Правило знаков Декарта

В математике , правило знаков Декарта описанное Рене Декартом в его Геометрии» , подсчитывает корни многочлена « , исследуя изменения знаков в его коэффициентах. Количество положительных действительных корней не превышает количества изменений знака в последовательности коэффициентов многочлена (без учета нулевых коэффициентов), а разница между количеством корней и количеством изменений знака всегда четная. В частности, когда число смен знака равно нулю или одному, то положительных корней ровно ноль или один.

Дробно -линейное преобразование переменной позволяет использовать правило знаков для подсчета корней в любом интервале. Это основная идея теоремы Будана и теоремы Будана-Фурье . Повторное деление интервала на два приводит к образованию набора непересекающихся интервалов, каждый из которых содержит один корень, и вместе перечисляются все корни. Этот подход сегодня используется в самых быстрых алгоритмах компьютерного вычисления действительных корней многочленов (см. Изоляция вещественного корня ).

Сам Декарт использовал преобразование $x \to - x$ для использования своего правила получения информации о количестве отрицательных корней.

Правило знаков Декарта

Положительные корни

Правило гласит, что если ненулевые члены многочлена с одной переменной с действительными коэффициентами упорядочены по убыванию переменной степени, то количество положительных корней многочлена либо равно количеству смен знака между последовательными (ненулевыми) коэффициентами, либо меньше его на четное число. Корень кратности $k$ считается $k$ корнем.

В частности, если количество смен знака равно нулю или одному, количество положительных корней равно числу смен знака.

Отрицательные корни

Как следствие правила, количество отрицательных корней - это количество смен знака после умножения коэффициентов членов нечетной степени на -1 или меньше его на четное число. Эта процедура эквивалентна замене самой переменной отрицанием переменной. Например, отрицательные корни $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ являются положительными корнями

a(-x)^{3}+b(-x)^{2}+c(-x)+d=-ax^{3}+bx^{2}-cx+d.

Таким образом, применение правила знаков Декарта к этому многочлену дает максимальное количество отрицательных корней исходного многочлена.

Пример: кубический полином

Полином

f(x)=+x^{3}+x^{2}-x-1

имеет одну смену знака между вторым и третьим членами, так как последовательность знаков равна $(+, +, -, -)$ . Следовательно, оно имеет ровно один положительный корень. Чтобы найти число отрицательных корней, измените знаки коэффициентов слагаемых с нечетными показателями, т. е. примените к многочлену правило знаков Декарта $f(-x)=-x^{3}+x^{2}+x-1.$

Этот многочлен имеет две смены знака, поскольку последовательность знаков равна $(-, +, +, -)$ , что означает, что этот второй многочлен имеет два или ноль положительных корней; таким образом, исходный полином имеет два или ноль отрицательных корней.

Фактически, факторизация первого многочлена равна

f(x)=(x+1)^{2}(x-1),

поэтому корни равны -1 (дважды) и +1 (один раз).

Факторизация второго многочлена равна

f(-x)=-(x-1)^{2}(x+1).

Итак, здесь корни равны +1 (дважды) и −1 (один раз), что является отрицанием корней исходного многочлена.

Доказательство

Ниже приводится приблизительная схема доказательства. ^{[ 1 ]} Сначала несколько предварительных определений:

Напишите полином $f(x)$ как $\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{b_{i}}$ где у нас есть целые степени $0\leq b_{0}<b_{1}<\cdots <b_{n}$ и ненулевые коэффициенты $a_{i}\neq 0$ .

Позволять $V(f)$ — число смены знака коэффициентов $f$ , то есть количество $k$ такой, что $a_{k}a_{k+1}<0$ .

Позволять $Z(f)$ — количество строго положительных корней (с учетом кратности).

С их помощью мы можем формально сформулировать правило Декарта следующим образом:

Теорема . Число строго положительных корней (с учетом кратности) $f$ равно числу смен знака коэффициентов при $f$ , минус неотрицательное четное число.

Если $b_{0}>0$ , то мы можем разделить полином на $x^{b_{0}}$ , что не изменило бы количество строго положительных корней. Таким образом, WLOG, пусть $b_{0}=0$ .

Лемма — Если $a_{n}a_{0}>0$ , затем $Z(f)$ четный. Если $a_{0}a_{n}<0$ , затем $Z(f)$ странно.

Доказательство леммы

$f(x)$ начинается в $f(0)=a_{0}>0$ и заканчивается в $f(+\infty )=+\infty >0$ , поэтому он должен пересечь положительную ось X четное количество раз (каждый из которых дает нечетное количество корней) и просмотреть (не пересекая) положительную ось X произвольное количество раз (каждый из которых дает четное число корней). количество корней).

Другой случай аналогичен.

Доказательство основной теоремы

Из леммы следует, что $Z(f)$ и $V(f)$ всегда иметь одинаковую четность. Осталось показать $Z(f)\leq V(f)$ .

Мы вводим $n$ . Если $n=0,1$ , то это очевидно. Теперь предположим $n\geq 2$ .

По предположению индукции, $Z(f')=V(f')-2s$ для некоторого целого числа $s\geq 0$ .

По теореме Ролля существует хотя бы один положительный корень из $f'$ между любыми двумя различными положительными корнями $f$ . Также любой $k$ -кратный положительный корень из $f$ это $k-1$ -кратный корень из $f'$ . Таким образом $Z(f')\geq Z(f)-1$ .

Если $a_{0}a_{1}>0$ , затем $V(f')=V(f)$ , еще $V(f')=V(f)-1$ . В обоих случаях $V(f')\leq V(f)$

Вместе у нас есть

$Z(f)\leq Z(f')+1=V(f')-2s+1\leq V(f)-2s+1\leq V(f)+1$ Далее, поскольку $Z(f)$ и $V(f)$ имеем тот же паритет, что и мы $Z(f)\leq V(f)$ .

Нереальные корни

Любой полином n- й степени имеет ровно n корней в комплексной плоскости , если считать по кратности. Итак, если f ( x ) — многочлен с действительными коэффициентами, не имеющий корня в точке 0 (то есть многочлен с ненулевым постоянным членом), то минимальное количество невещественных корней равно

n-(p+q),

где p обозначает максимальное количество положительных корней, q обозначает максимальное количество отрицательных корней (оба из которых можно найти с помощью правила знаков Декарта), а n обозначает степень многочлена.

Пример: некоторые нулевые коэффициенты и невещественные корни

Полином

f(x)=x^{3}-1,

имеет одну смену знака; поэтому максимальное количество положительных действительных корней равно одному. Как

f(-x)=-x^{3}-1,

не меняет знак, исходный полином не имеет отрицательных действительных корней. Таким образом, минимальное количество невещественных корней равно

3-(1+0)=2.

Поскольку невещественные корни многочлена с вещественными коэффициентами должны входить в сопряженные пары, это означает, что $x 3 - 1$ имеет ровно два невещественных корня и один действительный корень, который положителен.

Особый случай

Вычитание из максимального числа положительных корней только кратных 2 происходит потому, что многочлен может иметь невещественные корни, которые всегда идут парами, поскольку правило применяется к многочленам, коэффициенты которых действительны. Таким образом, если известно, что многочлен имеет все действительные корни, это правило позволяет найти точное количество положительных и отрицательных корней. Поскольку кратность нуля как корня легко определить, в этом случае можно определить знак всех корней.

Обобщения

Если вещественный многочлен P имеет k вещественных положительных корней, считая кратно, то для каждого a > 0 имеется не менее k перемен знака в последовательности коэффициентов ряда Тейлора функции e ^топорП ( х ). При достаточно большом a ровно k . таких перемен знака ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

В 1970-е годы Аскольд Хованский разработал теорию малочленов , обобщающую правило Декарта. ^{[ 4 ]} Правило знаков можно рассматривать как утверждение, что количество вещественных корней многочлена зависит от сложности многочлена и что эта сложность пропорциональна количеству имеющихся в нем мономов, а не его степени. Хованский показал, что это справедливо не только для многочленов, но и для алгебраических комбинаций многих трансцендентных функций , так называемых функций Пфаффа .

См. также

Теорема Штурма - подсчет корней многочлена на интервале
Теорема о рациональном корне - Связь между рациональными корнями многочлена и его крайними коэффициентами.
Геометрические свойства корней многочлена - Геометрия расположения корней многочлена
Теорема Гаусса – Лукаса - Геометрическая связь между корнями многочлена и корнями его производной.

Примечания

^ Ван, Сяошэнь (июнь – июль 2004 г.). «Простое доказательство правила знаков Декарта» . Американский математический ежемесячник . 111 (6): 525. дои : 10.2307/4145072 . ISSN 0002-9890 .
^ Д. Р. Кертисс, Недавние расширения правила знаков Декарта , Анналы математики., Vol. 19, № 4, 1918, стр. 251–278.
^ Владимир П. Костов, Отображение, определяемое композицией Шура – Сегё , Comptes Rendus Acad. булг. наук. том 63, № 7, 2010 г., стр. 943–952.
^ Хованский, А.Г. (1991). Малономиалы . Переводы математических монографий. Перевод с русского Смилки Здравковской. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 88. ИСБН 0-8218-4547-0 . Збл 0728.12002 .

Внешние ссылки

Эта статья включает в себя материал из правила знаков Декарта на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Правило знаков Декарта – доказательство правила
Правило знаков Декарта – основное объяснение

[1] Ван, Сяошэнь (июнь – июль 2004 г.). «Простое доказательство правила знаков Декарта» . Американский математический ежемесячник . 111 (6): 525. дои : 10.2307/4145072 . ISSN 0002-9890 .

[2] Д. Р. Кертисс, Недавние расширения правила знаков Декарта , Анналы математики., Vol. 19, № 4, 1918, стр. 251–278.

[3] Владимир П. Костов, Отображение, определяемое композицией Шура – Сегё , Comptes Rendus Acad. булг. наук. том 63, № 7, 2010 г., стр. 943–952.

[4] Хованский, А.Г. (1991). Малономиалы . Переводы математических монографий. Перевод с русского Смилки Здравковской. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 88. ИСБН 0-8218-4547-0 . Збл 0728.12002 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]