Строгая 2-категория

В теории категорий строгая 2-категория — это категория с « морфизмами между морфизмами», то есть где каждое hom-множество само по себе несет структуру категории. Формально его можно определить как категорию, Cat обогащенную ( категория категорий и функторов с моноидальной структурой, заданной произведением категорий ).

Понятие двух категорий было впервые введено Чарльзом Эресманном в его работе по расширенным категориям в 1965 году. ^[1] Более общее понятие бикатегории (или слабой 2- категории ), где композиция морфизмов ассоциативна только с точностью до 2-изоморфизма, было введено в 1968 году Жаном Бенабу . ^[2]

Определение [ править ]

2-категория С состоит из:

Класс ( 0- клеток или объектов ) $A$ , $B$ , ....
Для всех объектов $A$ и $B$ существует категория $\mathbf {C} (A,B)$ . Объекты $f,g:A\to B$ этой категории называются 1- клетками , а ее морфизмы $\alpha :f\Rightarrow g$ называются 2- ячейками ; композиция в этой категории обычно пишется $\circ$ или $\circ _{1}$ и называется вертикальной композицией или композицией вдоль 1- клетки .
Для любого объекта $A$ существует функтор из терминальной категории (с одним объектом и одной стрелкой) в $\mathbf {C} (A,A)$ который выбирает идентификатор -ячейки $A на$ A $и$ его идентификатор 2-ячейки $id A 1$ . часто обозначаются просто $A.$ На практике эти два
Для всех объектов $A$ , $B$ и $C$ существует функтор $\circ _{0}\colon \mathbf {C} (B,C)\times \mathbf {C} (A,B)\to \mathbf {C} (A,C)$ , называемая горизонтальной композицией или композицией вдоль 0-ячейки , которая является ассоциативной и допускает ^{[ нужны разъяснения ]} тождество 1 и 2-ячейки $id A$ как тождества. Здесь ассоциативность для $\circ _{0}$ означает, что горизонтальное составление $\mathbf {C} (C,D)\times \mathbf {C} (B,C)\times \mathbf {C} (A,B)$ дважды, чтобы $\mathbf {C} (A,D)$ не зависит от того, какой из двух $\mathbf {C} (C,D)\times \mathbf {C} (B,C)$ и $\mathbf {C} (B,C)\times \mathbf {C} (A,B)$ составляются первыми. Символ композиции $\circ _{0}$ часто опускается, горизонтальная композиция из двух ячеек $\alpha \colon f\Rightarrow g\colon A\to B$ и $\beta \colon f'\Rightarrow g'\colon B\to C$ пишется просто как $\beta \alpha \colon f'f\Rightarrow g'g\colon A\to C$ .

Терминология 0-клеток , 1-клеток и 2-клеток заменена 0-морфизмами , 1-морфизмами и 2-морфизмами в некоторых источниках. ^[3] (см. также Теорию высших категорий ).

Понятие 2-категории отличается от более общего понятия бикатегории тем , что композиция 1-клеток (горизонтальная композиция) должна быть строго ассоциативной, тогда как в бикатегории она должна быть ассоциативной только с точностью до 2-изоморфизма. Аксиомы 2-категорий являются следствием их определения как категорий, обогащенных Cat :

Вертикальная композиция ассоциативна и унитарна, единицы представляют собой тождественные 2-ячейки $id f$ .
Горизонтальная композиция также (строго) ассоциативна и унитарна, единицами являются тождественные 2-ячейки $id id A$ на тождественных 1-ячейках $id A$ .
Закон обмена действует; т.е. верно, что для составных 2-клеток $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$

(\alpha \circ _{0}\beta )\circ _{1}(\gamma \circ _{0}\delta )=(\alpha \circ _{1}\gamma )\circ _{0}(\beta \circ _{1}\delta )

Закон обмена следует из того, что $\circ _{0}$ является функтором между домашними категориями. Его можно нарисовать в виде диаграммы вставки следующим образом:

	=	=	$\circ _{0}$
$\circ _{1}$

Здесь левая диаграмма обозначает вертикальную композицию горизонтальных композитов, правая диаграмма обозначает горизонтальную композицию вертикальных композитов, а диаграмма в центре представляет собой обычное представление обоих. нарисована 2-ячейка двойными стрелками ⇒, 1-ячейка — одинарными стрелками →, а 0-ячейка — точками.

Примеры [ править ]

Категория Ord (предварительно упорядоченных множеств) является 2-категорией, поскольку предупорядоченные множества можно легко интерпретировать как категории.

Категория небольших категорий [ править ]

Архетипическая 2-категория — это категория малых категорий , естественные преобразования которой служат 2-морфизмами; обычно 2-морфизмы обозначаются греческими буквами (например, $\alpha$ выше) по этой причине.

Все объекты ( 0-ячейки ) представляют собой небольшие категории, а для всех объектов $A$ и $B$ категория $\mathbf {C} (A,B)$ является функторной категорией . В этом контексте вертикальная композиция ^[4] состав природных преобразований.

Доктрины [ править ]

В математике доктрина — это просто 2-категория, эвристически рассматриваемая как система теорий. Например, алгебраические теории , изобретенные Уильямом Ловером , являются примером доктрины, как и многосортные теории , операды , категории и топосы .

Объекты 2-категории называются теориями , 1-морфизмы $f\colon A\rightarrow B$ называются моделями A $, а$ в $B$ 2-морфизмы называются морфизмами между моделями.

Различие между 2-категорией и доктриной на самом деле является лишь эвристическим: обычно не считают, что 2-категория населена теориями как объектами и моделями как морфизмами. Именно этот словарь делает теорию доктрин стоящей.

Например, 2-категориальный Кот категорий, функторов и естественных преобразований — это доктрина. Сразу видно, что все категории предпучков являются категориями моделей.

В качестве другого примера можно взять подкатегорию Cat, состоящую только из категорий с конечными произведениями в качестве объектов и функторами, сохраняющими произведение в качестве 1-морфизмов. Это учение о многосортных алгебраических теориях. Если бы кто-то хотел использовать только 1-сортированные алгебраические теории, можно было бы ограничить объекты только теми категориями, которые генерируются в результате продуктов одного объекта.

Доктрины были открыты Джонатаном Мок Беком .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Чарльз Эресманн , Категории и структуры, Дюно, Париж, 1965.
^ Жан Бенабу , Введение в бикатегории, в отчетах семинара по категориям Среднего Запада, Springer, Берлин, 1967, стр. 1–77.
^ «2-категория в nLab» . ncatlab.org . Проверено 20 февраля 2023 г.
^ «вертикальная композиция в nLab» . ncatlab.org . Проверено 20 февраля 2023 г.

Сноски [ править ]

Обобщенные алгебраические модели Клаудии Чентаццо.

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные со строгой 2-категорией, на Викискладе?

[1] Чарльз Эресманн , Категории и структуры, Дюно, Париж, 1965.

[2] Жан Бенабу , Введение в бикатегории, в отчетах семинара по категориям Среднего Запада, Springer, Берлин, 1967, стр. 1–77.

[3] «2-категория в nLab» . ncatlab.org . Проверено 20 февраля 2023 г.

[4] «вертикальная композиция в nLab» . ncatlab.org . Проверено 20 февраля 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[4]