Неравенство (математика)

В математике неравенство — это отношение , которое осуществляет неравное сравнение между двумя числами или другими математическими выражениями. ^[1]Чаще всего он используется для сравнения двух чисел на числовой прямой по их размеру. Основными видами неравенства являются меньше и больше .

Обозначения [ править ]

Для обозначения различных видов неравенств используются несколько различных обозначений:

Обозначение a < b означает, a меньше что b .
Обозначение a > b означает, что a больше , чем b .

В любом случае a не равно b . Эти отношения известны как строгие неравенства . ^[1]это означает, что a строго меньше или строго больше b . Равенство исключено.

В отличие от строгих неравенств, существуют два типа отношений неравенства, которые не являются строгими:

Обозначение a ≤ b или a ⩽ b или a ⩽ b означает, что a меньше или равно b (или, что то же самое, не более b или не больше b ).
Обозначение a ≥ b или a ⩾ b или a ⩾ b означает, что a больше или равно b (или, что то же самое, по крайней мере b или не меньше b ).

В 17 и 18 веках для обозначения неравенства использовались личные записи или машинописные знаки. ^[2]Например, в 1670 году Джон Уоллис использовал одну горизонтальную полосу выше , а не ниже < и >. Позже, в 1734 году, ≦ и ≧, известные как «меньше (больше) больше равно» или «меньше (больше) или равно с двойными горизонтальными чертами», впервые появились в Пьера Бугера . работе ^[3] После этого математики упростили символ Пьера до «меньше (больше) или равно одной горизонтальной черте» (≤), или «меньше (больше) или наклонно равно» (⩽).

Отношение не больше чем также может быть представлено формулой $a\ngtr b,$ символ «больше», разделенный косой чертой «нет». То же самое верно для не менее , $a\nless b.$

Обозначение a ≠ b означает, что a не равно b ; это неравенство иногда считается формой строгого неравенства. ^[4]Здесь не говорится, что одно больше другого; для этого даже не требуется, чтобы a и b были членами упорядоченного набора .

В технических науках менее формальное использование обозначений заключается в утверждении, что одна величина «намного больше» другой. ^[5] обычно на несколько порядков .

Обозначение a ≪ b означает, что a меньше намного b . ^[6]
Обозначение a ≫ b означает, что a намного больше b . ^[7]

Это означает, что меньшим значением можно пренебречь с небольшим влиянием на точность приближения ( например, в случае ультрарелятивистского предела в физике).

Во всех вышеперечисленных случаях любые два символа, зеркально отражающие друг друга, симметричны; a < b и b > a эквивалентны и т. д.

Свойства на числовой прямой [ править ]

Неравенства регулируются следующими свойствами . Все эти свойства также сохраняются, если все нестрогие неравенства (≤ и ≥) заменить соответствующими строгими неравенствами (< и >) и — в случае применения функции — монотонные функции ограничиваются строго монотонными функциями .

Конверс [ править ]

Отношения ≤ и ≥ являются обратными друг другу , что означает, что для любых действительных чисел a и b :

a ⩽ b и b ⩾ a эквивалентны.

Транзитивность [ править ]

Транзитивное свойство неравенства гласит, что для любых действительных чисел a , b , c : ^[8]

Если a ⩽ b и b ⩽ c , то a ⩽ c .

Если любая из посылок представляет собой строгое неравенство, то вывод представляет собой строгое неравенство:

Если a ≤ b и b < c , то a < c .

Если a < b и b ≤ c , то a < c .

Сложение и вычитание [ править ]

Если x < y , то x + a < y + a .

Общая константа c может быть добавлена или вычтена из обеих частей неравенства. ^[4] Итак, для любых действительных чисел a , b , c :

Если a ⩽ b , то a + c ⩽ b + c и a - c ⩽ b - c .

Другими словами, отношение неравенства сохраняется при сложении (или вычитании), а действительные числа представляют собой упорядоченную группу при сложении.

Умножение и деление [ править ]

Свойства, касающиеся умножения и деления, утверждают, что для любых действительных чисел a , b и ненулевых c :

Если a ≤ b и c > 0, то ac ≤ bc и a / c ≤ b / c .

Если a ≤ b и c < 0, то ac ≥ bc и a / c ≥ b / c .

Другими словами, отношение неравенства сохраняется при умножении и делении с положительной константой, но меняется на противоположное, когда используется отрицательная константа. В более общем смысле это относится к упорядоченному полю . Дополнительную информацию см. в § Упорядоченные поля .

Аддитивное обратное [ править ]

Свойство аддитивной инверсии гласит, что для любых действительных чисел a и b :

Если a ≤ b , то − a ≥ − b .

Мультипликативное обратное [ править ]

Если оба числа положительны, то отношение неравенства между мультипликативными обратными числами противоположно отношению неравенства между исходными числами. Более конкретно, для любых ненулевых действительных чисел a и b , которые оба являются положительными (или оба отрицательными ):

Если a ≤ b , то 1 а ≥ 1 б .

Все случаи знаков a и b также можно записать в цепной записи следующим образом:

Если 0 < a ≤ b , то 1 а ≥ 1 б > 0.

Если a ≤ b < 0, то 0 > 1 а ≥ 1 б .

Если a < 0 < b , то 1 а <0 < 1 б .

Применение функции к обеим сторонам [ править ]

Любая монотонно возрастающая функция по определению ^[9]может применяться к обеим частям неравенства без нарушения отношения неравенства (при условии, что оба выражения находятся в области определения этой функции). Однако применение монотонно убывающей функции к обеим частям неравенства означает, что соотношение неравенства изменится на противоположное. Правила аддитивного обратного и мультипликативного обратного для положительных чисел являются примерами применения монотонно убывающей функции.

Если неравенство строгое ( a < b , a > b ) и функция строго монотонна, то неравенство остается строгим. Если только одно из этих условий является строгим, то полученное неравенство является нестрогим. Фактически, правила аддитивных и мультипликативных обратных операций являются примерами применения строго монотонно убывающей функции.

Вот несколько примеров этого правила:

Возведение обеих частей неравенства в степень n > 0 (эквивалентно - n <0), когда a и b - положительные действительные числа:
0 ≤ а ≤ б ⇔ 0 ≤ а ^н ≤ б ^н.

0 ≤ а ≤ б ⇔ а ^{− п} ≥ б ^{− п} ≥ 0.
Берем натуральный логарифм с обеих сторон неравенства, когда a и b — положительные действительные числа:
0 < а ≤ б ⇔ ln( а ) ≤ ln( б ).

0 < а < б ⇔ ln( а ) < ln( б ).
(это верно, поскольку натуральный логарифм является строго возрастающей функцией.)

Формальные определения и обобщения [ править ]

(Нестрогий) частичный порядок — это бинарное отношение ≤ над множеством P , которое является рефлексивным , антисимметричным и транзитивным . ^[10] То есть для всех a , b и c в P он должен удовлетворять трем следующим условиям:

a ≤ a ( рефлексивность )
если a ≤ b и b ≤ a , то a = b ( антисимметрия )
если a ⩽ b и b ⩽ c , то a ⩽ c ( транзитивность )

Множество с частичным порядком называется частично упорядоченным множеством . ^[11]Это самые основные аксиомы, которым должен удовлетворять любой порядок. Другие аксиомы, существующие для других определений порядков на множестве P , включают:

Для каждых a и b в P ≤ a ≤ b или b a общий ( порядок ).
Для всех a и b в P , для которых a < b , существует c в P такой, что a < c < b ( плотный порядок ).
Каждое непустое подмножество P свойство наименьшей с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу (супремум) в P ( верхней границы ).

Упорядоченные поля [ править ]

Если ( F , +, ×) — поле и ≤ — полный порядок на F , то ( F , +, ×, ≤) называется упорядоченным полем тогда и только тогда, когда:

a ≤ b подразумевает a + c ≤ b + c ;
0 ≤ a и 0 ≤ b влечет за собой 0 ≤ a × b .

Оба ( Q , +, ×, ≤) и ( R , +, ×, ≤) являются упорядоченными полями , но ≤ нельзя определить, чтобы сделать ( C , +, ×, ≤) упорядоченным полем , ^[12] потому что −1 — это квадрат i и поэтому будет положительным.

Помимо того, что R является упорядоченным полем, он также обладает свойством «наименьшая верхняя граница» . Фактически, R можно определить как единственное упорядоченное поле такого качества. ^[13]

Цепное обозначение [ править ]

Обозначение a < b < c означает « a < b и b < c », из чего по свойству транзитивности, указанному выше, также следует, что a < c . Согласно вышеуказанным законам, можно прибавить или вычесть одно и то же число ко всем трем слагаемым, а также умножить или разделить все три слагаемых на одно и то же ненулевое число и перевернуть все неравенства, если это число отрицательное. Следовательно, например, a < b + e < c эквивалентно a - e < b < c - e .

Это обозначение можно обобщить на любое количество терминов: например, a ₁ ⩽ a ₂ ⩽ ... ⩽ a _n означает, что a _i ⩽ a _{i +1} для i = 1, 2, ..., n − 1. По транзитивности это условие эквивалентно a _i ≤ a _j для любого 1 ≤ i ≤ j ≤ n .

При решении неравенств с использованием цепной записи можно, а иногда и необходимо, оценивать члены самостоятельно. Например, чтобы решить неравенство 4 x < 2 x + 1 ≤ 3 x + 2, невозможно выделить x в какой-либо одной части неравенства путем сложения или вычитания. Вместо этого неравенства необходимо решать независимо, в результате чего x < 1/2 −1 соответственно , и ≥ x которые можно объединить в окончательное решение −1 ≤ x < 1 / 2 .

Иногда цепные обозначения используются с неравенствами в разных направлениях, и в этом случае смыслом является логическое соединение неравенств между соседними терминами. Например, определяющее условие зигзагообразного ЧУУ записывается как a ₁ < a ₂ > a ₃ < a ₄ > a ₅ < a ₆ > ... . Смешанные цепные обозначения чаще используются с совместимыми отношениями, например <, =, ≤. Например, a < b = c ≤ d означает, что a < b , b = c и c ≤ d . Эта нотация существует в нескольких языках программирования, таких как Python . Напротив, в языках программирования, которые обеспечивают упорядочивание типов результатов сравнения, таких как C , даже однородные цепочки могут иметь совершенно другое значение. ^[14]

Резкие неравенства [ править ]

Неравенство называется резким, если его нельзя ослабить и при этом в целом сохранить справедливость. Формально универсальное кванторное неравенство φ называется точным, если для любого действительного универсального кванторного неравенства ψ , если ψ ⇒ φ выполняется ψ ⇔ φ , то также выполняется . Например, неравенство ∀ a ∈ R . а ²≥ 0 является точным, тогда как неравенство ∀ a ∈ R . а ² ≥ −1 не является точным. ^{[ нужна цитата ]}

Неравенство между средствами [ править ]

Между средствами существует множество неравенств. Например, для любых положительных чисел a ₁ , a ₂ , ..., a _n мы имеем H ≤ G ≤ A ≤ Q , где они представляют собой следующие средние значения последовательности:

Гармоническое среднее : $H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}$
Среднее геометрическое : $G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}$
Среднее арифметическое : $A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$
Квадратичное среднее : $Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}$

Коши – Неравенство Шварца

Неравенство Коши – Шварца утверждает, что для всех векторов u и v пространства внутреннего произведения верно, что

|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,

где

\langle \cdot ,\cdot \rangle

это внутренний продукт . Примеры внутренних продуктов включают реальное и сложное скалярное произведение ; В евклидовом пространстве R ^н со стандартным внутренним продуктом неравенство Коши – Шварца имеет вид

\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).

Силовое неравенство

Степенное неравенство — это неравенство, содержащее члены вида a ^б, где a и b — действительные положительные числа или выражения переменных. Они часто появляются в упражнениях математических олимпиад .

Примеры:

Для любого действительного x , $e^{x}\geq 1+x.$
Если х > 0 и р > 0, то ${\frac {x^{p}-1}{p}}\geq \ln(x)\geq {\frac {1-{\frac {1}{x^{p}}}}{p}}.$ В пределе p → 0 верхняя и нижняя границы сходятся к ln( x ).
Если х > 0, то $x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.$
Если х > 0, то $x^{x^{x}}\geq x.$
Если x , y , z > 0, то $\left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.$
Для любых действительных различных чисел a и b , ${\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.$
Если x , y > 0 и 0 < p < 1, то $x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.$
Если x , y , z > 0, то $x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.$
Если а , b > 0, то ^[15] $a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.$
Если а , b > 0, то ^[16] $a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.$
Если a , b , c > 0, то $a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.$
Если а , b > 0, то $a^{b}+b^{a}>1.$

Известные неравенства [ править ]

Математики часто используют неравенства для определения величин, для которых невозможно легко вычислить точные формулы. Некоторые неравенства используются настолько часто, что имеют названия:

Комплексные числа и неравенства [ править ]

Набор комплексных чисел $\mathbb {C}$ с его операциями сложения и умножения является полем , но невозможно определить какое-либо отношение $\leq$ так, чтобы $(\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )$ становится упорядоченным полем . Делать $(\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )$ упорядоченное поле , оно должно удовлетворять следующим двум свойствам:

если a ≤ b , то a + c ≤ b + c ;
если 0 ≤ a и 0 ≤ b , то 0 ≤ ab .

Поскольку ≤ является полным порядком , для любого числа a либо 0 ≤ a , либо a ≤ 0 (в этом случае первое свойство выше подразумевает, что 0 ≤ − a ). В любом случае 0 ≤ a ²; это значит, что я ² > 0 и 1 ²> 0 ; поэтому −1 > 0 и 1 > 0 , что означает (−1 + 1) > 0; противоречие.

Однако операцию ≤ можно определить так, чтобы она удовлетворяла только первому свойству (а именно: «если a ≤ b , то a + c ≤ b + c »). Иногда лексикографического порядка используется определение :

a ≤ b , если
- Re( a ) <Re( b ) или
- Re( a ) = Re( b ) и Im( a ) ≤ Im( b )

Легко доказать, что для этого определения из a ⩽ b следует a + c ⩽ b + c .

Векторные неравенства

Отношения неравенства, аналогичные определенным выше, также могут быть определены для векторов-столбцов . Если мы позволим векторам $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ (означающий, что $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}$ и $y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})^{\mathsf {T}}$ , где $x_{i}$ и $y_{i}$ действительные числа для $i=1,\ldots ,n$ ), мы можем определить следующие отношения:

$x=y$ , если $x_{i}=y_{i}$ для $i=1,\ldots ,n$ .
$x<y$ , если $x_{i}<y_{i}$ для $i=1,\ldots ,n$ .
$x\leq y$ , если $x_{i}\leq y_{i}$ для $i=1,\ldots ,n$ и $x\neq y$ .
$x\leqq y$ , если $x_{i}\leq y_{i}$ для $i=1,\ldots ,n$ .

Аналогичным образом мы можем определить отношения для $x>y$ , $x\geq y$ , и $x\geqq y$ . Эти обозначения согласуются с обозначениями, использованными Матиасом Эрготтом в «Многокритериальной оптимизации» (см. «Ссылки»).

( Свойство трихотомии как указано выше ) недопустимо для векторных отношений. Например, когда $x=(2,5)^{\mathsf {T}}$ и $y=(3,4)^{\mathsf {T}}$ , между этими двумя векторами не существует действительного отношения неравенства. Однако для остальных вышеупомянутых свойств существует параллельное свойство для векторных неравенств.

Системы неравенств [ править ]

Системы линейных неравенств можно упростить методом исключения Фурье – Моцкина . ^[17]

Цилиндрическая алгебраическая декомпозиция — это алгоритм, позволяющий проверить, имеет ли система полиномиальных уравнений и неравенств решения, и, если решения существуют, описать их. Сложность этого алгоритма вдвойне экспоненциальна по количеству переменных. Это активная область исследований по разработке алгоритмов, более эффективных в конкретных случаях.

См. также [ править ]

Бинарное отношение
Скобка (математика) для использования аналогичных знаков ‹ и › в качестве скобок.
Инклюзия (теория множеств)
Неравенство
Интервал (математика)
Список неравенств
Список неравенств треугольника
Частично заказанный комплект
Операторы отношения , используемые в языках программирования для обозначения неравенства.

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б «Определение неравенства (Иллюстрированный математический словарь)» . www.mathsisfun.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ Халмаги, Елена; Лильедал, Питер. «Неравенства в истории математики: от особенностей к жесткой дисциплине». Материалы ежегодного собрания канадской исследовательской группы по математическому образованию в 2012 году .
^ «Первоначальное использование символов отношений» . МакТьютор . Университет Сент-Эндрюс, Шотландия.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Неравенство» . www.learnalberta.ca . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ Полянин А.Д.; Манжиров А.В. (2006). Справочник по математике для инженеров и ученых . ЦРК Пресс. п. 29. ISBN 978-1-4200-1051-0 . Проверено 19 ноября 2021 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Намного меньше» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Намного большее» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ Драхман, Брайон К.; Клауд, Майкл Дж. (2006). Неравенства: с приложениями к технике . Springer Science & Business Media. стр. 2–3. ISBN 0-3872-2626-5 .
^ «Доказательство неравенства» . www.cs.yale.edu . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ Симовичи, Дэн А. и Джераба, Чабане (2008). «Частично упорядоченные множества» . Математические инструменты для интеллектуального анализа данных: теория множеств, частичные порядки, комбинаторика . Спрингер. ISBN 9781848002012 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Частично упорядоченное множество» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ Фельдман, Джоэл (2014). «Поля» (PDF) . math.ubc.ca. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 3 декабря 2019 г.
^ Стюарт, Ян (2007). Почему красота — это истина: история симметрии . Хачетт Великобритания. п. 106. ИСБН 978-0-4650-0875-9 .
^ Брайан В. Керниган и Деннис М. Ричи (апрель 1988 г.). Язык программирования Си . Серия программного обеспечения Prentice Hall (2-е изд.). Энглвуд Клиффс / Нью-Джерси: Прентис Холл. ISBN 0131103628 . Здесь: Раздел A.7.9 Операторы отношения , стр. 167: Цитата: «a<b<c анализируется как (a<b)<c»
^ Лауб, М.; Илани, Ишай (1990). «Е3116». Американский математический ежемесячник . 97 (1): 65–67. дои : 10.2307/2324012 . JSTOR 2324012 .
^ Маньяма, С. (2010). «Решение одной гипотезы о неравенствах со степенными экспоненциальными функциями» (PDF) . Австралийский журнал математического анализа и приложений . 7 (2): 1. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
^ Гертнер, Бернд; Матушек, Иржи (2006). Понимание и использование линейного программирования . Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-30697-8 .

Источники [ править ]

Харди Г., Литтлвуд Дж. Э., Полиа Г. (1999). Неравенства . Кембриджская математическая библиотека, издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-05206-8 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Бекенбах, Э.Ф., Беллман, Р. (1975). Введение в неравенства . Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Драхман, Байрон К., Клауд, Майкл Дж. (1998). Неравенства: с приложениями к технике . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-98404-6 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Гриншпан, А.З. (2005), «Общие неравенства, последствия и приложения», Успехи в прикладной математике , 34 (1): 71–100, doi : 10.1016/j.aam.2004.05.001
Мюррей С. Кламкин. « Неравенства по-быстрому» (PDF) . Математические стратегии . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
Артур Лоуотер (1982). «Введение в неравенства» . Электронная онлайн-книга в формате PDF.
Гарольд Шапиро (2005). «Решение математических задач» . Семинар по старым проблемам . Королевский технологический институт.
«3-й USAMO» . Архивировано из оригинала 3 февраля 2008 г.
Пачпатте, Б.Г. (2005). Математические неравенства . Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 67 (первое изд.). Амстердам, Нидерланды: Elsevier . ISBN 0-444-51795-2 . ISSN 0924-6509 . МР 2147066 . Збл 1091.26008 .
Эрготт, Матиас (2005). Многокритериальная оптимизация . Шпрингер-Берлин. ISBN 3-540-21398-8 .
Стил, Дж. Майкл (2004). Мастер-класс Коши-Шварца: Введение в искусство математических неравенств . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-54677-5 .

Внешние ссылки [ править ]

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б «Определение неравенства (Иллюстрированный математический словарь)» . www.mathsisfun.com . Проверено 3 декабря 2019 г.

[2] Халмаги, Елена; Лильедал, Питер. «Неравенства в истории математики: от особенностей к жесткой дисциплине». Материалы ежегодного собрания канадской исследовательской группы по математическому образованию в 2012 году .

[3] «Первоначальное использование символов отношений» . МакТьютор . Университет Сент-Эндрюс, Шотландия.

[:1-4] Перейти обратно: ^а ^б «Неравенство» . www.learnalberta.ca . Проверено 3 декабря 2019 г.

[Polyanin2006-5] Полянин А.Д.; Манжиров А.В. (2006). Справочник по математике для инженеров и ученых . ЦРК Пресс. п. 29. ISBN 978-1-4200-1051-0 . Проверено 19 ноября 2021 г.

[6] Вайсштейн, Эрик В. «Намного меньше» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.

[7] Вайсштейн, Эрик В. «Намного большее» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.

[8] Драхман, Брайон К.; Клауд, Майкл Дж. (2006). Неравенства: с приложениями к технике . Springer Science & Business Media. стр. 2–3. ISBN 0-3872-2626-5 .

[9] «Доказательство неравенства» . www.cs.yale.edu . Проверено 3 декабря 2019 г.

[10] Симовичи, Дэн А. и Джераба, Чабане (2008). «Частично упорядоченные множества» . Математические инструменты для интеллектуального анализа данных: теория множеств, частичные порядки, комбинаторика . Спрингер. ISBN 9781848002012 .

[11] Вайсштейн, Эрик В. «Частично упорядоченное множество» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.

[12] Фельдман, Джоэл (2014). «Поля» (PDF) . math.ubc.ca. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 3 декабря 2019 г.

[13] Стюарт, Ян (2007). Почему красота — это истина: история симметрии . Хачетт Великобритания. п. 106. ИСБН 978-0-4650-0875-9 .

[14] Брайан В. Керниган и Деннис М. Ричи (апрель 1988 г.). Язык программирования Си . Серия программного обеспечения Prentice Hall (2-е изд.). Энглвуд Клиффс / Нью-Джерси: Прентис Холл. ISBN 0131103628 . Здесь: Раздел A.7.9 Операторы отношения , стр. 167: Цитата: «a<b<c анализируется как (a<b)<c»

[15] Лауб, М.; Илани, Ишай (1990). «Е3116». Американский математический ежемесячник . 97 (1): 65–67. дои : 10.2307/2324012 . JSTOR 2324012 .

[16] Маньяма, С. (2010). «Решение одной гипотезы о неравенствах со степенными экспоненциальными функциями» (PDF) . Австралийский журнал математического анализа и приложений . 7 (2): 1. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.

[17] Гертнер, Бернд; Матушек, Иржи (2006). Понимание и использование линейного программирования . Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-30697-8 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]