Неабелева алгебраическая топология
В математике неабелева алгебраическая топология изучает аспект алгебраической топологии , который включает в себя (неизбежно некоммутативные) алгебры более высоких размерностей .
Многие из многомерных алгебраических структур некоммутативны и, следовательно, их изучение является очень важной частью неабелевой теории категорий , а также неабелевой алгебраической топологии (НААТ). [1] который обобщает на идеи более высоких измерений, исходящие из фундаментальной группы . [2] Такие алгебраические структуры в размерностях больше 1 развивают неабелевский характер фундаментальной группы и в точном смысле «более неабелевы, чем группы» . [1] [3] Эти некоммутативные или, точнее, неабелевы структуры более точно отражают геометрические сложности более высоких размерностей, чем известные группы гомологии и гомотопии, обычно встречающиеся в классической алгебраической топологии .
Важная часть неабелевой алгебраической топологии связана со свойствами и применением гомотопических группоидов и фильтрованных пространств . Некоммутативные двойные группоиды и двойные алгеброиды являются лишь первыми примерами таких многомерных структур, которые не являются неабелевыми. Новые методы неабелевой алгебраической топологии (NAAT) «могут применяться для определения гомотопических инвариантов пространств и гомотопической классификации отображений в случаях, которые включают некоторые классические результаты и допускают результаты, недоступные классическими методами» . Кубические омега-группоиды, высшие гомотопические группоиды , скрещенные модули , скрещенные комплексы и группоиды Галуа связанных с гомотопией фильтруемых пространств, многомерными пространственными структурами, построением фундаментального группоида топоса — ключевые понятия в разработке приложений , E в общей теории. топосов, а также в их физических приложениях в неабелевых квантовых теориях и последних разработках в области квантовой гравитации , а также категориальных и топологическая динамика . [4] Дальнейшие примеры таких приложений включают обобщения формализации геометрии некоммутативной некоммутативных стандартных моделей через фундаментальные двойные группоиды и структуры пространства-времени, даже более общие, чем топои более низкой размерности, , или некоммутативные пространства-времени встречающиеся в нескольких топологических квантовых теориях поля и некоммутативных геометрических теориях квантовой гравитации. .
Фундаментальным результатом NAAT является обобщенная, высшая гомотопическая теорема Ван Кампена, доказанная Р. Брауном, которая утверждает, что «гомотопический тип топологического пространства может быть вычислен с помощью подходящего копредела или гомотопического копредела по гомотопическим типам его частей» . Близкий пример — теоремы Ван Кампена для категорий накрывающих морфизмов в лекстенсивных категориях . [5] Другие сообщения об обобщениях теоремы Ван Кампена включают утверждения для 2-категорий. [6] и топос топосов [1] .Важные результаты в многомерной алгебре также являются расширением теории Галуа в категориях и переменных категориях или индексированных/«параметризованных» категориях. [7] Теорема Джояла-Тирни о представлении топосов также является обобщением теории Галуа. [8] Таким образом, индексация по бикатегориям в смысле Бенабу включает сюда и теорию Джояла-Тирни . [9]
Ссылки [ править ]
- Браун, Рональд (Бангорский университет, Великобритания) ; Хиггинс, Филип Дж. (Даремский университет, Великобритания); Сивера, Рафаэль (Университет Валенсии, Испания) (2010). Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды . Трактаты по математике. Том. 15. Европейское математическое общество. п. 670. ИСБН 978-3-03719-083-8 .
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) [1]
Примечания [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с
- «Презентация» . Бангорский университет, Великобритания. Архивировано из оригинала 4 июня 2009 г. «загружаемый» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 9 июля 2007 г.
- «Каталог» (PDF) . ems-ph.org.
- ^ https://arxiv.org/abs/math/0407275 Нонабелева алгебраическая топология Рональда Брауна. 15 июля 2004 г.
- ^ http://golem.ph.utexas.edu/category/2009/06/nonabelian_algebraic_topology.html Неабелева алгебраическая топология, опубликованная Джоном Баэзом
- ^ Баяну, IC (2007). «Неабелева категориальная онтология пространства-времени и квантовой гравитации». Аксиоматика . 17 (3–4): 353–408. дои : 10.1007/s10516-007-9012-1 . S2CID 3909409 .
- ^ Рональд Браун и Джордж Джанелидзе, теоремы Ван Кампена для категорий накрывающих морфизмов в лекстенсивных категориях, J. Pure Appl. Алгебра . 119 : 255–263, (1997).
- ^ https://web.archive.org/web/20050720094804/http://www.maths.usyd.edu.au/u/stevel/papers/vkt.ps.gz Марта Бунге и Стивен Лэк. Теоремы Ван Кампена для 2-категорий и топосов
- ^ Джанелидзе, Георгий (1993). «Теория Галуа в переменных категориях». Прикладные категориальные структуры . 1 : 103–110. дои : 10.1007/BF00872989 . S2CID 22258886 .
- ^ Джоял, Андре ; Тирни, Майлз (1984). Расширение теории Галуа Гротендика . Том. 309. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2312-5 .
- ^ MSC (1991): 18D30,11R32,18D35,18D05