Бесплатная категория
В математике свободная категория или категория пути, созданная направленным графом или колчаном , — это категория , возникающая в результате свободного соединения стрел, когда цель одной стрелы является источником следующей.
Точнее, объекты категории — это вершины колчана, а морфизмы — пути между объектами. Здесь путь определяется как конечная последовательность
где является вершиной колчана, является краем колчана, а n варьируется в пределах целых неотрицательных чисел. Для каждой вершины из колчана существует «пустой путь», который образует тождественные морфизмы категории.
Операция композиции представляет собой объединение путей. Указанные пути
их состав
Обратите внимание, что результат композиции начинается с правого операнда композиции и заканчивается ее левым операндом.
Примеры [ править ]
- Если Q — это колчан с одной вершиной и одним ребром f от этого объекта к самому себе, то свободная категория на Q имеет стрелки 1 , f , f ∘ f , f ∘ f ∘ f и т. д. [2]
- Пусть Q — колчан с двумя вершинами a , b и двумя ребрами e , f из a в b и b в a соответственно. Тогда свободная категория на Q имеет две единичные стрелки и стрелку для каждой конечной последовательности чередующихся e s и f s, включая: e , f , e ∘ f , f ∘ e , f ∘ e ∘ f , e ∘ f ∘ e , и т. д. [1]
- Если Q - колчан , то свободная категория на Q имеет (помимо трех единичных стрелок) стрелки f , g и g ∘ f .
- Если колчан Q имеет только одну вершину, то свободная категория на Q имеет только один объект и соответствует свободному моноиду на ребрах Q . [1]
Свойства [ править ]
Категория малых категорий Cat имеет забывчивый функтор U в категорию колчанов Quiv :
- U : Кот → Кив
который переводит объекты в вершины, а морфизмы в стрелки. Интуитивно U «[забывает], какие стрелки являются составными, а какие тождественными». [2] Этот забывчивый функтор является правосопряженным с функтором, отправляющим колчан в соответствующую свободную категорию.
Универсальная собственность [ править ]
Свободная категория на колчане может быть описана с точностью до изоморфизма универсальным свойством . Пусть C : Quiv → Cat — функтор, который переводит колчан в свободную категорию на этом колчане (как описано выше), пусть U — функтор забывчивости, определенный выше, и пусть G — любой колчан. Тогда существует гомоморфизм графа I : G → U ( C ( G )) и для любой категории D и любого гомоморфизма графа F : G → U(D) существует единственный функтор F' : C ( G ) → D такой, что что U ( F' )∘ I = F , т.е. следующая диаграмма коммутирует :
Функтор C остается сопряженным забывчивым функтором U. с [1] [2] [3]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б с д Аводи, Стив (2010). Теория категорий (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 20–24. ISBN 978-0199237180 . OCLC 740446073 .
- ^ Перейти обратно: а б с д Мак Лейн, Сондерс (1978). Категории для работающего математика (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. стр. 49–51. ISBN 1441931236 . OCLC 851741862 .
- ^ бесплатная категория в n Lab