Сравнение топологий

В топологии и смежных областях математики совокупность всех возможных топологий на данном множестве образует частично упорядоченное множество . Это отношение порядка можно использовать для сравнения топологий .

Определение

Топологию множества можно определить как совокупность подмножеств , которые считаются «открытыми». (Альтернативное определение состоит в том, что это совокупность подмножеств, которые считаются «закрытыми». Эти два способа определения топологии по существу эквивалентны, поскольку дополнение открытого множества закрыто, и наоборот. В дальнейшем это не так. неважно, какое определение используется.)

Для определенности читателю следует думать о топологии как о семействе открытых множеств топологического пространства, поскольку это стандартное значение слова «топология».

Пусть τ ₁ и τ ₂ — две топологии на множестве X такие, что τ ₁ содержится в τ ₂ :

$\tau _{1}\subseteq \tau _{2}$.

То есть каждый элемент τ ₁ также является элементом τ ₂ . топология τ1 _, называется более грубой ( более слабой или меньшей ) топологией, τ2 , _Тогда а называется _чем более тонкой ( более сильной или большей ) топологией чем τ1 _τ2 .

Если дополнительно

$\tau _{1}\neq \tau _{2}$

мы говорим, что τ ₁ чем строго грубее, τ 2 _, а τ ₂ , строго тоньше чем τ ₁ .

Бинарное отношение ⊆ определяет отношение частичного порядка на множестве всех возможных топологий на X .

Примеры

Наилучшей топологией на X является дискретная топология ; эта топология делает все подмножества открытыми. Самая грубая топология на X — это тривиальная топология ; эта топология допускает только пустой набори все пространство как открытые множества.

В функциональных пространствах и пространствах мер часто существует несколько возможных топологий. См. топологии множества операторов в гильбертовом пространстве, чтобы узнать о некоторых сложных отношениях.

Все возможные полярные топологии дуальной пары тоньше слабой топологии и грубее сильной топологии .

Комплексное векторное пространство C ^н может быть оснащено либо своей обычной (евклидовой) топологией, либо своей топологией Зарисского . В последнем случае подмножество V из C ^н замкнуто тогда и только тогда, когда оно состоит из всех решений некоторой системы полиномиальных уравнений. Поскольку любое такое V также является замкнутым множеством в обычном смысле, а не наоборот , то топология Зарисского строго слабее обычной.

Свойства

Пусть τ ₁ и τ ₂ две топологии на множестве X. — Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• τ ₁ ⊆ τ ₂
• тождественное отображение id _X : ( X , τ ₂ ) → ( X , τ ₁ ) является непрерывным отображением .
• тождественное отображение id _X : ( X , τ ₁ ) → ( X , τ ₂ ) является сильно/относительно открытым отображением .

(Тождественная карта id _X сюръективна и , следовательно, сильно открыта тогда и только тогда, когда она относительно открыта.)

Два непосредственных следствия приведенных выше эквивалентных утверждений:

• Непрерывное отображение f : X → Y остается непрерывным, если топология на Y становится более грубой , а топология на X — более тонкой .
• Открытое (соответственно закрытое) отображение f : X → Y остается открытым (соответственно закрытым), если топология на Y становится более тонкой , а топология на X — более грубой .

Можно также сравнивать топологии, используя базы соседства . Пусть τ ₁ и τ ₂ — две топологии на множестве X и пусть B _i ( x ) — локальная база топологии τ _i в точке x ∈ X для i = 1,2. Тогда τ ₁ ⊆ τ ₂ тогда и только тогда, когда для всех x ∈ X каждое открытое множество U ₁ в B ₁ ( x ) содержит некоторое открытое множество U ₂ в B ₂ ( x ). Интуитивно это имеет смысл: более тонкая топология должна иметь меньшие окрестности.

Решетка топологий

Совокупность всех топологий на множестве X вместе с отношением частичного порядка ⊆ образует полную решетку , также замкнутую относительно произвольных пересечений. То есть любой набор топологий на X имеет встречу (или нижнюю границу ) и соединение (или верхнюю границу ). Встреча совокупности топологий — это пересечение этих топологий. Однако соединение обычно представляет собой не объединение этих топологий (объединение двух топологий не обязательно должно быть топологией), а скорее топологию, созданную в результате объединения.

Каждая полная решетка также является ограниченной решеткой , то есть она имеет наибольший и наименьший элемент . В случае топологий наибольшим элементом является дискретная топология , а наименьшим элементом — тривиальная топология .

Решетка топологий на множестве $X$ является дополненной решеткой ; то есть, учитывая топологию $\tau$ на $X$ существует топология $\tau '$ на $X$ такое, что пересечение $\tau \cap \tau '$ — тривиальная топология и топология, порожденная объединением $\tau \cup \tau '$ — дискретная топология.

Если набор $X$ имеет не менее трех элементов, решетка топологий на $X$ не является модульным , и, следовательно, не является распределительным .

См. также

• Начальная топология — самая грубая топология набора, позволяющая сделать семейство отображений из этого набора непрерывным.
• Окончательная топология — лучшая топология на множестве, позволяющая сделать семейство отображений в этом множестве непрерывным.