Неравенство Самуэльсона

В статистике , неравенство Самуэльсона названное в честь экономиста Пола Самуэльсона , также называемое неравенством Лагерра – Самуэльсона , после того, как математик Эдмон Лагерр заявил, что каждый из любого набора x ₁ , ..., x _n находится в пределах √ n - 1 неисправленных выборочных стандартных отклонений их выборочного среднего значения.

Формулировка неравенства

Если мы позволим

${\overline {x}}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}$

быть выборочным средним и

$s={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}$

быть стандартным отклонением выборки, тогда

${\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}}\qquad {\text{for }}j=1,\dots ,n.$

Равенство сохраняется слева (или справа) для $x_{j}$ тогда и только тогда, когда все n − 1 $x_{i}$это кроме $x_{j}$ равны между собой и больше (меньше), чем $x_{j}.$

Если вместо этого вы определите $s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}$ тогда неравенство ${\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}}$ все еще применяется и может быть немного ужесточен, чтобы ${\overline {x}}-s{\tfrac {n-1}{\sqrt {n}}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\tfrac {n-1}{\sqrt {n}}}.$

Сравнение с неравенством Чебышева

Основная статья: неравенство Чебышева § неравенство Самуэльсона

Неравенство Чебышева помещает определенную часть данных в определенные границы, а неравенство Самуэльсона помещает все точки данных в определенные границы.

На границы, заданные неравенством Чебышева, количество точек данных не влияет, тогда как для неравенства Самуэльсона границы ослабляются по мере увеличения размера выборки. Таким образом, для достаточно больших наборов данных неравенство Чебышева более полезно.

Приложения

Неравенство Самуэльсона можно рассматривать как причину, по которой стьюдентизацию остатков следует выполнять извне .

Связь с полиномами

Самуэльсон был не первым, кто описал эту взаимосвязь: первым, вероятно, был Лагерр в 1880 году при исследовании корней (нулей) многочленов .

Рассмотрим полином, у которого все корни действительны:

$a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0$

Без ограничения общности пусть $a_{0}=1$ и пусть

$t_{1}=\sum x_{i}$ и $t_{2}=\sum x_{i}^{2}$

Затем

$a_{1}=-\sum x_{i}=-t_{1}$

и

$a_{2}=\sum x_{i}x_{j}={\frac {t_{1}^{2}-t_{2}}{2}}\qquad {\text{ where }}i<j$

По коэффициентам

$t_{2}=a_{1}^{2}-2a_{2}$

Лагерр показал, что корни этого многочлена ограничены

$-a_{1}/n\pm b{\sqrt {n-1}}$

где

$b={\frac {\sqrt {nt_{2}-t_{1}^{2}}}{n}}={\frac {\sqrt {na_{1}^{2}-a_{1}^{2}-2na_{2}}}{n}}$

Осмотр показывает, что $-{\tfrac {a_{1}}{n}}$ — среднее значение корней, а b — стандартное отклонение корней.

Лагерр не заметил этой связи со средними значениями и стандартными отклонениями корней, его больше интересовали сами границы. Это соотношение позволяет быстро оценить границы корней и может быть полезно при определении их местоположения.

Когда коэффициенты $a_{1}$ и $a_{2}$ оба равны нулю, невозможно получить информацию о расположении корней, поскольку не все корни действительны (как видно из правила знаков Декарта ), если только постоянный член также не равен нулю.