Алгебраическая теория

Неформально в математической логике алгебраическая теория — это теория , которая использует аксиомы, сформулированные полностью в терминах уравнений между членами со свободными переменными . Неравенства и кванторы категорически запрещены. Сентенциальная логика — это подмножество логики первого порядка, включающее только алгебраические предложения.

Это понятие очень близко к понятию алгебраической структуры , которое, возможно, может быть просто синонимом.

Сказать, что теория алгебраична, — это более сильное условие, чем сказать, что она элементарна .

интерпретация

Алгебраическая теория состоит из набора n -арных функциональных терминов с дополнительными правилами (аксиомами).

Например, теория групп является алгебраической теорией, поскольку она имеет три функциональных термина: бинарную операцию a × b , нульарную операцию 1 ( нейтральный элемент ) и унарную операцию x ↦ x. ⁻¹ с правилами ассоциативности , нейтральности и инверсий соответственно. Другие примеры включают в себя:

• теория полугрупп
• теория решеток
• теория колец

Это противоположно геометрической теории , которая включает в себя частичные функции (или бинарные отношения) или экзистенциальные кванторы – см., например, евклидову геометрию , где постулируется существование точек или линий.

-модельная интерпретация на

Смотрите также: теория Ловера и эквациональная логика

Алгебраическая теория T — это категория которой , объектами являются натуральные числа 0, 1, 2,... и которая для каждого n имеет n -кортеж морфизмов :

proj _i : n → 1, i = 1, ..., n

Это позволяет интерпретировать n как произведение n декартово копий 1.

Пример: Определим алгебраическую теорию T, приняв hom( n , m ) как m -кортеж полиномов от n свободных переменных X ₁ , ..., X _n с целыми коэффициентами и с заменой в качестве композиции. В этом случае proj _i совпадает с X _i . Эта теория Т называется теорией коммутативных колец .

В алгебраической теории любой морфизм n → m можно описать как m морфизмов сигнатуры n → 1. Эти последние морфизмы называются n -арными операциями теории.

Если E — категория с конечными произведениями , то полная подкатегория Alg( T , E ) категории функторов [ T , E ], состоящая из тех функторов, которые сохраняют конечные произведения, называется категорией Т - моделей или Т - алгебр .

Заметим, что для случая операции 2 → 1 соответствующая алгебра A определит морфизм

А (2) ≈ А (1) × А (1) → А (1)

См. также

• Алгебраическое определение

Ссылки

• Ловер, Ф.В. , 1963, Функториальная семантика алгебраических теорий, Труды Национальной академии наук 50, № 5 (ноябрь 1963), 869-872.
• Адамек Дж., Росицки Дж., Витале Э.М., Алгебраические теории. Категорическое введение в общую алгебру
• Кок А., Рейес Г., Доктрины категориальной логики, в Справочнике по математической логике, под ред. Дж. Барвайз , Северная Голландия, 1977 г.
• Алгебраическая теория в n Lab