Конус (теория категорий)
Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( Апрель 2022 г. ) |
В теории категорий , разделе математики , конус функтора — это абстрактное понятие, используемое для определения предела этого функтора . Конусы также появляются в теории категорий.
Определение [ править ]
Пусть F : J → C — диаграмма в C. Формально диаграмма — это не что иное, функтор из J в C. как Изменение терминологии отражает тот факт, что мы думаем о как об индексаторе семейства объектов и морфизмов в C. F Категория J . считается «индексной категорией» Это следует рассматривать по аналогии с понятием индексированного семейства объектов в теории множеств . Основное отличие состоит в том, что здесь мы также имеем морфизмы. Так, например, когда J — дискретная категория , она наиболее близко соответствует идее индексированного семейства в теории множеств. Другой распространенный и более интересный пример предполагает, что J — это диапазон . J также можно считать пустой категорией, что приводит к простейшим конусам.
Пусть N — объект C . Конус — из N в F это семейство морфизмов
для каждого объекта X из J , такого, что для каждого морфизма f : X → Y в J следующая диаграмма коммутирует :
Коллекция (обычно бесконечная) всех этих треугольников может изображена в форме конуса с вершиной N. быть (частично ) что конус ψ имеет вершину N и основание F. Иногда говорят ,
Можно также определить двойственное понятие конуса ) , от F до N (также называемого коконусом поменяв местами все стрелки выше. Явно коконус из F в N представляет собой семейство морфизмов
для каждого объекта X из J , такого, что для каждого морфизма f : X → Y в J коммутирует следующая диаграмма:
составы Эквивалентные
На первый взгляд конусы кажутся несколько ненормальными конструкциями в теории категорий. Это отображения объекта в функтор ( или наоборот). В соответствии с духом теории категорий мы хотели бы определить их как морфизмы или объекты некоторой подходящей категории. На самом деле, мы можем сделать и то, и другое.
Пусть J — малая категория и пусть C Дж — категория диаграмм типа J в C (это не что иное, как категория функтора ). Определим диагональный функтор Δ : C → C Дж следующим образом: Δ( ) : J → C является постоянным функтором N C для всех N в . N
Если F — диаграмма типа J в C , следующие утверждения эквивалентны:
- ψ — конус из N в F
- ψ — естественное преобразование из ∆( N ) в F
- ( N , ψ) — объект в категории запятой (Δ ↓ F )
Двойные утверждения также эквивалентны:
- ψ — коконус из F в N
- ψ — естественное преобразование в F Δ( N )
- ( N , ψ) — объект в категории запятой ( F ↓ Δ)
Все эти утверждения можно проверить путем непосредственного применения определений. Думая о конусах как о естественных преобразованиях, мы видим, что это всего лишь морфизмы в C. Дж с источником (или целью) постоянным функтором.
Категория конусов [ править ]
Согласно вышесказанному, мы можем определить категорию конусов F как категорию запятой (Δ ↓ F ). Морфизмы конусов тогда являются просто морфизмами этой категории. Эта эквивалентность коренится в наблюдении, что естественное отображение между постоянными функторами Δ( N ), Δ( M ) соответствует морфизму между N и M . В этом смысле диагональный функтор тривиально действует на стрелки. Аналогично, запись определения естественного отображения постоянного функтора Δ( N ) в F дает ту же диаграмму, что и выше. Как и следовало ожидать, морфизм конуса ( N , ψ) в конус ( L , φ) — это просто морфизм N → L такой, что все «очевидные» диаграммы коммутируют (см. первую диаграмму в следующем разделе).
Аналогично, категория коконусов из F является категорией запятой ( F ↓ Δ).
Универсальные конусы [ править ]
Пределы и копределы определяются как универсальные конусы . То есть конусы, через которые действуют все остальные конусы. Конус φ из L в F называется универсальным конусом, если для любого другого конуса ψ из N в F существует единственный морфизм из ψ в φ.
Эквивалентно, универсальный конус в F — это универсальный морфизм из Δ в F (думаемый как объект в C Дж ) или терминальный объект в (Δ ↓ F ).
Двойственным образом конус φ из F в L является универсальным конусом, если для любого другого конуса ψ из F в N существует единственный морфизм из φ в ψ.
Эквивалентно, универсальный конус из F является универсальным морфизмом из F в Δ или исходным объектом в ( F ↓ Δ).
Предел F — универсальный конус из F , а копредел — универсальный конус F. из Как и во всех универсальных конструкциях, существование универсальных конусов не гарантируется для всех диаграмм F , но если они существуют, то они уникальны с точностью до единственного изоморфизма (в категории запятой (Δ ↓ F )).
См. также [ править ]
- Обратный предел # Конусы - Конструкция в теории категорий
Ссылки [ править ]
- Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-98403-8 .
- Борсо, Фрэнсис (1994). «Пределы». Справочник по категориальной алгебре . Энциклопедия математики и ее приложений 50-51, 53 [т.е. 52]. Том. 1. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-44178-1 .