Начальная топология

В общей топологии и смежных областях математики исходная топология (или индуцированная топология) или слабая топология , или предельная топология , или проективная топология ) на множестве $X,$ относительно семейства функций на $X,$ это самая грубая топология на $X$ что делает эти функции непрерывными .

Конструкции топологии подпространства и топологии произведения являются частными случаями исходных топологий. Действительно, первоначальную конструкцию топологии можно рассматривать как ее обобщение.

Двойственное понятие — это окончательная топология , которая для данного семейства функций, отображающихся в множество $X$ это лучшая топология на $X$ что делает эти функции непрерывными.

Определение

Учитывая набор $X$ и индексированная семья $\left(Y_{i}\right)_{i\in I}$ топологических пространств с функциями

$$f_{i}:X\to Y_{i},$$

исходная топология $\tau$ на $X$ это самая грубая топология на $X$ такой, что каждый

$$f_{i}:(X,\tau )\to Y_{i}$$

является непрерывным .

Определение в терминах открытых множеств

Если $\left(\tau _{i}\right)_{i\in I}$ это семейство топологий $X$ индексируется $I\neq \varnothing ,$ то с наименьшей верхней границей топология из этих топологий является самой грубой топологией на $X$ это лучше, чем каждый $\tau _{i}.$ Эта топология всегда существует и равна топологии, порожденной ${\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}\tau _{i}}.$

Если для каждого $i\in I,$ $\sigma _{i}$ обозначает топологию на $Y_{i},$ затем $f_{i}^{-1}\left(\sigma _{i}\right)=\left\{f_{i}^{-1}(V):V\in \sigma _{i}\right\}$ представляет собой топологию на $X$, и исходная топология $Y_{i}$ по отображениям $f_{i}$ является наименьшей верхней границей топологии $I$-индексированное семейство топологий $f_{i}^{-1}\left(\sigma _{i}\right)$ (для $i\in I$). Явно, исходная топология представляет собой совокупность открытых множеств, порожденных всеми множествами вида $f_{i}^{-1}(U),$ где $U$ представляет собой открытый набор в $Y_{i}$ для некоторых $i\in I,$ при конечных пересечениях и произвольных объединениях.

Наборы формы $f_{i}^{-1}(V)$часто называют наборами цилиндров . Если $I$ содержит ровно один элемент , то все открытые множества исходной топологии $(X,\tau )$ представляют собой комплекты цилиндров.

Примеры

Некоторые топологические конструкции можно рассматривать как частные случаи исходной топологии.

• — Топология подпространства это начальная топология подпространства относительно карты включения .
• — Топология произведения это начальная топология по отношению к семейству карт проекций .
• Обратный предел любой обратной системы пространств и непрерывных отображений является теоретико-множественным обратным пределом вместе с исходной топологией, определяемой каноническими морфизмами.
• Слабая топология локально выпуклого пространства — это исходная топология относительно непрерывных линейных форм сопряженного к нему пространства .
• Учитывая семейство топологий $\left\{\tau _{i}\right\}$ на фиксированном наборе $X$ начальная топология на $X$ относительно функций $\operatorname {id} _{i}:X\to \left(X,\tau _{i}\right)$ является супремумом (или объединением) топологий $\left\{\tau _{i}\right\}$ в решетке топологий на $X.$ То есть исходная топология $\tau$ - топология, порожденная объединением топологий $\left\{\tau _{i}\right\}.$
• Топологическое пространство является вполне регулярным тогда и только тогда, когда оно имеет начальную топологию относительно своего семейства ( ограниченных ) вещественнозначных непрерывных функций.
• Каждое топологическое пространство $X$ имеет начальную топологию относительно семейства непрерывных функций из $X$ в пространство Серпинского .

Свойства

Характеристическое свойство

Начальная топология на $X$ можно охарактеризовать следующим характерным свойством:
Функция $g$ из какого-то пространства $Z$ к $X$ непрерывно тогда и только тогда, когда $f_{i}\circ g$ является непрерывным для каждого $i\in I.$

Characteristic property of the initial topology

Обратите внимание: несмотря на то, что они выглядят очень похоже, это не универсальное свойство . Категориальное описание приведено ниже.

Фильтр ​ ${\mathcal {B}}$ на $X$ сходится к точке $x\in X$ тогда и только тогда, когда префильтр $f_{i}({\mathcal {B}})$ сходится к $f_{i}(x)$ для каждого $i\in I.$

Оценка

По универсальному свойству топологии произведения мы знаем, что любое семейство непрерывных отображений $f_{i}:X\to Y_{i}$ определяет уникальное непрерывное отображение

$${\begin{alignedat}{4}f:\;&&X&&\;\to \;&\prod _{i}Y_{i}\\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}\\\end{alignedat}}$$

Эта карта известна как оценочная карта .

Семейство карт $\{f_{i}:X\to Y_{i}\}$ говорят, что отдельные точки в $X$ если для всех $x\neq y$ в $X$ существует какой-то $i$ такой, что $f_{i}(x)\neq f_{i}(y).$ Семья $\{f_{i}\}$ разделяет точки тогда и только тогда, когда соответствующая оценочная карта $f$ является инъективным .

Карта оценки $f$ будет топологическим вложением тогда и только тогда, когда $X$ имеет начальную топологию, определяемую отображениями $\{f_{i}\}$ и это семейство карт разделяет точки в $X.$

Хаусдорфность

Если $X$ имеет начальную топологию, индуцированную $\left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}$ и если каждый $Y_{i}$ есть Хаусдорф, тогда $X$ является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда эти отображения разделяют точки на $X.$

исходной

Если $X$ имеет начальную топологию, индуцированную $I$-индексированное семейство отображений $\left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}$ и если для каждого $i\in I,$ топология на $Y_{i}$ — начальная топология, индуцированная некоторыми $J_{i}$-индексированное семейство отображений $\left\{g_{j}:Y_{i}\to Z_{j}\right\}$ (как $j$ колеблется в пределах $J_{i}$), то исходная топология на $X$ индуцированный $\left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}$ равна исходной топологии, индуцированной ${\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}J_{i}}$-индексированное семейство отображений $\left\{g_{j}\circ f_{i}:X\to Z_{j}\right\}$ как $i$ колеблется в пределах $I$ и $j$ колеблется в пределах $J_{i}.$ Теперь приводятся несколько важных следствий из этого факта.

В частности, если $S\subseteq X$ то топология подпространства, которая $S$ наследует от $X$ равна исходной топологии, индуцированной отображением включения $S\to X$ (определяется $s\mapsto s$). Следовательно, если $X$ имеет начальную топологию, индуцированную $\left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}$ то топология подпространства, которая $S$ наследует от $X$ равна исходной топологии, индуцированной на $S$ из-за ограничений $\left\{\left.f_{i}\right|_{S}:S\to Y_{i}\right\}$ принадлежащий $f_{i}$ к $S.$

продукта Топология на $\prod _{i}Y_{i}$ равна исходной топологии, индуцированной каноническими проекциями $\operatorname {pr} _{i}:\left(x_{k}\right)_{k\in I}\mapsto x_{i}$ как $i$ колеблется в пределах $I.$ Следовательно, исходная топология на $X$ индуцированный $\left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}$ равен прообразу топологии произведения на $\prod _{i}Y_{i}$ по оценочной карте ${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}\,.}$ Более того, если карты $\left\{f_{i}\right\}_{i\in I}$ отдельные пункты по $X$ тогда оценочное отображение является гомеоморфизмом на подпространство $f(X)$ продуктового пространства $\prod _{i}Y_{i}.$

Отделение точек от замкнутых множеств

Если пространство $X$ поставляется с топологией, часто полезно знать, используется ли топология на $X$ — начальная топология, индуцированная некоторым семейством отображений на $X.$ В этом разделе дано достаточное (но не необходимое) условие.

Семейство карт $\left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}$ отделяет точки от замкнутых множеств в $X$ если для всех закрытых множеств $A$ в $X$ и все $x\not \in A,$ существует какой-то $i$ такой, что

$$f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))$$

где $\operatorname {cl}$ обозначает оператор замыкания .

Теорема . Семейство непрерывных карт $\left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}$ отделяет точки от замкнутых множеств тогда и только тогда, когда цилиндр устанавливает $f_{i}^{-1}(V),$ для $V$ открыть в $Y_{i},$ сформировать основу топологии на $X.$

Отсюда следует, что всякий раз, когда $\left\{f_{i}\right\}$ отделяет точки от замкнутых множеств, пространство $X$ имеет начальную топологию, индуцированную отображениями $\left\{f_{i}\right\}.$ Обратное неверно, поскольку обычно наборы цилиндров образуют только подбазу (а не базу) исходной топологии.

Если пространство $X$ является T ₀ пространством , то любой набор отображений $\left\{f_{i}\right\}$ который отделяет точки от замкнутых множеств в $X$также необходимо разделить точки. В этом случае оценочная карта будет вложением.

единая

Основная статья: Единое пространство

Если $\left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}$ представляет собой семейство однородных структур на $X$ индексируется $I\neq \varnothing ,$ тогда наименьшая верхняя граница однородной структуры $\left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}$ представляет собой наиболее грубую однородную структуру на $X$ это лучше, чем каждый ${\mathcal {U}}_{i}.$ Эта форма всегда существует и равна фильтру на $X\times X$ генерируется подбазой фильтра ${\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}{\mathcal {U}}_{i}}.$ Если $\tau _{i}$ топология на $X$ индуцированный однородной структурой ${\mathcal {U}}_{i}$ тогда топология на $X$ связанная с наименьшей верхней границей однородной структуры, равна топологии наименьшей верхней границы $\left(\tau _{i}\right)_{i\in I}.$

Теперь предположим, что $\left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}$ это семейство карт и для каждого $i\in I,$ позволять ${\mathcal {U}}_{i}$ быть однородной структурой на $Y_{i}.$ Тогда исходная однородная структура $Y_{i}$ по отображениям $f_{i}$ уникальная грубейшая однородная структура ${\mathcal {U}}$ на $X$ делая все $f_{i}:\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(Y_{i},{\mathcal {U}}_{i}\right)$ равномерно непрерывный . Он равен наименьшей верхней границе однородной структуры $I$-индексированное семейство однородных структур $f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)$ (для $i\in I$). Топология на $X$ индуцированный ${\mathcal {U}}$ это самая грубая топология на $X$ такой, что каждый $f_{i}:X\to Y_{i}$ является непрерывным. Исходная однородная структура ${\mathcal {U}}$ также равна самой грубой однородной структуре такой, что тождественные отображения $\operatorname {id} :\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(X,f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)\right)$ равномерно непрерывны.

Хаусдорфнесс : Топология на $X$ индуцированный исходной однородной структурой ${\mathcal {U}}$ является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда $x,y\in X$ различны ( $x\neq y$) то существует некоторый $i\in I$ и немного окружения $V_{i}\in {\mathcal {U}}_{i}$ из $Y_{i}$ такой, что $\left(f_{i}(x),f_{i}(y)\right)\not \in V_{i}.$ Более того, если для каждого индекса $i\in I,$ топология на $Y_{i}$ индуцированный ${\mathcal {U}}_{i}$ является Хаусдорфом, то топология на $X$ индуцированный исходной однородной структурой ${\mathcal {U}}$ является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда отображения $\left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}$ отдельные пункты по $X$ (или, что то же самое, тогда и только тогда, когда карта оценки ${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}}$ является инъективным)

Равномерная непрерывность : Если ${\mathcal {U}}$ — исходная равномерная структура, индуцированная отображениями $\left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\},$ тогда функция $g$ из некоторого однородного пространства $Z$ в $(X,{\mathcal {U}})$ тогда равномерно непрерывен и только тогда, когда $f_{i}\circ g:Z\to Y_{i}$ равномерно непрерывен для каждого $i\in I.$

Фильтр Коши : Фильтр ${\mathcal {B}}$ на $X$ это фильтр Коши на $(X,{\mathcal {U}})$ если и только если $f_{i}\left({\mathcal {B}}\right)$ это предварительный фильтр Коши на $Y_{i}$ для каждого $i\in I.$

Транзитивность исходной однородной структуры » слово «топология» заменить на «однородная структура» : Если в приведенном выше утверждении о « транзитивности исходной топологии , то полученное утверждение также будет верным.

Категориальное описание

На языке теории категорий исходную конструкцию топологии можно описать следующим образом. Позволять $Y$ быть функтором из дискретной категории $J$ к категории топологических пространств $\mathrm {Top}$ какие карты $j\mapsto Y_{j}$. Позволять $U$ быть обычным забывчивым функтором из $\mathrm {Top}$ к $\mathrm {Set}$. Карты $f_{j}:X\to Y_{j}$ тогда можно рассматривать как конус из $X$ к $UY.$ То есть, $(X,f)$ является объектом $\mathrm {Cone} (UY):=(\Delta \downarrow {UY})$— конусов категория $UY.$ Точнее, этот конус $(X,f)$ определяет $U$-структурированный косок в $\mathrm {Set} .$

Забывчивый функтор $U:\mathrm {Top} \to \mathrm {Set}$ вы представите функционера ${\bar {U}}:\mathrm {Cone} (Y)\to \mathrm {Cone} (UY)$. Характеристическое свойство исходной топологии эквивалентно утверждению о существовании универсального морфизма из ${\bar {U}}$ к $(X,f);$ то есть конечный объект в категории $\left({\bar {U}}\downarrow (X,f)\right).$
Явно это состоит из объекта $I(X,f)$ в $\mathrm {Cone} (Y)$ вместе с морфизмом $\varepsilon :{\bar {U}}I(X,f)\to (X,f)$ такое, что для любого объекта $(Z,g)$ в $\mathrm {Cone} (Y)$ и морфизм $\varphi :{\bar {U}}(Z,g)\to (X,f)$ существует единственный морфизм $\zeta :(Z,g)\to I(X,f)$ такая, что следующая диаграмма коммутирует:

Назначение $(X,f)\mapsto I(X,f)$ размещение исходной топологии на $X$ продолжается до функтора $I:\mathrm {Cone} (UY)\to \mathrm {Cone} (Y)$ который является правосопряженным к забывчивому функтору ${\bar {U}}.$ Фактически, $I$ является правой противоположностью ${\bar {U}}$; с ${\bar {U}}I$ является тождественным функтором на $\mathrm {Cone} (UY).$

См. также

• Окончательная топология - лучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными.
• Топология продукта - Топология декартовых произведений топологических пространств.
• Факторпространство (топология) - Построение топологического пространства.
• Топология подпространства – унаследованная топология

Библиография

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64241-1 . OCLC   18588129 .
• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Полет. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64563-4 . ОСЛК   246032063 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7 . OCLC   395340485 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN  0-486-43479-6 .

Внешние ссылки

• Начальная топология в PlanetMath .
• Топология продукта и топология подпространства в PlanetMath .