Категория функтора

В теории категорий , разделе математики , функторная категория. $D^{C}$ это категория, в которой объектами являются функторы $F:C\to D$ и морфизмы являются естественными преобразованиями $\eta :F\to G$ между функторами (здесь $G:C\to D$ это другой объект в категории). Категории функторов представляют интерес по двум основным причинам:

• многие часто встречающиеся категории являются (замаскированными) категориями функторов, поэтому любое утверждение, доказанное для общих категорий функторов, широко применимо;
• каждая категория встраивается в категорию функтора (через вложение Йонеды ); Категория функтора часто имеет более приятные свойства, чем исходная категория, позволяя выполнять определенные операции, которые были недоступны в исходной настройке.

Определение

Предполагать $C$ является небольшой категорией (т.е. объекты и морфизмы образуют набор, а не собственный класс ) и $D$ является произвольной категорией. Категория функторов из $C$ к $D$, записанный как Fun( $C$, $D$), Функция( $C$, $D$), $[C,D]$, или $D^{C}$, имеет в качестве объектов ковариантные функторы из $C$ к $D$, и как морфизмы — естественные преобразования между такими функторами. Обратите внимание, что естественные преобразования можно составить: если $\mu (X):F(X)\to G(X)$ является естественным преобразованием функтора $F:C\to D$ к функтору $G:C\to D$, и $\eta (X):G(X)\to H(X)$ является естественным преобразованием функтора $G$ к функтору $H$, то композиция $\eta (X)\mu (X):F(X)\to H(X)$ определяет естественную трансформацию от $F$ к $H$. С помощью этой композиции естественных преобразований (известной как вертикальная композиция, см. естественные преобразования ), $D^{C}$ удовлетворяет аксиомам категории.

Совершенно аналогично можно рассмотреть и категорию всех контравариантных функторов из $C$ к $D$; мы пишем это как Funct( $C^{\text{op}},D$).

Если $C$ и $D$ обе категории являются преаддитивными (т.е. их множества морфизмов являются абелевыми группами , а композиция морфизмов билинейна ), то мы можем рассмотреть категорию всех аддитивных функторов из $C$ к $D$, обозначается Add( $C$, $D$).

Примеры

• Если $I$ — малая дискретная категория (т. е. ее единственные морфизмы — тождественные морфизмы), то функтор из $I$ к $C$ по существу состоит из семейства объектов $C$, индексируется $I$; категория функтора $C^{I}$ можно отождествить с соответствующей категорией продукта: ее элементами являются семейства объектов в $C$ и его морфизмы являются семействами морфизмов в $C$.

• Категория стрелки ${\mathcal {C}}^{\rightarrow }$ (объектами которого являются морфизмы ${\mathcal {C}}$, и чьи морфизмы являются коммутирующими квадратами в ${\mathcal {C}}$) просто ${\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }$, где 2 — категория с двумя объектами и их тождественными морфизмами, а также стрелкой от одного объекта к другому (но не еще одной стрелкой назад в другую сторону).
• состоит Ориентированный граф из набора стрелок и набора вершин, а также двух функций от набора стрелок до набора вершин, определяющих начальную и конечную вершину каждой стрелки. Таким образом, категория всех ориентированных графов есть не что иное, как категория функторов. ${\textbf {Set}}^{C}$, где $C$ — категория с двумя объектами, соединенными двумя параллельными морфизмами (исходным и целевым), а Set обозначает категорию множеств .
• Любая группа $G$ можно рассматривать как однообъектную категорию, в которой каждый морфизм обратим. Категория всего $G$-sets — это то же самое, что и категория функтора Set. ^$G$. Естественные преобразования – это $G$-карты .
• Как и в предыдущем примере, категория K -линейных представлений группы $G$ совпадает с категорией функтора Vect _K ^$G$ (где Vect _K обозначает категорию всех векторных пространств над полем K ).
• Любое кольцо $R$ может рассматриваться как однообъектная предаддитивная категория; категория левых модулей над $R$ то же самое, что и категория аддитивного функтора Add( $R$, ${\textbf {Ab}}$) (где ${\textbf {Ab}}$ обозначает категорию абелевых групп ), а категорию правых $R$-modules — это Добавить( $R^{\text{op}}$, ${\textbf {Ab}}$). Благодаря этому примеру для любой предаддитивной категории $C$, категория Добавить( $C$, ${\textbf {Ab}}$) иногда называют «категорией левых модулей над $C$" и добавить( $C^{\text{op}}$, ${\textbf {Ab}}$) — это «категория правых модулей над $C$".
• Категория предпучков в топологическом пространстве $X$ является функторной категорией: мы превращаем топологическое пространство в категорию $C$ наличие открытых наборов в $X$ как объекты и одиночный морфизм из $U$ к $V$ тогда и только тогда, когда $U$ содержится в $V$. Категория предпучков множеств (абелевых групп, колец) на $X$ тогда то же самое, что категория контравариантных функторов из $C$ к ${\textbf {Set}}$ (или ${\textbf {Ab}}$ или ${\textbf {Ring}}$). Благодаря этому примеру категория Funct( $C^{\text{op}}$, ${\textbf {Set}}$) иногда называют « категорией предпучков множеств на $C$"даже для общих категорий $C$ не возникающие из топологического пространства. Чтобы определить пучки по общей категории $C$, нужно больше структуры: топология Гротендика на $C$. (Некоторые авторы относят к категориям эквивалентным , ${\textbf {Set}}^{C}$ как предпучковые категории . )

Факты

Большинство конструкций, которые могут быть выполнены в $D$ также может осуществляться в $D^{C}$ выполняя их «покомпонентно», отдельно для каждый объект в $C$. Например, если любые два объекта $X$ и $Y$ в $D$ есть продукт $X\times Y$, тогда любые два функтора $F$ и $G$ в $D^{C}$ есть продукт $F\times G$, определяемый $(F\times G)(c)=F(c)\times G(c)$ для каждого объекта $c$ в $C$. Аналогично, если $\eta _{c}:F(c)\to G(c)$ представляет собой естественную трансформацию, и каждое $\eta _{c}$ живот - это ядро $K_{c}$ в категории $D$, тогда ядро $\eta$ в категории функтора $D^{C}$ это функтор $K$ с $K(c)=K_{c}$ для каждого объекта $c$ в $C$.

Как следствие, мы имеем общее эмпирическое правило , согласно которому категория функтора $D^{C}$ разделяет большинство «приятных» свойств $D$:

• если $D$ является полным (или кополным), то также $D^{C}$;
• если $D$ является абелевой категорией , то также $D^{C}$;

У нас также есть:

• если $C$ — любая малая категория, то категория ${\textbf {Set}}^{C}$ предпучков — это топос .

Итак, из приведенных примеров можно сразу сделать вывод, что категории ориентированных графов, $G$-множества и предпучки в топологическом пространстве являются полными и кополными топосами, и что категории представлений $G$, модули над кольцом $R$, и предпучки абелевых групп на топологическом пространстве $X$ все абелевы, полны и кополны.

Встраивание категории $C$ в категории функторов, упомянутой ранее, используется лемма Йонеды в качестве основного инструмента . Для каждого объекта $X$ из $C$, позволять ${\text{Hom}}(-,X)$ — контравариантный представимый функтор из $C$ к ${\textbf {Set}}$. Лемма Йонеды утверждает, что присваивание

$X\mapsto \operatorname {Hom} (-,X)$

это полное встраивание категории $C$ в категорию Funct( $C^{\text{op}}$, ${\textbf {Set}}$). Так $C$ естественно находится внутри топоса.

То же самое можно сделать для любой предаддитивной категории. $C$: Йонеда тогда дает полное встраивание $C$ в категорию функторов Add( $C^{\text{op}}$, ${\textbf {Ab}}$). Так $C$ естественно находится внутри абелевой категории.

Упомянутая выше интуиция (о том, что конструкции, которые можно осуществить в $D$ можно «поднять» $D^{C}$) можно уточнить несколькими способами; наиболее краткая формулировка использует язык сопряженных функторов . Каждый функтор $F:D\to E$ вы представите функционера $F^{C}:D^{C}\to E^{C}$ (по составу с $F$). Если $F$ и $G$ есть пара сопряженных функторов, то $F^{C}$ и $G^{C}$ также является парой сопряженных функторов.

Категория функтора $D^{C}$ имеет все формальные свойства экспоненциального объекта ; в частности функторы из $E\times C\to D$ находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с функторами из $E$ к $D^{C}$. Категория ${\textbf {Cat}}$ всех малых категорий с функторами как морфизмами следовательно, является декартовой замкнутой категорией .

См. также

• Диаграмма (теория категорий)