Неравенство (математика)

линейного Допустимые области программирования определяются набором неравенств.

В математике неравенство — это отношение, которое осуществляет неравное сравнение между двумя числами или другими математическими выражениями. [1] Чаще всего он используется для сравнения двух чисел на числовой прямой по их размеру. Основными видами неравенства являются меньше и больше .

Обозначения [ править ]

Для обозначения различных видов неравенств используются несколько различных обозначений:

  • Обозначение a < b означает, a меньше b что .
  • Обозначение a > b означает, что a больше , чем b .

В любом случае a не равно b . Эти отношения известны как строгие неравенства . [1] это означает, что a строго меньше или строго больше b . Равенство исключено.

В отличие от строгих неравенств, существуют два типа отношений неравенства, которые не являются строгими:

  • Обозначение a b или a b или a b означает, что a меньше или равно b (или, что то же самое, не более b или не больше b ).
  • Обозначение a b или a b или a b означает, что a больше или равно b (или, что то же самое, по крайней мере b или не меньше b ).

В 17 и 18 веках для обозначения неравенства использовались личные записи или машинописные знаки. [2] Например, в 1670 году Джон Уоллис использовал одну горизонтальную полосу выше, а не ниже < и >.Позже, в 1734 году, ≦ и ≧, известные как «меньше (больше) больше равно» или «меньше (больше) или равно с двойными горизонтальными чертами», впервые появились в Пьера Бугера . работе [3] После этого математики упростили символ Пьера до «меньше (больше) или равно одной горизонтальной черте» (≤), или «меньше (больше) или наклонно равно» (⩽).

Отношение не больше чем можно также представить как символ «больше», разделенный косой чертой «нет». То же самое верно для не менее ,

Обозначение a b означает, что a не равно b ; это неравенство иногда считается формой строгого неравенства. [4] Здесь не говорится, что одно больше другого; для этого даже не требуется, чтобы a и b были членами упорядоченного набора .

В технических науках менее формальное использование обозначений заключается в утверждении, что одна величина «намного больше» другой. [5] обычно на несколько порядков .

  • Обозначение a b означает, что a намного меньше b . [6]
  • Обозначение a b означает, что a намного больше b . [7]

Это означает, что меньшим значением можно пренебречь с небольшим влиянием на точность приближения ( например, в случае ультрарелятивистского предела в физике).

Во всех вышеперечисленных случаях любые два символа, зеркально отражающие друг друга, симметричны; a < b и b > a эквивалентны и т. д.

Свойства на числовой прямой [ править ]

Неравенства регулируются следующими свойствами . Все эти свойства также сохраняются, если все нестрогие неравенства (≤ и ≥) заменить соответствующими строгими неравенствами (< и >) и — в случае применения функции — монотонные функции ограничиваются строго монотонными функциями .

Конверс [ править ]

Отношения ≤ и ≥ являются обратными друг другу , что означает, что для любых действительных чисел a и b :

a b и b a эквивалентны.

Транзитивность [ править ]

Транзитивное свойство неравенства гласит, что для любых действительных чисел a , b , c : [8]

Если a b и b c , то a c .

Если любая из посылок представляет собой строгое неравенство, то вывод представляет собой строгое неравенство:

Если a b и b < c , то a < c .
Если a < b и b c , то a < c .

Сложение и вычитание [ править ]

Если x < y , то x + a < y + a .

Общая константа c может быть добавлена ​​или вычтена из обеих частей неравенства. [4] Итак, для любых действительных чисел a , b , c :

Если a b , то a + c b + c и a - c b - c .

Другими словами, отношение неравенства сохраняется при сложении (или вычитании), а действительные числа представляют собой упорядоченную группу при сложении.

Умножение и деление [ править ]

Если x < y и a > 0, то ax < ay .
Если x < y и a < 0, то ax > ay .

Свойства, касающиеся умножения и деления, утверждают, что для любых действительных чисел a , b и ненулевых c :

Если a b и c > 0, то ac bc и a / c b / c .
Если a b и c < 0, то ac bc и a / c b / c .

Другими словами, отношение неравенства сохраняется при умножении и делении с положительной константой, но меняется на противоположное, когда используется отрицательная константа. В более общем смысле это относится к упорядоченному полю . Дополнительную информацию см. в § Упорядоченные поля .

Аддитивное обратное [ править ]

Свойство аддитивной инверсии гласит, что для любых действительных чисел a и b :

Если a b , то − a ≥ − b .

Мультипликативное обратное [ править ]

Если оба числа положительны, то отношение неравенства между мультипликативными обратными числами противоположно отношению неравенства между исходными числами. Более конкретно, для любых ненулевых действительных чисел a и b , которые оба являются положительными (или оба отрицательными ):

Если a b , то 1 / а 1 / б .

Все случаи знаков a и b также можно записать в цепной записи следующим образом:

Если 0 < a b , то 1 / а 1 / б > 0.
Если a b < 0, то 0 > 1 / а 1 / б .
Если a < 0 < b , то 1 / а <0 < 1 / б .

Применение функции к обеим сторонам [ править ]

График y = ln x

Любая монотонно возрастающая функция по определению [9] может применяться к обеим частям неравенства без нарушения отношения неравенства (при условии, что оба выражения находятся в области определения этой функции). Однако применение монотонно убывающей функции к обеим частям неравенства означает, что соотношение неравенства изменится на противоположное. Правила аддитивного обратного и мультипликативного обратного для положительных чисел являются примерами применения монотонно убывающей функции.

Если неравенство строгое ( a < b , a > b ) и функция строго монотонна, то неравенство остается строгим. Если только одно из этих условий является строгим, то полученное неравенство является нестрогим. Фактически, правила аддитивных и мультипликативных обратных операций являются примерами применения строго монотонно убывающей функции.

Вот несколько примеров этого правила:

  • Возведение обеих частей неравенства в степень n > 0 (эквивалентно - n <0), когда a и b - положительные действительные числа:
    0 ≤ а б ⇔ 0 ≤ а н б н .
    0 ≤ а б а п б п ≥ 0.
  • Берем натуральный логарифм с обеих сторон неравенства, когда a и b — положительные действительные числа:
    0 < а б ⇔ ln( а ) ≤ ln( б ).
    0 < а < б ⇔ ln( а ) < ln( б ).
    (это верно, поскольку натуральный логарифм является строго возрастающей функцией.)

Формальные определения и обобщения [ править ]

(Нестрогий) частичный порядок — это бинарное отношение ≤ над множеством P , которое является рефлексивным , антисимметричным и транзитивным . [10] То есть для всех a , b и c в P он должен удовлетворять трем следующим условиям:

  1. a a ( рефлексивность )
  2. если a b и b a , то a = b ( антисимметрия )
  3. если a b и b c , то a c ( транзитивность )

Множество с частичным порядком называется частично упорядоченным множеством . [11] Это самые основные аксиомы, которым должен удовлетворять любой порядок. Другие аксиомы, существующие для других определений порядков на множестве P, включают:

  1. каждых a и b в P a b Для или b a ( общий порядок ).
  2. Для всех a и b в P, для которых a < b , существует c в P такой, что a < c < b ( плотный порядок ).
  3. Каждое непустое подмножество P P с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу (супремум) в свойство наименьшей ( верхней границы ).

Упорядоченные поля [ править ]

Если ( F , +, ×) — поле и ≤ — полный порядок на F , то ( F , +, ×, ≤) называется упорядоченным полем тогда и только тогда, когда:

  • a b подразумевает a + c b + c ;
  • 0 ≤ a и 0 ≤ b влечет за собой 0 ≤ a × b .

Оба ( Q , +, ×, ≤) и ( R , +, ×, ≤) являются упорядоченными полями , но ≤ не может быть определено, чтобы сделать ( C , +, ×, ≤) упорядоченным полем , [12] потому что −1 — это квадрат i и поэтому будет положительным.

является упорядоченным полем, Помимо того, что R он также обладает свойством «наименьшая верхняя граница» . Фактически, R можно определить как единственное упорядоченное поле такого качества. [13]

Цепное обозначение [ править ]

Обозначение a < b < c означает « a < b и b < c », из чего по свойству транзитивности, указанному выше, также следует, что a < c . Согласно вышеуказанным законам, можно прибавить или вычесть одно и то же число ко всем трем слагаемым, а также умножить или разделить все три слагаемых на одно и то же ненулевое число и перевернуть все неравенства, если это число отрицательное. Следовательно, например, a < b + e < c эквивалентно a - e < b < c - e .

Это обозначение можно обобщить на любое количество терминов: например, a 1 a 2 ⩽ ... ⩽ a n означает, что a i a i +1 для i = 1, 2, ..., n − 1. По транзитивности это условие эквивалентно a i a j для любого 1 ≤ i j n .

При решении неравенств с использованием цепной записи можно, а иногда и необходимо, оценивать члены самостоятельно. Например, чтобы решить неравенство 4 x < 2 x + 1 ≤ 3 x + 2, невозможно выделить x в какой-либо одной части неравенства путем сложения или вычитания. Вместо этого неравенства необходимо решать независимо, в результате чего x < 1/2 и x −1 соответственно, которые можно объединить в окончательное решение −1 x < 1 / 2 .

Иногда цепные обозначения используются с неравенствами в разных направлениях, и в этом случае смыслом является логическое соединение неравенств между соседними терминами. Например, определяющее условие зигзагообразного ЧУУ записывается как a 1 < a 2 > a 3 < a 4 > a 5 < a 6 > ... . Смешанные цепные обозначения чаще используются с совместимыми отношениями, например <, =, ≤. Например, a < b = c d означает, что a < b , b = c и c d . Эта нотация существует в нескольких языках программирования, таких как Python . Напротив, в языках программирования, которые обеспечивают упорядочение по типу результатов сравнения, таких как C , даже однородные цепочки могут иметь совершенно другое значение. [14]

Резкие неравенства [ править ]

Неравенство называется резким , если его нельзя ослабить и при этом в целом сохранить справедливость. Формально универсальное кванторное неравенство φ называется точным, если для любого действительного универсального кванторного неравенства ψ , если выполняется ψ φ , то также выполняется ψ φ . Например, неравенство a R . а 2 ≥ 0 является точным, тогда как неравенство a R . а 2 ≥ −1 не является точным. [ нужна ссылка ]

Неравенство между средствами [ править ]

Между средствами существует множество неравенств. Например, для любых положительных чисел a 1 , a 2 , ..., a n мы имеем H G A Q , где они представляют собой следующие средние значения последовательности:

Шварца Неравенство Коши

Неравенство Коши – Шварца утверждает, что для всех векторов u и v пространства внутреннего произведения верно, что

где это внутренний продукт . Примеры внутренних продуктов включают реальное и сложное скалярное произведение ; В евклидовом пространстве R н со стандартным скалярным продуктом неравенство Коши – Шварца имеет вид

Силовое неравенство

Степенное неравенство — это неравенство, содержащее члены вида a б , где a и b — действительные положительные числа или выражения переменных. Они часто появляются в упражнениях математических олимпиад .

Примеры:

  • Для любого действительного x ,
  • Если х > 0 и р > 0, то
    В пределе p → 0 верхняя и нижняя границы сходятся к ln( x ).
  • Если х > 0, то
  • Если х > 0, то
  • Если x , y , z > 0, то
  • Для любых действительных различных чисел a и b ,
  • Если x , y > 0 и 0 < p < 1, то
  • Если x , y , z > 0, то
  • Если а , b > 0, то [15]
  • Если а , b > 0, то [16]
  • Если a , b , c > 0, то
  • Если а , b > 0, то

Известные неравенства [ править ]

Математики часто используют неравенства для определения величин, для которых невозможно легко вычислить точные формулы. Некоторые неравенства используются настолько часто, что имеют названия:

Комплексные числа и неравенства [ править ]

Набор комплексных чисел с его операциями сложения и умножения является полем , но невозможно определить какое-либо отношение так, чтобы становится упорядоченным полем . Сделать упорядоченное поле , оно должно удовлетворять следующим двум свойствам:

  • если a b , то a + c b + c ;
  • если 0 ≤ a и 0 ≤ b , то 0 ≤ ab .

Поскольку ≤ является полным порядком , для любого числа a либо 0 ≤ a , либо a ≤ 0 (в этом случае первое свойство выше подразумевает, что 0 ≤ − a ). В любом случае 0 ≤ a 2 ; это значит, что я 2 > 0 и 1 2 > 0 ; поэтому −1 > 0 и 1 > 0 , что означает (−1 + 1) > 0; противоречие.

Однако операцию ≤ можно определить так, чтобы она удовлетворяла только первому свойству (а именно: «если a b , то a + c b + c »). Иногда лексикографического порядка используется определение :

  • a b , если
    • Re( a ) <Re( b ) или
    • Re( a ) = Re( b ) и Im( a ) ≤ Im( b )

Легко доказать, что для этого определения из a b следует a + c b + c .

неравенства Векторные

Отношения неравенства, подобные определенным выше, также могут быть определены для векторов-столбцов . Если мы позволим векторам (имеется в виду, что и , где и действительные числа для ), мы можем определить следующие отношения:

  • , если для .
  • , если для .
  • , если для и .
  • , если для .

Аналогичным образом мы можем определить отношения для , , и . Эти обозначения согласуются с обозначениями, использованными Маттиасом Эрготтом в «Многокритериальной оптимизации» (см. «Ссылки»).

Свойство трихотомии (как указано выше ) недопустимо для векторных отношений. Например, когда и , между этими двумя векторами не существует действительного отношения неравенства. Однако для остальных вышеупомянутых свойств существует параллельное свойство для векторных неравенств.

Системы неравенств [ править ]

Системы линейных неравенств можно упростить методом исключения Фурье – Моцкина . [17]

Цилиндрическая алгебраическая декомпозиция — это алгоритм, позволяющий проверить, имеет ли система полиномиальных уравнений и неравенств решения, и, если решения существуют, описать их. Сложность этого алгоритма вдвойне экспоненциальна по количеству переменных. Это активная область исследований по разработке алгоритмов, более эффективных в конкретных случаях.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Jump up to: а б «Определение неравенства (Иллюстрированный математический словарь)» . www.mathsisfun.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
  2. ^ Халмаги, Елена; Лильедал, Питер. «Неравенства в истории математики: от особенностей к жесткой дисциплине». Материалы ежегодного собрания канадской исследовательской группы по математическому образованию 2012 года .
  3. ^ «Первоначальное использование символов отношений» . МакТьютор . Университет Сент-Эндрюс, Шотландия.
  4. ^ Jump up to: а б «Неравенство» . www.learnalberta.ca . Проверено 3 декабря 2019 г.
  5. ^ Полянин А.Д.; Манжиров А.В. (2006). Справочник по математике для инженеров и ученых . ЦРК Пресс. п. 29. ISBN  978-1-4200-1051-0 . Проверено 19 ноября 2021 г.
  6. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Намного меньше» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
  7. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Намного большее» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
  8. ^ Драхман, Брайон К.; Клауд, Майкл Дж. (2006). Неравенства: с приложениями к технике . Springer Science & Business Media. стр. 2–3. ISBN  0-3872-2626-5 .
  9. ^ «Доказательство неравенства» . www.cs.yale.edu . Проверено 3 декабря 2019 г.
  10. ^ Симовичи, Дэн А. и Джераба, Чабане (2008). «Частично упорядоченные множества» . Математические инструменты для интеллектуального анализа данных: теория множеств, частичные порядки, комбинаторика . Спрингер. ISBN  9781848002012 .
  11. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Частично упорядоченное множество» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
  12. ^ Фельдман, Джоэл (2014). «Поля» (PDF) . math.ubc.ca. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 3 декабря 2019 г.
  13. ^ Стюарт, Ян (2007). Почему красота — это истина: история симметрии . Хачетт Великобритания. п. 106. ИСБН  978-0-4650-0875-9 .
  14. ^ Брайан В. Керниган и Деннис М. Ричи (апрель 1988 г.). Язык программирования Си . Серия программного обеспечения Prentice Hall (2-е изд.). Энглвуд Клиффс / Нью-Джерси: Прентис Холл. ISBN  0131103628 . Здесь: Раздел A.7.9 Операторы отношения , стр. 167: Цитата: «a<b<c анализируется как (a<b)<c»
  15. ^ Лауб, М.; Илани, Ишай (1990). «Е3116». Американский математический ежемесячник . 97 (1): 65–67. дои : 10.2307/2324012 . JSTOR   2324012 .
  16. ^ Маньяма, С. (2010). «Решение одной гипотезы о неравенствах со степенными экспоненциальными функциями» (PDF) . Австралийский журнал математического анализа и приложений . 7 (2): 1. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
  17. ^ Гертнер, Бернд; Матушек, Иржи (2006). Понимание и использование линейного программирования . Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-30697-8 .

Источники [ править ]

Внешние ссылки [ править ]