Неравенство (математика)
Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют достаточные соответствующие встроенные цитаты . ( Май 2017 г. ) |
В математике неравенство — это отношение, которое осуществляет неравное сравнение между двумя числами или другими математическими выражениями. [1] Чаще всего он используется для сравнения двух чисел на числовой прямой по их размеру. Основными видами неравенства являются меньше и больше .
Обозначения [ править ]
Для обозначения различных видов неравенств используются несколько различных обозначений:
- Обозначение a < b означает, a меньше b что .
- Обозначение a > b означает, что a больше , чем b .
В любом случае a не равно b . Эти отношения известны как строгие неравенства . [1] это означает, что a строго меньше или строго больше b . Равенство исключено.
В отличие от строгих неравенств, существуют два типа отношений неравенства, которые не являются строгими:
- Обозначение a ≤ b или a ⩽ b или a ⩽ b означает, что a меньше или равно b (или, что то же самое, не более b или не больше b ).
- Обозначение a ≥ b или a ⩾ b или a ⩾ b означает, что a больше или равно b (или, что то же самое, по крайней мере b или не меньше b ).
В 17 и 18 веках для обозначения неравенства использовались личные записи или машинописные знаки. [2] Например, в 1670 году Джон Уоллис использовал одну горизонтальную полосу выше, а не ниже < и >.Позже, в 1734 году, ≦ и ≧, известные как «меньше (больше) больше равно» или «меньше (больше) или равно с двойными горизонтальными чертами», впервые появились в Пьера Бугера . работе [3] После этого математики упростили символ Пьера до «меньше (больше) или равно одной горизонтальной черте» (≤), или «меньше (больше) или наклонно равно» (⩽).
Отношение не больше чем можно также представить как символ «больше», разделенный косой чертой «нет». То же самое верно для не менее ,
Обозначение a ≠ b означает, что a не равно b ; это неравенство иногда считается формой строгого неравенства. [4] Здесь не говорится, что одно больше другого; для этого даже не требуется, чтобы a и b были членами упорядоченного набора .
В технических науках менее формальное использование обозначений заключается в утверждении, что одна величина «намного больше» другой. [5] обычно на несколько порядков .
- Обозначение a ≪ b означает, что a намного меньше b . [6]
- Обозначение a ≫ b означает, что a намного больше b . [7]
Это означает, что меньшим значением можно пренебречь с небольшим влиянием на точность приближения ( например, в случае ультрарелятивистского предела в физике).
Во всех вышеперечисленных случаях любые два символа, зеркально отражающие друг друга, симметричны; a < b и b > a эквивалентны и т. д.
Свойства на числовой прямой [ править ]
Неравенства регулируются следующими свойствами . Все эти свойства также сохраняются, если все нестрогие неравенства (≤ и ≥) заменить соответствующими строгими неравенствами (< и >) и — в случае применения функции — монотонные функции ограничиваются строго монотонными функциями .
Конверс [ править ]
Отношения ≤ и ≥ являются обратными друг другу , что означает, что для любых действительных чисел a и b :
Транзитивность [ править ]
Транзитивное свойство неравенства гласит, что для любых действительных чисел a , b , c : [8]
Если любая из посылок представляет собой строгое неравенство, то вывод представляет собой строгое неравенство:
Сложение и вычитание [ править ]
Общая константа c может быть добавлена или вычтена из обеих частей неравенства. [4] Итак, для любых действительных чисел a , b , c :
Другими словами, отношение неравенства сохраняется при сложении (или вычитании), а действительные числа представляют собой упорядоченную группу при сложении.
Умножение и деление [ править ]
Свойства, касающиеся умножения и деления, утверждают, что для любых действительных чисел a , b и ненулевых c :
Другими словами, отношение неравенства сохраняется при умножении и делении с положительной константой, но меняется на противоположное, когда используется отрицательная константа. В более общем смысле это относится к упорядоченному полю . Дополнительную информацию см. в § Упорядоченные поля .
Аддитивное обратное [ править ]
Свойство аддитивной инверсии гласит, что для любых действительных чисел a и b :
Мультипликативное обратное [ править ]
Если оба числа положительны, то отношение неравенства между мультипликативными обратными числами противоположно отношению неравенства между исходными числами. Более конкретно, для любых ненулевых действительных чисел a и b , которые оба являются положительными (или оба отрицательными ):
Все случаи знаков a и b также можно записать в цепной записи следующим образом:
Применение функции к обеим сторонам [ править ]
Любая монотонно возрастающая функция по определению [9] может применяться к обеим частям неравенства без нарушения отношения неравенства (при условии, что оба выражения находятся в области определения этой функции). Однако применение монотонно убывающей функции к обеим частям неравенства означает, что соотношение неравенства изменится на противоположное. Правила аддитивного обратного и мультипликативного обратного для положительных чисел являются примерами применения монотонно убывающей функции.
Если неравенство строгое ( a < b , a > b ) и функция строго монотонна, то неравенство остается строгим. Если только одно из этих условий является строгим, то полученное неравенство является нестрогим. Фактически, правила аддитивных и мультипликативных обратных операций являются примерами применения строго монотонно убывающей функции.
Вот несколько примеров этого правила:
- Возведение обеих частей неравенства в степень n > 0 (эквивалентно - n <0), когда a и b - положительные действительные числа: 0 ≤ а ≤ б ⇔ 0 ≤ а н ≤ б н .0 ≤ а ≤ б ⇔ а − п ≥ б − п ≥ 0.
- Берем натуральный логарифм с обеих сторон неравенства, когда a и b — положительные действительные числа: 0 < а ≤ б ⇔ ln( а ) ≤ ln( б ).0 < а < б ⇔ ln( а ) < ln( б ).(это верно, поскольку натуральный логарифм является строго возрастающей функцией.)
Формальные определения и обобщения [ править ]
(Нестрогий) частичный порядок — это бинарное отношение ≤ над множеством P , которое является рефлексивным , антисимметричным и транзитивным . [10] То есть для всех a , b и c в P он должен удовлетворять трем следующим условиям:
- a ≤ a ( рефлексивность )
- если a ≤ b и b ≤ a , то a = b ( антисимметрия )
- если a ⩽ b и b ⩽ c , то a ⩽ c ( транзитивность )
Множество с частичным порядком называется частично упорядоченным множеством . [11] Это самые основные аксиомы, которым должен удовлетворять любой порядок. Другие аксиомы, существующие для других определений порядков на множестве P, включают:
- каждых a и b в P a b ≤ Для или b ≤ a ( общий порядок ).
- Для всех a и b в P, для которых a < b , существует c в P такой, что a < c < b ( плотный порядок ).
- Каждое непустое подмножество P P с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу (супремум) в свойство наименьшей ( верхней границы ).
Упорядоченные поля [ править ]
Если ( F , +, ×) — поле и ≤ — полный порядок на F , то ( F , +, ×, ≤) называется упорядоченным полем тогда и только тогда, когда:
- a ≤ b подразумевает a + c ≤ b + c ;
- 0 ≤ a и 0 ≤ b влечет за собой 0 ≤ a × b .
Оба ( Q , +, ×, ≤) и ( R , +, ×, ≤) являются упорядоченными полями , но ≤ не может быть определено, чтобы сделать ( C , +, ×, ≤) упорядоченным полем , [12] потому что −1 — это квадрат i и поэтому будет положительным.
является упорядоченным полем, Помимо того, что R он также обладает свойством «наименьшая верхняя граница» . Фактически, R можно определить как единственное упорядоченное поле такого качества. [13]
Цепное обозначение [ править ]
Обозначение a < b < c означает « a < b и b < c », из чего по свойству транзитивности, указанному выше, также следует, что a < c . Согласно вышеуказанным законам, можно прибавить или вычесть одно и то же число ко всем трем слагаемым, а также умножить или разделить все три слагаемых на одно и то же ненулевое число и перевернуть все неравенства, если это число отрицательное. Следовательно, например, a < b + e < c эквивалентно a - e < b < c - e .
Это обозначение можно обобщить на любое количество терминов: например, a 1 ⩽ a 2 ⩽ ... ⩽ a n означает, что a i ⩽ a i +1 для i = 1, 2, ..., n − 1. По транзитивности это условие эквивалентно a i ≤ a j для любого 1 ≤ i ≤ j ≤ n .
При решении неравенств с использованием цепной записи можно, а иногда и необходимо, оценивать члены самостоятельно. Например, чтобы решить неравенство 4 x < 2 x + 1 ≤ 3 x + 2, невозможно выделить x в какой-либо одной части неравенства путем сложения или вычитания. Вместо этого неравенства необходимо решать независимо, в результате чего x < 1/2 ≥ ≤ и x −1 соответственно, которые можно объединить в окончательное решение −1 x < 1 / 2 .
Иногда цепные обозначения используются с неравенствами в разных направлениях, и в этом случае смыслом является логическое соединение неравенств между соседними терминами. Например, определяющее условие зигзагообразного ЧУУ записывается как a 1 < a 2 > a 3 < a 4 > a 5 < a 6 > ... . Смешанные цепные обозначения чаще используются с совместимыми отношениями, например <, =, ≤. Например, a < b = c ≤ d означает, что a < b , b = c и c ≤ d . Эта нотация существует в нескольких языках программирования, таких как Python . Напротив, в языках программирования, которые обеспечивают упорядочение по типу результатов сравнения, таких как C , даже однородные цепочки могут иметь совершенно другое значение. [14]
Резкие неравенства [ править ]
Неравенство называется резким , если его нельзя ослабить и при этом в целом сохранить справедливость. Формально универсальное кванторное неравенство φ называется точным, если для любого действительного универсального кванторного неравенства ψ , если выполняется ψ ⇒ φ , то также выполняется ψ ⇔ φ . Например, неравенство ∀ a ∈ R . а 2 ≥ 0 является точным, тогда как неравенство ∀ a ∈ R . а 2 ≥ −1 не является точным. [ нужна ссылка ]
Неравенство между средствами [ править ]
Между средствами существует множество неравенств. Например, для любых положительных чисел a 1 , a 2 , ..., a n мы имеем H ≤ G ≤ A ≤ Q , где они представляют собой следующие средние значения последовательности:
– Шварца Неравенство Коши
Неравенство Коши – Шварца утверждает, что для всех векторов u и v пространства внутреннего произведения верно, что
Силовое неравенство
Степенное неравенство — это неравенство, содержащее члены вида a б , где a и b — действительные положительные числа или выражения переменных. Они часто появляются в упражнениях математических олимпиад .
Примеры:
- Для любого действительного x ,
- Если х > 0 и р > 0, то В пределе p → 0 верхняя и нижняя границы сходятся к ln( x ).
- Если х > 0, то
- Если х > 0, то
- Если x , y , z > 0, то
- Для любых действительных различных чисел a и b ,
- Если x , y > 0 и 0 < p < 1, то
- Если x , y , z > 0, то
- Если а , b > 0, то [15]
- Если а , b > 0, то [16]
- Если a , b , c > 0, то
- Если а , b > 0, то
Известные неравенства [ править ]
Математики часто используют неравенства для определения величин, для которых невозможно легко вычислить точные формулы. Некоторые неравенства используются настолько часто, что имеют названия:
- Неравенство Азумы
- Неравенство Бернулли
- Неравенство Белла
- Неравенство Буля
- Неравенство Коши – Шварца
- Неравенство Чебышева
- Неравенство Чернова
- Неравенство Крамера-Рао
- Неравенство Хефдинга
- Неравенство Гёльдера
- Неравенство средних арифметических и геометрических
- Неравенство Дженсена
- Неравенство Колмогорова
- Неравенство Маркова
- Неравенство Минковского
- Неравенство Несбитта
- Неравенство Педо
- Неравенство Пуанкаре
- Неравенство Самуэльсона
- Sobolev inequality
- Неравенство треугольника
Комплексные числа и неравенства [ править ]
Набор комплексных чисел с его операциями сложения и умножения является полем , но невозможно определить какое-либо отношение ≤ так, чтобы становится упорядоченным полем . Сделать упорядоченное поле , оно должно удовлетворять следующим двум свойствам:
- если a ≤ b , то a + c ≤ b + c ;
- если 0 ≤ a и 0 ≤ b , то 0 ≤ ab .
Поскольку ≤ является полным порядком , для любого числа a либо 0 ≤ a , либо a ≤ 0 (в этом случае первое свойство выше подразумевает, что 0 ≤ − a ). В любом случае 0 ≤ a 2 ; это значит, что я 2 > 0 и 1 2 > 0 ; поэтому −1 > 0 и 1 > 0 , что означает (−1 + 1) > 0; противоречие.
Однако операцию ≤ можно определить так, чтобы она удовлетворяла только первому свойству (а именно: «если a ≤ b , то a + c ≤ b + c »). Иногда лексикографического порядка используется определение :
- a ≤ b , если
- Re( a ) <Re( b ) или
- Re( a ) = Re( b ) и Im( a ) ≤ Im( b )
Легко доказать, что для этого определения из a ⩽ b следует a + c ⩽ b + c .
неравенства Векторные
Отношения неравенства, подобные определенным выше, также могут быть определены для векторов-столбцов . Если мы позволим векторам (имеется в виду, что и , где и действительные числа для ), мы можем определить следующие отношения:
- , если для .
- , если для .
- , если для и .
- , если для .
Аналогичным образом мы можем определить отношения для , , и . Эти обозначения согласуются с обозначениями, использованными Маттиасом Эрготтом в «Многокритериальной оптимизации» (см. «Ссылки»).
Свойство трихотомии (как указано выше ) недопустимо для векторных отношений. Например, когда и , между этими двумя векторами не существует действительного отношения неравенства. Однако для остальных вышеупомянутых свойств существует параллельное свойство для векторных неравенств.
Системы неравенств [ править ]
Системы линейных неравенств можно упростить методом исключения Фурье – Моцкина . [17]
Цилиндрическая алгебраическая декомпозиция — это алгоритм, позволяющий проверить, имеет ли система полиномиальных уравнений и неравенств решения, и, если решения существуют, описать их. Сложность этого алгоритма вдвойне экспоненциальна по количеству переменных. Это активная область исследований по разработке алгоритмов, более эффективных в конкретных случаях.
См. также [ править ]
- Бинарное отношение
- Скобка (математика) для использования аналогичных знаков ‹ и › в качестве скобок.
- Инклюзия (теория множеств)
- Неравенство
- Интервал (математика)
- Список неравенств
- Список неравенств треугольника
- Частично заказанный комплект
- Операторы отношения , используемые в языках программирования для обозначения неравенства.
Ссылки [ править ]
- ^ Jump up to: а б «Определение неравенства (Иллюстрированный математический словарь)» . www.mathsisfun.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
- ^ Халмаги, Елена; Лильедал, Питер. «Неравенства в истории математики: от особенностей к жесткой дисциплине». Материалы ежегодного собрания канадской исследовательской группы по математическому образованию 2012 года .
- ^ «Первоначальное использование символов отношений» . МакТьютор . Университет Сент-Эндрюс, Шотландия.
- ^ Jump up to: а б «Неравенство» . www.learnalberta.ca . Проверено 3 декабря 2019 г.
- ^ Полянин А.Д.; Манжиров А.В. (2006). Справочник по математике для инженеров и ученых . ЦРК Пресс. п. 29. ISBN 978-1-4200-1051-0 . Проверено 19 ноября 2021 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Намного меньше» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Намного большее» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
- ^ Драхман, Брайон К.; Клауд, Майкл Дж. (2006). Неравенства: с приложениями к технике . Springer Science & Business Media. стр. 2–3. ISBN 0-3872-2626-5 .
- ^ «Доказательство неравенства» . www.cs.yale.edu . Проверено 3 декабря 2019 г.
- ^ Симовичи, Дэн А. и Джераба, Чабане (2008). «Частично упорядоченные множества» . Математические инструменты для интеллектуального анализа данных: теория множеств, частичные порядки, комбинаторика . Спрингер. ISBN 9781848002012 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Частично упорядоченное множество» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
- ^ Фельдман, Джоэл (2014). «Поля» (PDF) . math.ubc.ca. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 3 декабря 2019 г.
- ^ Стюарт, Ян (2007). Почему красота — это истина: история симметрии . Хачетт Великобритания. п. 106. ИСБН 978-0-4650-0875-9 .
- ^ Брайан В. Керниган и Деннис М. Ричи (апрель 1988 г.). Язык программирования Си . Серия программного обеспечения Prentice Hall (2-е изд.). Энглвуд Клиффс / Нью-Джерси: Прентис Холл. ISBN 0131103628 . Здесь: Раздел A.7.9 Операторы отношения , стр. 167: Цитата: «a<b<c анализируется как (a<b)<c»
- ^ Лауб, М.; Илани, Ишай (1990). «Е3116». Американский математический ежемесячник . 97 (1): 65–67. дои : 10.2307/2324012 . JSTOR 2324012 .
- ^ Маньяма, С. (2010). «Решение одной гипотезы о неравенствах со степенными экспоненциальными функциями» (PDF) . Австралийский журнал математического анализа и приложений . 7 (2): 1. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
- ^ Гертнер, Бернд; Матушек, Иржи (2006). Понимание и использование линейного программирования . Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-30697-8 .
Источники [ править ]
- Харди Г., Литтлвуд Дж. Э., Полиа Г. (1999). Неравенства . Кембриджская математическая библиотека, издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-05206-8 .
{{cite book}}
: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) - Бекенбах, Э.Ф., Беллман, Р. (1975). Введение в неравенства . Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2 .
{{cite book}}
: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) - Драхман, Байрон К., Клауд, Майкл Дж. (1998). Неравенства: с приложениями к технике . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-98404-6 .
{{cite book}}
: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) - Гриншпан, А.З. (2005), «Общие неравенства, последствия и приложения», Успехи в прикладной математике , 34 (1): 71–100, doi : 10.1016/j.aam.2004.05.001
- Мюррей С. Кламкин. « Неравенства по-быстрому» (PDF) . Математические стратегии . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
- Артур Лоуотер (1982). «Введение в неравенства» . Электронная онлайн-книга в формате PDF.
- Гарольд Шапиро (2005). «Решение математических задач» . Семинар по старым проблемам . Королевский технологический институт.
- «3-й USAMO» . Архивировано из оригинала 3 февраля 2008 г.
- Пачпатте, Б.Г. (2005). Математические неравенства . Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 67 (первое изд.). Амстердам, Нидерланды: Elsevier . ISBN 0-444-51795-2 . ISSN 0924-6509 . МР 2147066 . Збл 1091.26008 .
- Эрготт, Матиас (2005). Многокритериальная оптимизация . Шпрингер-Берлин. ISBN 3-540-21398-8 .
- Стил, Дж. Майкл (2004). Мастер-класс Коши-Шварца: Введение в искусство математических неравенств . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-54677-5 .