Jump to content

Конус (теория категорий)

(Перенаправлено из Категории шишек )

В теории категорий , разделе математики , конус функтора — это абстрактное понятие, используемое для определения предела этого функтора . Конусы также появляются в теории категорий.

Определение [ править ]

Пусть F : J C диаграмма в C. ​Формально диаграмма — это не что иное, функтор из J в C. как Изменение терминологии отражает тот факт, что мы думаем о как об индексаторе семейства объектов и морфизмов в C. F Категория J . считается «индексной категорией» Это следует рассматривать по аналогии с понятием индексированного семейства объектов в теории множеств . Основное отличие состоит в том, что здесь мы также имеем морфизмы. Так, например, когда J дискретная категория , она наиболее близко соответствует идее индексированного семейства в теории множеств. Другой распространенный и более интересный пример предполагает, что J — это диапазон . J также можно считать пустой категорией, что приводит к простейшим конусам.

Пусть N — объект C . Конус из N в F это семейство морфизмов

для каждого объекта X из J , такого, что для каждого морфизма f : X Y в J следующая диаграмма коммутирует :

Часть конуса от N до F
Part of a cone from N to F

Коллекция (обычно бесконечная) всех этих треугольников может изображена в форме конуса с вершиной N. быть (частично ) что конус ψ имеет вершину N и основание F. Иногда говорят ,

Можно также определить двойственное понятие конуса ) , от F до N (также называемого коконусом поменяв местами все стрелки выше. Явно коконус из F в N представляет собой семейство морфизмов

для каждого объекта X из J , такого, что для каждого морфизма f : X Y в J коммутирует следующая диаграмма:

Часть конуса от F до N
Part of a cone from F to N

составы Эквивалентные

На первый взгляд конусы кажутся несколько ненормальными конструкциями в теории категорий. Это отображения объекта в функтор ( или наоборот). В соответствии с духом теории категорий мы хотели бы определить их как морфизмы или объекты некоторой подходящей категории. На самом деле, мы можем сделать и то, и другое.

Пусть J — малая категория и пусть C Дж категория диаграмм типа J в C (это не что иное, как категория функтора ). Определим диагональный функтор Δ : C C Дж следующим образом: Δ( ) : J C является постоянным функтором N C для всех N в . N

Если F — диаграмма типа J в C , следующие утверждения эквивалентны:

Двойные утверждения также эквивалентны:

Все эти утверждения можно проверить путем непосредственного применения определений. Думая о конусах как о естественных преобразованиях, мы видим, что это всего лишь морфизмы в C. Дж с источником (или целью) постоянным функтором.

Категория конусов [ править ]

Согласно вышесказанному, мы можем определить категорию конусов F как категорию запятой (Δ ↓ F ). Морфизмы конусов тогда являются просто морфизмами этой категории. Эта эквивалентность коренится в наблюдении, что естественное отображение между постоянными функторами Δ( N ), Δ( M ) соответствует морфизму между N и M . В этом смысле диагональный функтор тривиально действует на стрелки. Аналогично, запись определения естественного отображения постоянного функтора Δ( N ) в F дает ту же диаграмму, что и выше. Как и следовало ожидать, морфизм конуса ( N , ψ) в конус ( L , φ) — это просто морфизм N L такой, что все «очевидные» диаграммы коммутируют (см. первую диаграмму в следующем разделе).

Аналогично, категория коконусов из F является категорией запятой ( F ↓ Δ).

Универсальные конусы [ править ]

Пределы и копределы определяются как универсальные конусы . То есть конусы, через которые действуют все остальные конусы. Конус φ из L в F называется универсальным конусом, если для любого другого конуса ψ из N в F существует единственный морфизм из ψ в φ.

Эквивалентно, универсальный конус в F — это универсальный морфизм из Δ в F (думаемый как объект в C Дж ) или терминальный объект в (Δ ↓ F ).

Двойственным образом конус φ из F в L является универсальным конусом, если для любого другого конуса ψ из F в N существует единственный морфизм из φ в ψ.

Эквивалентно, универсальный конус из F является универсальным морфизмом из F в Δ или исходным объектом в ( F ↓ Δ).

Предел F — универсальный конус из F , а копредел — универсальный конус F. из Как и во всех универсальных конструкциях, существование универсальных конусов не гарантируется для всех диаграмм F , но если они существуют, то они уникальны с точностью до единственного изоморфизма (в категории запятой (Δ ↓ F )).

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-98403-8 .
  • Борсо, Фрэнсис (1994). «Пределы». Справочник по категориальной алгебре . Энциклопедия математики и ее приложений 50-51, 53 [т.е. 52]. Том. 1. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-44178-1 .

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 37cd10dacf59a41cb588c336cd10cdac__1709613600
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/37/ac/37cd10dacf59a41cb588c336cd10cdac.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Cone (category theory) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)