Теория высших категорий
В математике . теория более высоких категорий является частью теории категорий более высокого порядка , что означает, что некоторые равенства заменяются явными стрелками , чтобы иметь возможность явно изучить структуру, лежащую в основе этих равенств категорий часто применяется в алгебраической топологии (особенно в теории гомотопий ), где изучаются алгебраические инварианты пространств Теория высших , такие как фундаментальный слабый ∞-группоид .
В теории высших категорий концепция высших категориальных структур, таких как ( ∞-категории ), позволяет более надежно трактовать теорию гомотопий , позволяя уловить более тонкие гомотопические различия, такие как дифференциация двух топологических пространств , которые имеют одну и ту же фундаментальную группу. но различаются высшими гомотопическими группами . Этот подход особенно ценен при работе с пространствами со сложными топологическими характеристиками. [1] например, пространство Эйленберга-Маклэйна .
Строгие высшие категории [ править ]
Обычная категория имеет объекты и морфизмы , которые называются 1-морфизмами в контексте теории высших категорий. 2 -категория обобщает это, включая также 2-морфизмы между 1-морфизмами . Продолжение этого до n -морфизмов между ( n − 1)-морфизмами дает n -категорию .
Точно так же, как категория, известная как Cat , которая является категорией малых категорий и функторов, на самом деле является 2-категорией с естественными преобразованиями в качестве ее 2-морфизмов , категория n - Cat (малых) n- категорий на самом деле является ( n + 1)-категория.
n -категория следующим определяется индукцией по n образом:
- 0 -категория – это множество ,
- ( n + 1)-категория — это категория, обогащенная категорией n — Cat .
Таким образом, 1-категория — это просто ( локально малая ) категория.
Моноидальная представляет собой структуру , структура Set заданную декартовым произведением в качестве тензора и одноэлементным элементом в качестве единицы. Фактически любой категории с конечными произведениями можно придать моноидальную структуру. Рекурсивная конструкция n - Cat работает хорошо, потому что если категория C имеет конечные продукты, то категория C -обогащенных категорий также имеет конечные продукты.
Хотя эта концепция слишком строга для некоторых целей, например, в теории гомотопий , где «слабые» структуры возникают в форме высших категорий, [2] строгие кубические высшие гомотопические группоиды также возникли как дающие новую основу алгебраической топологии на границе между гомологией и теорией гомотопии ; см. статью «Неабелева алгебраическая топология» , на которую есть ссылка в книге ниже.
Слабые высшие категории [ править ]
В слабых n -категориях условия ассоциативности и тождественности уже не являются строгими (т. е. не задаются равенствами), а выполняются с точностью до изоморфизма следующего уровня. Примером в топологии является композиция путей , где условия тождества и ассоциации выполняются только до перепараметризации и, следовательно, до гомотопии , которая является 2-изоморфизмом для этой 2-категории . Эти n -изоморфизмы должны хорошо вести себя между hom-множествами , и выражение этого является трудностью определения слабых n -категорий . Слабые 2-категории , также называемые бикатегориями , были первыми, которые были определены явно. Их особенностью является то, что бикатегория с одним объектом является в точности моноидальной категорией , поэтому можно сказать, что бикатегории являются «моноидальными категориями со многими объектами». Слабые 3-категории , также называемые трикатегориями , и обобщения более высокого уровня все труднее определить явно. Было дано несколько определений, и выяснение того, когда они эквивалентны и в каком смысле, стало новым объектом исследования в теории категорий.
Квазикатегории [ править ]
Слабые комплексы Кана, или квазикатегории, представляют собой симплициальные множества , удовлетворяющие слабой версии условия Кана. Андре Жуайал показал, что они являются хорошей основой для теории высших категорий. Недавно, в 2009 году, теория была систематизирована Джейкобом Лурье , который просто называет их категориями бесконечности, хотя последний термин также является общим термином для всех моделей категорий (бесконечность, k ) для любого k .
Упрощенно обогащенные категории [ править ]
Симплициально обогащенные категории, или симплициальные категории, — это категории, обогащенные симплициальными множествами. Однако когда мы смотрим на них как на модель (бесконечности, 1)-категорий , то многие категориальные понятия (например, пределы ) не согласуются с соответствующими понятиями в смысле обогащенных категорий. То же самое и с другими обогащенными моделями, такими как топологически обогащенные категории.
Топологически обогащенные категории [ править ]
Топологически обогащенные категории (иногда называемые просто топологическими категориями) — это категории, обогащенные некоторой удобной категорией топологических пространств, например категорией компактно порожденных хаусдорфовых пространств .
Категории Сигала [ править ]
Это модели более высоких категорий, предложенные Хиршовицем и Симпсоном в 1998 г. [3] частично вдохновлен результатами Грэма Сигала в 1974 году.
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Лурье, Джейкоб. Теория высшего топоса (PDF) . Массачусетский технологический институт. п. 4.
- ^ Баэз и Долан 1998 , с. 6
- ^ Хиршовиц, Андре; Симпсон, Карлос (2001). «Descente pour les n-champs (Спуск для n-стеков)». arXiv : math/9807049 .
Ссылки [ править ]
- Баэз, Джон С .; Долан, Джеймс (1998). «Категоризация». arXiv : математика/9802029 .
- Ленстер, Том (2004). Высшие операды, высшие категории . Издательство Кембриджского университета. arXiv : math.CT/0305049 . ISBN 0-521-53215-9 .
- Симпсон, Карлос (2010). «Гомотопическая теория высших категорий». arXiv : 1001.4071 [ math.CT ]. Черновик книги. Альтернативный PDF с гиперссылками )
- Лурье, Джейкоб (2009). Теория высшего топоса . Издательство Принстонского университета. arXiv : math.CT/0608040 . ISBN 978-0-691-14048-3 . В формате PDF .
- nLab , коллективный открытый проект вики-записной книжки по теории высших категорий и ее приложениям в физике, математике и философии.
- Catlab Джояла , вики, посвященная отточенным изложениям категориальной и высшей категориальной математики с доказательствами.
- Браун, Рональд ; Хиггинс, Филип Дж.; Сивера, Рафаэль (2011). Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды . Трактаты по математике. Том. 15. Европейское математическое общество. ISBN 978-3-03719-083-8 .
Внешние ссылки [ править ]
- Баэз, Джон (24 февраля 1996 г.). «73-я неделя: Повесть о n -категориях» .
- The n-Category Cafe — групповой блог, посвященный теории высших категорий.
- Ленстер, Том (8 марта 2010 г.). «Взгляд на теорию высших категорий» .
|  | |||||||||||||||||
