I(x)=x$ на $\mathbb {R}$, приходим к непрерывности всех полиномиальных функций на $\mathbb {R}$, такой как

$$f(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3$$

(на фото справа).

График непрерывной рациональной функции . Функция не определена для $x=-2.$ Вертикальная и горизонтальная линии являются асимптотами .

Точно так же можно показать, что обратная непрерывная функция

$$r=1/f$$

(определяется $r(x)=1/f(x)$ для всех $x\in D$ такой, что $f(x)\neq 0$) является непрерывным в $D\setminus \{x:f(x)=0\}.$

Это означает, что, исключая корни $g,$ частное непрерывных функций

$$q=f/g$$

(определяется $q(x)=f(x)/g(x)$ для всех $x\in D$, такой, что $g(x)\neq 0$) также непрерывно включен $D\setminus \{x:g(x)=0\}$.

Например, функция (на фото)

$$y(x)={\frac {2x-1}{x+2}}$$

определяется для всех действительных чисел $x\neq -2$и непрерывен в каждой такой точке. Таким образом, это непрерывная функция. Вопрос о преемственности в $x=-2$ не возникает, поскольку $x=-2$ не находится в области $y.$ Нет непрерывной функции $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ это согласуется с $y(x)$ для всех $x\neq -2.$

Функции sinc и cos

Поскольку функция синус непрерывна во всех действительных числах, функция sinc $G(x)=\sin(x)/x,$ определена и непрерывна для всех реальных $x\neq 0.$ Однако, в отличие от предыдущего примера, G можно расширить до непрерывной функции для всех действительных чисел, определив значение $G(0)$ быть 1, что является пределом $G(x),$ когда x приближается к 0, т.е.

$$G(0)=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.$$

Таким образом, установив

$G(x)={\begin{cases}{\frac {\sin(x)}{x}}&{\text{ if }}x\neq 0\\1&{\text{ if }}x=0,\end{cases}}$

функция sinc становится непрерывной функцией для всех действительных чисел. Термин «устранимая особенность» используется в таких случаях, когда (пере)определение значений функции так, чтобы они совпадали с соответствующими пределами, делает функцию непрерывной в определенных точках.

Более сложная конструкция непрерывных функций — это композиция функций . Даны две непрерывные функции

$$g:D_{g}\subseteq \mathbb {R} \to R_{g}\subseteq \mathbb {R} \quad {\text{ and }}\quad f:D_{f}\subseteq \mathbb {R} \to R_{f}\subseteq D_{g},$$

их состав, обозначаемый как $c=g\circ f:D_{f}\to \mathbb {R} ,$ и определяется $c(x)=g(f(x)),$ является непрерывным.

Эта конструкция позволяет, например, утверждать, что

$$e^{\sin(\ln x)}$$

является непрерывным для всех $x>0.$

Примеры разрывных функций

График функции Signum. Это показывает, что $\lim _{n\to \infty }\operatorname {sgn} \left({\tfrac {1}{n}}\right)\neq \operatorname {sgn} \left(\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}\right)$. Таким образом, сигнум-функция разрывна в точке 0 (см. раздел 2.1.3 ).

Примером разрывной функции является ступенчатая функция Хевисайда. $H$, определяется

$$H(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\geq 0\\0&{\text{ if }}x<0\end{cases}}$$

Выберите, например $\varepsilon =1/2$. Тогда нет $\delta$- окрестности вокруг $x=0$, т.е. нет открытого интервала $(-\delta ,\;\delta )$ с $\delta >0,$ это заставит всех $H(x)$ ценности, которые должны находиться в пределах $\varepsilon$ окрестности - $H(0)$, то есть внутри $(1/2,\;3/2)$. Интуитивно мы можем думать об этом типе разрыва как о внезапном скачке значений функции.

Аналогично, функция Signum или Sign

$$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}\;\;\ 1&{\text{ if }}x>0\\\;\;\ 0&{\text{ if }}x=0\\-1&{\text{ if }}x<0\end{cases}}$$

является прерывистым в $x=0$но непрерывно повсюду. Еще один пример: функция

$$f(x)={\begin{cases}\sin \left(x^{-2}\right)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}$$

непрерывен всюду, кроме $x=0$.

Точечный график функции Томаэ на интервале (0,1). Самая верхняя точка посередине показывает f(1/2) = 1/2.

Помимо правдоподобных непрерывностей и разрывов, подобных описанным выше, существуют также функции с поведением, часто называемым патологическим , например, функция Томаэ ,

$$f(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x=0\\{\frac {1}{q}}&{\text{ if }}x={\frac {p}{q}}{\text{(in lowest terms) is a rational number}}\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}$$

непрерывно во всех иррациональных числах и разрывно во всех рациональных числах. Аналогично, функция Дирихле , индикаторная функция для множества рациональных чисел,

$$D(x)={\begin{cases}0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational }}(\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\\1&{\text{ if }}x{\text{ is rational }}(\in \mathbb {Q} )\end{cases}}$$

нигде не является непрерывным.

Свойства

Полезная лемма

Позволять $f(x)$ быть функцией, непрерывной в точке $x_{0},$ и $y_{0}$ быть такой ценностью $f\left(x_{0}\right)\neq y_{0}.$ Затем $f(x)\neq y_{0}$ в каком-то районе $x_{0}.$

Доказательство. По определению непрерывности возьмем $\varepsilon ={\frac {|y_{0}-f(x_{0})|}{2}}>0$ , то существует $\delta >0$ такой, что

$$\left|f(x)-f(x_{0})\right|<{\frac {\left|y_{0}-f(x_{0})\right|}{2}}\quad {\text{ whenever }}\quad |x-x_{0}|<\delta$$

Предположим, что в окрестности есть точка $|x-x_{0}|<\delta$ для которого $f(x)=y_{0};$ тогда мы имеем противоречие

$$\left|f(x_{0})-y_{0}\right|<{\frac {\left|f(x_{0})-y_{0}\right|}{2}}.$$

Теорема

Теорема о промежуточном значении — это теорема существования , основанная на свойстве полноты вещественного числа и утверждающая:

Если действительная функция f непрерывна на отрезке $[a,b],$ и k - некоторое число между $f(a)$ и $f(b),$ тогда есть какое-то число $c\in [a,b],$ такой, что $f(c)=k.$

Например, если в возрасте от двух до шести лет ребенок вырастает с 1 м до 1,5 м, то в какой-то момент между двумя и шестью годами рост ребенка должен был составлять 1,25 м.

Как следствие, если f непрерывна на $[a,b]$ и $f(a)$ и $f(b)$ различаются знаком , то в какой-то момент $c\in [a,b],$ $f(c)$ должно равняться нулю .

экстремальных

Теорема об экстремальных значениях утверждает, что если функция f определена на замкнутом интервале $[a,b]$ (или любое замкнутое и ограниченное множество) и непрерывна там, то функция достигает максимума, т. е. существует $c\in [a,b]$ с $f(c)\geq f(x)$ для всех $x\in [a,b].$То же самое относится и к минимуму f . Эти утверждения, как правило, неверны, если функция определена на открытом интервале. $(a,b)$ (или любое множество, которое не является одновременно замкнутым и ограниченным), как, например, непрерывная функция $f(x)={\frac {1}{x}},$ определенное на интервале (0,1), не достигает максимума, будучи неограниченным сверху.

с дифференцируемостью

Любая дифференцируемая функция

$$f:(a,b)\to \mathbb {R}$$

как можно показать, является непрерывным. Обратное неверно : например, абсолютного значения функция

$f(x)=|x|={\begin{cases}\;\;\ x&{\text{ if }}x\geq 0\\-x&{\text{ if }}x<0\end{cases}}$

всюду непрерывен. Однако оно не дифференцируемо при $x=0$(но так везде). Функция Вейерштрасса также всюду непрерывна, но нигде не дифференцируема.

Производная f f′ ( x ) дифференцируемой функции ( x ) не обязательно должна быть непрерывной. Если f′ ( x ) непрерывно, то f ( x ) называется непрерывно дифференцируемым . Множество таких функций обозначается $C^{1}((a,b)).$ В более общем смысле набор функций

$$f:\Omega \to \mathbb {R}$$

(из открытого интервала (или открытого подмножества $\mathbb {R}$) $\Omega$ к действительным числам) такие, что f есть $n$ раз дифференцируемы и такие, что $n$-я производная от f непрерывна, обозначается $C^{n}(\Omega ).$См. класс дифференцируемости . В области компьютерной графики свойства, связанные (но не идентичные) $C^{0},C^{1},C^{2}$ иногда называют $G^{0}$ (непрерывность положения), $G^{1}$ (непрерывность касания) и $G^{2}$(непрерывность кривизны); см. Гладкость кривых и поверхностей .

Любая непрерывная функция

$$f:[a,b]\to \mathbb {R}$$

интегрируема (например , в смысле интеграла Римана ). Обратное неверно, как показывает знаковая функция (интегрируемая, но разрывная) .

Поточечные и равномерные пределы

Последовательность непрерывных функций $f_{n}(x)$ чья (поточечная) предельная функция $f(x)$носит прерывистый характер. Сближение не является равномерным.

Учитывая последовательность

$$f_{1},f_{2},\dotsc :I\to \mathbb {R}$$

функций таких, что предел

$$f(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$$

существует для всех $x\in D,$, результирующая функция $f(x)$ называется поточечным пределом последовательности функций $\left(f_{n}\right)_{n\in N}.$ Поточечная предельная функция не обязательно должна быть непрерывной, даже если все функции $f_{n}$являются непрерывными, как показывает анимация справа. Однако функция f непрерывна, если все функции $f_{n}$непрерывны и последовательность сходится равномерно по теореме о равномерной сходимости . Эту теорему можно использовать, чтобы показать, что показательные функции , логарифмы , функция квадратного корня и тригонометрические функции непрерывны.

Направленность и полунепрерывность

• 
  Непрерывная справа функция
• 
  Непрерывная слева функция

Разрывные функции могут быть ограниченно разрывными, что порождает концепцию направленной непрерывности (или непрерывных справа и слева функций) и полунепрерывности . Грубо говоря, функция непрерывна справа, если при подходе к предельной точке справа не происходит скачка. Формально f называется непрерывным справа в точке c , если выполняется следующее: для любого числа $\varepsilon >0$ каким бы маленьким оно ни было, существует некоторое количество $\delta >0$ такой, что для всех x в области с $c<x<c+\delta ,$ значение $f(x)$ удовлетворит

$$|f(x)-f(c)|<\varepsilon .$$

Это то же самое условие, что и для непрерывных функций, за исключением того, что оно должно выполняться только для x, строго большего, чем c . Вместо этого требуется его для всех x с $c-\delta <x<c$дает понятие непрерывных слева функций. Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна одновременно справа и слева.

Функция f является полунепрерывной снизу, если, грубо говоря, любые скачки, которые могут произойти, идут только вниз, но не вверх. То есть для любого $\varepsilon >0,$ существует некоторое число $\delta >0$ такой, что для всех x в области с $|x-c|<\delta ,$ значение $f(x)$ удовлетворяет

$$f(x)\geq f(c)-\epsilon .$$

Обратное условие — полунепрерывность сверху .

Непрерывные функции между метрическими пространствами

Понятие непрерывных вещественнозначных функций можно обобщить на функции между метрическими пространствами . Метрическое пространство – это множество $X$ оснащен функцией (называемой метрикой ) $d_{X},$это можно рассматривать как измерение расстояния между любыми двумя элементами X. в Формально метрика — это функция

$$d_{X}:X\times X\to \mathbb {R}$$

которое удовлетворяет ряду требований, в частности неравенству треугольника . Даны два метрических пространства $\left(X,d_{X}\right)$ и $\left(Y,d_{Y}\right)$ и функция

$$f:X\to Y$$

затем $f$ непрерывен в точке $c\in X$ (относительно заданной метрики), если для любого положительного действительного числа $\varepsilon >0,$ существует положительное действительное число $\delta >0$ такой, что все $x\in X$ удовлетворяющий $d_{X}(x,c)<\delta$ также удовлетворит $d_{Y}(f(x),f(c))<\varepsilon .$ Как и в случае с действительными функциями выше, это эквивалентно условию, что для каждой последовательности $\left(x_{n}\right)$ в $X$ с лимитом $\lim x_{n}=c,$ у нас есть $\lim f\left(x_{n}\right)=f(c).$ Последнее условие можно ослабить следующим образом: $f$ непрерывен в точке $c$ тогда и только тогда, когда для каждой сходящейся последовательности $\left(x_{n}\right)$ в $X$ с лимитом $c$, последовательность $\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ является последовательностью Коши и $c$ находится в области $f$.

Множество точек, в которых функция между метрическими пространствами непрерывна, называется $G_{\delta }$ набор – это следует из $\varepsilon -\delta$ определение непрерывности.

Это понятие непрерывности применяется, например, в функциональном анализе . Ключевое утверждение в этой области гласит, что линейный оператор

$$T:V\to W$$

между нормированными векторными пространствами $V$ и $W$ (которые представляют собой векторные пространства , снабженные совместимой нормой , обозначаемой $\|x\|$) непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен , т. е. существует константа $K$ такой, что

$$\|T(x)\|\leq K\|x\|$$

для всех $x\in V.$

Гельдера и

Для непрерывной по Липшицу функции существует двойной конус (показан белым), вершину которого можно перемещать вдоль графика так, что график всегда остается полностью вне конуса.

Понятие непрерывности функций между метрическими пространствами можно усилить различными способами, ограничив способ $\delta$ зависит от $\varepsilon$и c в определении выше. Интуитивно понятно, что функция f , указанная выше, является равномерно непрерывной , если $\delta$делает не зависит от точки c . Точнее, требуется, чтобы для каждого действительного числа $\varepsilon >0$ Существует $\delta >0$ такой, что для каждого $c,b\in X$ с $d_{X}(b,c)<\delta ,$ у нас есть это $d_{Y}(f(b),f(c))<\varepsilon .$Таким образом, любая равномерно непрерывная функция непрерывна. когда доменное пространство X компактно Обратное утверждение вообще не верно, но справедливо , . Равномерно непрерывные отображения могут быть определены в более общей ситуации равномерных пространств .

Функция является непрерывной по Гельдеру с показателем α (действительным числом), если существует константа K такая, что для всех $b,c\in X,$ неравенство

$$d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot (d_{X}(b,c))^{\alpha }$$

держит. Любая гельдеровская непрерывная функция равномерно непрерывна. Частный случай $\alpha =1$называется липшицевой непрерывностью . То есть функция является липшицевой, если существует константа K такая, что выполняется неравенство

$$d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot d_{X}(b,c)$$

справедливо для любого $b,c\in X.$ Условие Липшица встречается, например, в теореме Пикара–Линделёфа о решениях обыкновенных дифференциальных уравнений .

Непрерывные функции между топологическими пространствами

Другое, более абстрактное понятие непрерывности — это непрерывность функций между топологическими пространствами , в которых обычно нет формального понятия расстояния, как в случае метрических пространств . Топологическое пространство — это множество X вместе с топологией на X , которая представляет собой набор подмножеств X , удовлетворяющих нескольким требованиям в отношении их объединений и пересечений, которые обобщают свойства открытых шаров в метрических пространствах, но при этом позволяют говорить об окрестностях данной точки. Элементы топологии называются открытыми подмножествами X ( относительно топологии).

Функция

$$f:X\to Y$$

между двумя топологическими пространствами X и Y является непрерывным, если для любого открытого множества $V\subseteq Y,$ обратное изображение

$$f^{-1}(V)=\{x\in X\;|\;f(x)\in V\}$$

является открытым подмножеством X . То есть f — функция между множествами X и Y (а не над элементами топологии $T_{X}$), но непрерывность f зависит от топологий, используемых на X и Y .

Это эквивалентно условию, что прообразы замкнутых множеств (которые являются дополнениями к открытым подмножествам) в Y замкнуты в X .

Крайний пример: если множеству X задана дискретная топология (в которой каждое подмножество открыто), все функции

$$f:X\to T$$

любому топологическому пространству T непрерывны. С другой стороны, если X оснащено недискретной топологией (в которой единственными открытыми подмножествами являются пустое множество и X ) и множество пространства T не меньше T ₀ , то единственными непрерывными функциями являются постоянные функции. И наоборот, любая функция, кодовая область которой недискретна, непрерывна.

Непрерывность в точке

Непрерывность в точке: Для каждой V окрестности $f(x)$, существует окрестность U точки x такая, что $f(U)\subseteq V$

Перевод на язык окрестностей г. $(\varepsilon ,\delta )$-определение непрерывности приводит к следующему определению непрерывности в точке:

Функция $f:X\to Y$ непрерывен в точке $x\in X$ тогда и только тогда, когда для любой V окрестности $f(x)$ в Y окрестность U существует $x$ такой, что $f(U)\subseteq V.$

Это определение эквивалентно тому же утверждению с окрестностями, ограниченными открытыми окрестностями, и может быть переформулировано несколькими способами, используя прообразы , а не изображения.

Кроме того, поскольку каждое множество, содержащее окрестность, также является окрестностью, и $f^{-1}(V)$ — наибольшее подмножество U множества X такое, что $f(U)\subseteq V,$ это определение можно упростить до:

Функция $f:X\to Y$ непрерывен в точке $x\in X$ если и только если $f^{-1}(V)$ это район $x$ для каждой V окрестности $f(x)$ в Ю. ​

Поскольку открытым множеством называется множество, являющееся окрестностью всех своих точек, функция $f:X\to Y$ непрерывна в каждой точке X тогда и только тогда, когда она является непрерывной функцией.

Если X и Y — метрические пространства, это эквивалентно рассмотрению окрестностей системы открытых шаров с центрами в точках x и f ( x ) вместо всех окрестностей. Это возвращает вышеизложенное $\varepsilon -\delta$определение непрерывности в контексте метрических пространств. В общих топологических пространствах нет понятия близости или расстояния. Однако если целевое пространство является хаусдорфовым пространством , то по-прежнему верно, что f непрерывно в точке a тогда и только тогда, когда предел f при x приближении к a равен f ( a ). В изолированной точке каждая функция непрерывна.

Данный $x\in X,$ карта $f:X\to Y$ является непрерывным в $x$ тогда и только тогда, когда когда-либо ${\mathcal {B}}$ это фильтр на $X$ который сходится к $x$ в $X,$ что выражается записью ${\mathcal {B}}\to x,$ тогда обязательно $f({\mathcal {B}})\to f(x)$ в $Y.$ Если ${\mathcal {N}}(x)$ обозначает фильтр окрестности в $x$ затем $f:X\to Y$ является непрерывным в $x$ если и только если $f({\mathcal {N}}(x))\to f(x)$ в $Y.$ Причём это происходит тогда и только тогда, когда префильтр $f({\mathcal {N}}(x))$ является базой фильтра для фильтра соседства $f(x)$ в $Y.$

Альтернативные определения

несколько эквивалентных определений топологической структуры Существует ; таким образом, существует несколько эквивалентных способов определения непрерывной функции.

Последовательности и сети

В некоторых контекстах топологию пространства удобно задавать в терминах предельных точек . Это часто достигается путем указания того, когда точка является пределом последовательности . Тем не менее, для некоторых пространств, которые в некотором смысле слишком велики, также указывается, когда точка является пределом более общих наборов точек, индексированных направленным набором , известным как сети . Функция (по Гейне)непрерывна только в том случае, если она переводит пределы последовательностей в пределы последовательностей. В первом случае также достаточно сохранения пределов; во втором случае функция может сохранять все пределы последовательностей, но при этом не быть непрерывной, а сохранение сетей является необходимым и достаточным условием.

Подробно, функция $f:X\to Y$ является секвенциально непрерывной , если всякий раз, когда последовательность $\left(x_{n}\right)$ в $X$ сходится к пределу $x,$ последовательность $\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ сходится к $f(x).$Таким образом, секвенциально непрерывные функции «сохраняют последовательные пределы». Любая непрерывная функция секвенциально непрерывна. Если $X$является пространством первой счетности и имеет место счетный выбор , то верно и обратное: любая функция, сохраняющая последовательные пределы, непрерывна. В частности, если $X$является метрическим пространством, секвенциальная непрерывность и непрерывность эквивалентны. Для пространств без первого счета секвенциальная непрерывность может быть строго слабее непрерывности. (Пространства, для которых эти два свойства эквивалентны, называются секвенциальными пространствами .) Это мотивирует рассматривать сети вместо последовательностей в общих топологических пространствах. Непрерывные функции сохраняют пределы сетей, и это свойство характеризует непрерывные функции.

Например, рассмотрим случай вещественных функций одной действительной переменной:

Теорема — Функция $f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ является непрерывным в $x_{0}$ тогда и только тогда, когда оно секвенциально непрерывно в этой точке.

показывать Доказательство

Proof. Assume that $f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ is continuous at $x_{0}$ (in the sense of $\epsilon -\delta$ continuity). Let $\left(x_{n}\right)_{n\geq 1}$ be a sequence converging at $x_{0}$ (such a sequence always exists, for example, $x_{n}=x,{\text{ for all }}n$); since $f$ is continuous at $x_{0}$ $$\forall \epsilon >0\,\exists \delta _{\epsilon }>0:0<|x-x_{0}|<\delta _{\epsilon }\implies |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon .\quad (*)$$ For any such $\delta _{\epsilon }$ we can find a natural number $\nu _{\epsilon }>0$ such that for all $n>\nu _{\epsilon },$ $$|x_{n}-x_{0}|<\delta _{\epsilon },$$ since $\left(x_{n}\right)$ converges at $x_{0}$; combining this with $(*)$ we obtain $$\forall \epsilon >0\,\exists \nu _{\epsilon }>0:\forall n>\nu _{\epsilon }\quad |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon .$$ Assume on the contrary that $f$ is sequentially continuous and proceed by contradiction: suppose $f$ is not continuous at $x_{0}$ $$\exists \epsilon >0:\forall \delta _{\epsilon }>0,\,\exists x_{\delta _{\epsilon }}:0<|x_{\delta _{\epsilon }}-x_{0}|<\delta _{\epsilon }\implies |f(x_{\delta _{\epsilon }})-f(x_{0})|>\epsilon$$ then we can take $\delta _{\epsilon }=1/n,\,\forall n>0$ and call the corresponding point $x_{\delta _{\epsilon }}=:x_{n}$: in this way we have defined a sequence $(x_{n})_{n\geq 1}$ such that $$\forall n>0\quad |x_{n}-x_{0}|<{\frac {1}{n}},\quad |f(x_{n})-f(x_{0})|>\epsilon$$ by construction $x_{n}\to x_{0}$ but $f(x_{n})\not \to f(x_{0})$, which contradicts the hypothesis of sequentially continuity. $\blacksquare$

Определения оператора замыкания и внутреннего оператора

В терминах внутреннего оператора функция $f:X\to Y$ между топологическими пространствами непрерывна тогда и только тогда, когда для любого подмножества $B\subseteq Y,$

$$f^{-1}\left(\operatorname {int} _{Y}B\right)~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(f^{-1}(B)\right).$$

С точки зрения оператора замыкания , $f:X\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого подмножества $A\subseteq X,$

$$f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).$$

То есть, учитывая любой элемент $x\in X$ принадлежащий замыканию подмножества $A\subseteq X,$ $f(x)$ обязательно принадлежит замыканию $f(A)$ в $Y.$ Если мы объявим, что точка $x$ близко к подмножеству $A\subseteq X$ если $x\in \operatorname {cl} _{X}A,$ тогда эта терминология позволяет дать простое английское описание непрерывности: $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого подмножества $A\subseteq X,$ $f$ наносит на карту точки, находящиеся рядом с $A$ в точки, близкие к $f(A).$ Сходным образом, $f$ непрерывен в фиксированной данной точке $x\in X$ тогда и только тогда, когда когда-либо $x$ близко к подмножеству $A\subseteq X,$ затем $f(x)$ близко к $f(A).$

Вместо того, чтобы задавать топологические пространства их открытыми подмножествами , любая топология на $X$ может альтернативно быть определено оператором замыкания или внутренним оператором . В частности, карта, которая отправляет подмножество $A$ топологического пространства $X$ к его топологическому замыканию $\operatorname {cl} _{X}A$удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского . И наоборот, для любого оператора замыкания $A\mapsto \operatorname {cl} A$ существует уникальная топология $\tau$ на $X$ (конкретно, $\tau :=\{X\setminus \operatorname {cl} A:A\subseteq X\}$) такой, что для каждого подмножества $A\subseteq X,$ $\operatorname {cl} A$ равно топологическому замыканию $\operatorname {cl} _{(X,\tau )}A$ из $A$ в $(X,\tau ).$ Если наборы $X$ и $Y$ каждый связан с операторами замыкания (оба обозначаются $\operatorname {cl}$) затем карта $f:X\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда $f(\operatorname {cl} A)\subseteq \operatorname {cl} (f(A))$ для каждого подмножества $A\subseteq X.$

Аналогично, карта, которая отправляет подмножество $A$ из $X$ в его топологическую внутренность $\operatorname {int} _{X}A$определяет внутренний оператор . И наоборот, любой внутренний оператор $A\mapsto \operatorname {int} A$ создает уникальную топологию $\tau$ на $X$ (конкретно, $\tau :=\{\operatorname {int} A:A\subseteq X\}$) такой, что для каждого $A\subseteq X,$ $\operatorname {int} A$ равен топологической внутренности $\operatorname {int} _{(X,\tau )}A$ из $A$ в $(X,\tau ).$ Если наборы $X$ и $Y$ каждый связан с внутренними операторами (оба обозначаются $\operatorname {int}$) затем карта $f:X\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда $f^{-1}(\operatorname {int} B)\subseteq \operatorname {int} \left(f^{-1}(B)\right)$ для каждого подмножества $B\subseteq Y.$

Фильтры и префильтры

Основная статья: Фильтры в топологии

Непрерывность также можно охарактеризовать с точки зрения фильтров . Функция $f:X\to Y$ непрерывен тогда и только тогда, когда всякий раз, когда фильтр ${\mathcal {B}}$ на $X$ сходится в $X$ в точку $x\in X,$ затем предварительный фильтр $f({\mathcal {B}})$ сходится в $Y$ к $f(x).$ Эта характеристика остается верной, если слово «фильтр» заменить на «предварительный фильтр».

Свойства

Если $f:X\to Y$ и $g:Y\to Z$ непрерывны, то непрерывна и композиция $g\circ f:X\to Z.$ Если $f:X\to Y$ является непрерывным и

• X компактен , то f ( X ) компактен.
• X связен , то f ( X ) связен.
• X , линейно связен тогда f ( X ) линейно связен.
• X — Линделеф , тогда f ( X ) — Линделеф.
• X сепарабельно , то f ( X ) сепарабельно.

Возможные топологии на фиксированном множестве X : частично упорядочены топология $\tau _{1}$ считается более грубой , чем другая топология $\tau _{2}$ (обозначение: $\tau _{1}\subseteq \tau _{2}$), если каждое открытое подмножество относительно $\tau _{1}$ также открыт по отношению к $\tau _{2}.$ Тогда карта идентичности

$$\operatorname {id} _{X}:\left(X,\tau _{2}\right)\to \left(X,\tau _{1}\right)$$

непрерывно тогда и только тогда, когда $\tau _{1}\subseteq \tau _{2}$(см. также сравнение топологий ). В более общем смысле, непрерывная функция

$$\left(X,\tau _{X}\right)\to \left(Y,\tau _{Y}\right)$$

остается непрерывным, если топология $\tau _{Y}$ заменяется более грубой топологией и/или $\tau _{X}$ заменяется более тонкой топологией .

Гомеоморфизмы

Симметричным понятию непрерывного отображения является открытое отображение , для которого образы открыты открытых множеств. Если открытое отображение f имеет обратную функцию , эта обратная функция непрерывна, а если непрерывное отображение g имеет обратную функцию, эта обратная функция открыта. Учитывая биективную функцию f между двумя топологическими пространствами, обратная функция $f^{-1}$не обязательно должен быть непрерывным. Биективная непрерывная функция с непрерывной обратной функцией называется гомеоморфизмом .

Если непрерывная биекция имеет областью определения компактное пространство , а ее ко-область — Хаусдорф , то она является гомеоморфизмом.

Определение топологий с помощью непрерывных функций

Дана функция

$$f:X\to S,$$

где X — топологическое пространство, а S — множество (без указанной топологии), окончательная топология на S определяется, если открытыми множествами S быть те подмножества A из S , для которых $f^{-1}(A)$открыт X. в Если S имеет существующую топологию, f непрерывен относительно этой топологии тогда и только тогда, когда существующая топология грубее , чем окончательная топология на S . Таким образом, окончательная топология — это тончайшая топология на S , которая делает f непрерывным. Если f сюръективна , , эта топология канонически отождествляется с фактор-топологией при отношении эквивалентности определяемом f .

Двойственно, для функции f из множества S в топологическое пространство X начальная топология на S определяется путем обозначения открытым множеством каждого подмножества A из S такого, что $A=f^{-1}(U)$для некоторого открытого подмножества U из X . Если S имеет существующую топологию, f непрерывен относительно этой топологии тогда и только тогда, когда существующая топология тоньше, чем исходная топология на S . Таким образом, исходная топология является самой грубой топологией на S , которая делает f непрерывным. Если f инъективно, эта топология канонически отождествляется с подпространства S , рассматриваемой как подмножество X. топологией

Топология на множестве S однозначно определяется классом всех непрерывных функций $S\to X$во все топологические пространства X . Аналогичную идею можно применить и к картам. $X\to S.$

Связанные понятия

Если $f:S\to Y$ является непрерывной функцией из некоторого подмножества $S$ топологического пространства $X$ затем постоянное расширение $f$ к $X$ любая непрерывная функция $F:X\to Y$ такой, что $F(s)=f(s)$ для каждого $s\in S,$ это состояние, которое часто записывают как $f=F{\big \vert }_{S}.$ Другими словами, это любая непрерывная функция. $F:X\to Y$ что ограничивается ​ $f$ на $S.$Это понятие используется, например, в теореме о продолжении Титце и теореме Хана–Банаха . Если $f:S\to Y$не является непрерывным, то оно не может иметь непрерывного продолжения. Если $Y$ является хаусдорфовым пространством и $S$ представляет собой плотное подмножество $X$ затем непрерывное расширение $f:S\to Y$ к $X,$если он существует, он будет уникальным. Теорема Блюмберга утверждает, что если $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — произвольная функция, то существует плотное подмножество $D$ из $\mathbb {R}$ такое, что ограничение $f{\big \vert }_{D}:D\to \mathbb {R}$является непрерывным; другими словами, каждая функция $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ может быть ограничено некоторым плотным подмножеством, на котором оно непрерывно.

В различных других математических областях понятие непрерывности используется в разных, но связанных значениях. Например, в теории порядка функция, сохраняющая порядок $f:X\to Y$ между конкретными типами частично упорядоченных множеств $X$ и $Y$ является непрерывным, если для каждого направленного подмножества $A$ из $X,$ у нас есть $\sup f(A)=f(\sup A).$ Здесь $\,\sup \,$ является супремумом относительно порядков в $X$ и $Y,$соответственно. Это понятие непрерывности совпадает с топологической непрерывностью, когда частично упорядоченным множествам задана топология Скотта .

В категорий функтор теории

$$F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$$

между двумя категориями называется непрерывным , если оно коммутирует с малыми пределами . То есть,

$$\varprojlim _{i\in I}F(C_{i})\cong F\left(\varprojlim _{i\in I}C_{i}\right)$$

для любого малого (т. е. индексированного множеством $I,$ в классов диаграммы объектов от в отличие ${\mathcal {C}}$.

Пространство непрерывности — это обобщение метрических пространств и частично упорядоченных множеств. который использует концепцию кванталов и может быть использован для унификации понятий метрических пространств и областей .

См. также

• Непрерывность (математика)
• Абсолютная непрерывность
• Преемственность Дини
• Равнонепрерывность
• Геометрическая непрерывность
• Параметрическая непрерывность
• Классификация несплошностей
• Грубая функция
• Непрерывная функция (теория множеств)
• Непрерывный случайный процесс
• Нормальная функция
• Открытые и закрытые карты
• Кусочно
• Симметрично непрерывная функция

• Функция сохранения направления — аналог непрерывной функции в дискретных пространствах.

Библиография

• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7 . OCLC   395340485 .
• «Непрерывная функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]