Jump to content

Бесплатная категория

В математике свободная категория или категория пути, созданная направленным графом или колчаном , — это категория , возникающая в результате свободного соединения стрел, когда цель одной стрелы является источником следующей.

Точнее, объекты категории — это вершины колчана, а морфизмы — пути между объектами. Здесь путь определяется как конечная последовательность

где является вершиной колчана, является краем колчана, а n варьируется в пределах целых неотрицательных чисел. Для каждой вершины из колчана существует «пустой путь», который образует тождественные морфизмы категории.

Операция композиции представляет собой объединение путей. Указанные пути

их состав

. [1] [2]

Обратите внимание, что результат композиции начинается с правого операнда композиции и заканчивается ее левым операндом.

Примеры [ править ]

  • Если Q — это колчан с одной вершиной и одним ребром f от этого объекта к самому себе, то свободная категория на Q имеет стрелки 1 , f , f f , f f f и т. д. [2]
  • Пусть Q — колчан с двумя вершинами a , b и двумя ребрами e , f из a в b и b в a соответственно. Тогда свободная категория на Q имеет две единичные стрелки и стрелку для каждой конечной последовательности чередующихся e s и f s, включая: e , f , e f , f e , f e f , e f e , и т. д. [1]
  • Если Q - колчан , то свободная категория на Q имеет (помимо трех единичных стрелок) стрелки f , g и g f .
  • Если колчан Q имеет только одну вершину, то свободная категория на Q имеет только один объект и соответствует свободному моноиду на ребрах Q . [1]

Свойства [ править ]

Категория малых категорий Cat имеет забывчивый функтор U в категорию колчанов Quiv :

U : Кот Кив

который переводит объекты в вершины, а морфизмы в стрелки. Интуитивно U «[забывает], какие стрелки являются составными, а какие тождественными». [2] Этот забывчивый функтор является правосопряженным с функтором, отправляющим колчан в соответствующую свободную категорию.

Универсальная собственность [ править ]

Свободная категория на колчане может быть описана с точностью до изоморфизма универсальным свойством . Пусть C : Quiv Cat — функтор, который переводит колчан в свободную категорию на этом колчане (как описано выше), пусть U — функтор забывчивости, определенный выше, и пусть G — любой колчан. Тогда существует гомоморфизм графа I : G U ( C ( G )) и для любой категории D и любого гомоморфизма графа F : G U(D) существует единственный функтор F' : C ( G ) → D такой, что что U ( F' )∘ I = F , т.е. следующая диаграмма коммутирует :

Функтор C остается сопряженным забывчивым функтором U. с [1] [2] [3]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Перейти обратно: а б с д Аводи, Стив (2010). Теория категорий (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 20–24. ISBN  978-0199237180 . OCLC   740446073 .
  2. ^ Перейти обратно: а б с д Мак Лейн, Сондерс (1978). Категории для работающего математика (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. стр. 49–51. ISBN  1441931236 . OCLC   851741862 .
  3. ^ бесплатная категория в n Lab
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: c0e334f7ad59b7ce21477b48b73889d9__1694879940
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/c0/d9/c0e334f7ad59b7ce21477b48b73889d9.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Free category - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)