Теорема о рациональном корне

В алгебре теорема о рациональном корне (или тест на рациональный корень , теорема о рациональном нуле , тест о рациональном нуле или $p / q$ теорема ) устанавливает ограничение на рациональные решения полиномиального уравнения.

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0

с целыми коэффициентами

a_{i}\in \mathbb {Z}

и

a_{0},a_{n}\neq 0

. Решения уравнения также называются корнями или нулями многочлена в левой части.

Теорема утверждает, что каждое рациональное решение $x = п ⁄ q$ , записанный в самых простых терминах, так что $p$ и $q$ являются относительно простыми , удовлетворяет:

$p$ является целым множителем постоянного члена $a 0$ , и
$q$ — целочисленный множитель старшего коэффициента $a n$ .

Теорема о рациональном корне является частным случаем (для одного линейного фактора) леммы Гаусса о факторизации многочленов. Теорема об интегральном корне когда старшим коэффициентом является $n — это частный случай теоремы о рациональном корне , = 1$ .

Приложение [ править ]

Теорема используется для нахождения всех рациональных корней многочлена, если таковые имеются. Он дает конечное число возможных дробей, которые можно проверить, являются ли они корнями. рациональный корень $x = r$ Если найден $, линейный многочлен (x - r)$ можно вынести из многочлена с помощью деления полинома в длину , в результате чего получается многочлен более низкой степени, корни которого также являются корнями исходного многочлена.

Кубическое уравнение [ править ]

Общее кубическое уравнение

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

с целыми коэффициентами имеет три решения на комплексной плоскости . Если тест на рациональный корень не находит рациональных решений, то единственный способ выразить решения алгебраически — использовать кубические корни . Но если тест находит рациональное решение

r

, то вынесение на фактор

(x - r)

оставляет квадратный многочлен , два корня которого, найденные с помощью квадратичной формулы , являются оставшимися двумя корнями кубического числа, избегая кубических корней.

Доказательства [ править ]

Элементарное доказательство [ править ]

Позволять $P(x)\ =\ a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ с $a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {Z} .$

Предположим, $P (p / q) = 0$ для некоторых взаимно простых $p, q \in ℤ$ :

P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.

Чтобы очистить знаменатели, умножьте обе части на $q. н$ :

a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.

Сдвиг $члена a 0$ в правую часть и вынесение $p$ в левую часть дает:

p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.

Таким образом, $p$ делит $a 0 q н$ . Но $p$ взаимно просто с $q$ и, следовательно, с $q н$ , поэтому по лемме Евклида $p$ должен разделить оставшийся множитель $a 0$ .

С другой стороны, сдвиг члена $n в$ правую часть и вынесение $q$ в левую часть дает:

q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}.

как и раньше, следует, что $q$ делит $n Рассуждая так же ,$ . ^[1]

Гаусса с Доказательство использованием леммы

Если существует нетривиальный множитель, делящий все коэффициенты многочлена, то можно разделить на наибольший общий делитель коэффициентов, чтобы получить примитивный многочлен в смысле леммы Гаусса ; это не меняет набора рациональных корней, а лишь усиливает условия делимости. Эта лемма гласит, что если полиномиал факторизуется в $Q [X]$ , то он также факторизуется в $Z [X]$ как произведение примитивных многочленов. Теперь любой рациональный корень $p / q$ соответствует множителю степени 1 в $Q [X]$ многочлена, и его примитивным представителем является тогда $qx - p$ , предполагая, что $p$ и $q$ взаимно просты. Но любое кратное $Z [X]$ в $qx - p$ имеет старший член, делящийся на $q$ , и постоянный член, делящийся на $p$ , что и доказывает утверждение. Этот аргумент показывает, что в более общем смысле можно предположить, что любой неприводимый фактор $P$ имеет целые коэффициенты, а также ведущие и постоянные коэффициенты, делящие соответствующие коэффициенты $P$ .

Примеры [ править ]

Сначала [ править ]

В полиноме

2x^{3}+x-1,

любой полностью уменьшенный рациональный корень должен иметь числитель, который делится на 1, и знаменатель, который делится на 2. Следовательно, единственными возможными рациональными корнями являются ±1/2 и ±1; поскольку ни один из них не приравнивает полином к нулю, он не имеет рациональных корней.

Второй [ править ]

В полиноме

x^{3}-7x+6

единственные возможные рациональные корни будут иметь числитель, делящий 6, и знаменатель, делящий 1, что ограничивает возможности ±1, ±2, ±3 и ±6. Из них 1, 2 и –3 приравнивают многочлен к нулю и, следовательно, являются его рациональными корнями (фактически это единственные корни, поскольку кубический многочлен имеет только три корня).

Третий [ править ]

Каждый рациональный корень многочлена

3x^{3}-5x^{2}+5x-2

должно быть среди чисел

\pm {\tfrac {1,2}{1,3}}=\pm \left\{1,2,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}}\right\}.

Эти 8 кандидатов на корень

x = r

можно проверить, вычислив

P (r)

, например, используя метод Хорнера . Оказывается, существует ровно один с

P (r) = 0

.

Этот процесс можно сделать более эффективным: если $P (r) \neq 0$ , его можно использовать для сокращения списка оставшихся кандидатов. ^[2]Например, $x = 1$ не работает, так как $P (1) = 1$ . Замена $x = 1 + t$ дает полином от $t$ с постоянным членом $P (1) = 1$ , а коэффициент при $t 3$ остается таким же, как коэффициент при $x 3$ . Таким образом, применение теоремы о рациональном корне дает возможные корни $t=\pm {\tfrac {1}{1,3}}$ , так что

x=1+t=2,0,{\tfrac {4}{3}},{\tfrac {2}{3}}.

Истинные корни должны встречаться в обоих списках, поэтому список кандидатов на рациональные корни сократился до $x = 2$ и $x = 2/3$ .

Если $найдено k \geq 1$ рациональных корней, метод Хорнера также даст многочлен степени $n - k$ , корни которого вместе с рациональными корнями являются в точности корнями исходного многочлена. Если ни один из кандидатов не является решением, не может быть рационального решения.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Арнольд, Д.; Арнольд, Г. (1993). Четырехсекционная математика . Эдвард Арнольд. стр. 120–121. ISBN 0-340-54335-3 .
^ Кинг, Джереми Д. (ноябрь 2006 г.). «Целочисленные корни многочленов» . Математический вестник . 90 : 455–456. дои : 10.1017/S0025557200180295 .

Ссылки [ править ]

Миллер, Чарльз Д.; Лиал, Маргарет Л.; Шнайдер, Дэвид И. (1990). Основы студенческой алгебры (3-е изд.). Скотт и Форесман/Литтл и Браун Высшее образование. стр. 100-1 216–221. ISBN 0-673-38638-4 .
Джонс, Филипп С.; Бедьен, Джек Д. (1998). Исторические корни элементарной математики . Публикации Dover Courier. стр. 116–117. ISBN 0-486-25563-8 .
Ларсон, Рон (2007). Исчисление: прикладной подход . Cengage Обучение. стр. 23–24. ISBN 978-0-618-95825-2 .

Внешние ссылки [ править ]

[1] Арнольд, Д.; Арнольд, Г. (1993). Четырехсекционная математика . Эдвард Арнольд. стр. 120–121. ISBN 0-340-54335-3 .

[2] Кинг, Джереми Д. (ноябрь 2006 г.). «Целочисленные корни многочленов» . Математический вестник . 90 : 455–456. дои : 10.1017/S0025557200180295 .

[1]

[2]