Основная теорема алгебры

Не путать с Фундаментальной теоремой арифметики или Фундаментальной теоремой линейной алгебры .

Основная теорема алгебры , также называемая теоремой Даламбера. или теорема Даламбера–Гаусса , утверждает, что каждый непостоянный полином переменной с одной и комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень . Сюда входят многочлены с действительными коэффициентами, поскольку каждое действительное число представляет собой комплексное число, мнимая часть которого равна нулю.

Эквивалентно (по определению) теорема утверждает, что поле комплексных чисел замкнуто алгебраически .

Теорема также формулируется следующим образом: каждый ненулевой полином с одной переменной степени n с комплексными коэффициентами имеет, считая с кратностью , ровно n комплексных корней. Эквивалентность двух утверждений можно доказать с помощью последовательного полиномиального деления .

Несмотря на название, чисто алгебраического доказательства теоремы не существует, поскольку любое доказательство должно использовать некоторую форму аналитической полноты действительных чисел , которая не является алгебраическим понятием . Кроме того, это не является фундаментальным для современной алгебры ; оно было названо, когда алгебра была синонимом теории уравнений .

История

Питер Рот в своей книге «Философская арифметика» (опубликованной в 1608 году в Нюрнберге Иоганном Ланценбергером): писал, что полиномиальное уравнение степени n (с действительными коэффициентами) может иметь n решений. Альбер Жирар в своей книге «Новое изобретение в алгебре» (опубликованной в 1629 году) утверждал, что полиномиальное уравнение степени n имеет n решений, но не утверждал, что они должны быть действительными числами. Более того, он добавил, что его утверждение справедливо, «если уравнение не является неполным», под этим он имел в виду, что ни один коэффициент не равен 0. Однако, когда он подробно объясняет, что он имеет в виду, становится ясно, что он действительно считает, что его утверждение всегда правда; например, он показывает, что уравнение $x^{4}=4x-3,$ хотя и неполный, имеет четыре решения (с учетом кратностей): 1 (дважды), $-1+i{\sqrt {2}},$ и $-1-i{\sqrt {2}}.$

Как будет еще раз упомянуто ниже, из основной теоремы алгебры следует, что всякий непостоянный многочлен с вещественными коэффициентами можно записать в виде произведения многочленов с вещественными коэффициентами, степени которых равны либо 1, либо 2. Однако в 1702 году Лейбниц ошибочно сказал: что ни один многочлен типа x ⁴ + а ⁴ (с действительным и отличным от 0) можно записать так. Позже Николаус Бернулли сделал то же утверждение относительно многочлена x ⁴ − 4x ³ + 2x ² + 4 x + 4 , но он получил письмо от Эйлера в 1742 году. в котором было показано, что этот полином равен

$\left(x^{2}-(2+\alpha )x+1+{\sqrt {7}}+\alpha \right)\left(x^{2}-(2-\alpha )x+1+{\sqrt {7}}-\alpha \right),$

с $\alpha ={\sqrt {4+2{\sqrt {7}}}}.$ Кроме того, Эйлер указывал, что

$x^{4}+a^{4}=\left(x^{2}+a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right)\left(x^{2}-a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right).$

Первую попытку доказать теорему предпринял Даламбер в 1746 году, но его доказательство оказалось неполным. Среди других проблем он неявно предполагал теорему (теперь известную как теорема Пюизо ), которая была доказана только более века спустя и с использованием фундаментальной теоремы алгебры. Другие попытки были предприняты Эйлером (1749 г.), де Фонсенексом (1759 г.), Лагранжем (1772 г.) и Лапласом (1795 г.). Эти последние четыре попытки неявно предполагали утверждение Жирара; точнее, предполагалось существование решений и оставалось доказать только то, что их форма равна a + bi для некоторых действительных чисел a и b . Говоря современным языком, Эйлер, де Фонсенекс, Лагранж и Лаплас предполагали существование поля расщепления многочлена p ( z ).

В конце XVIII века были опубликованы два новых доказательства, не предполагавшие существования корней, но ни одно из которых не было полным. Одна из них, написанная Джеймсом Вудом и в основном алгебраическая, была опубликована в 1798 году и полностью проигнорирована. В доказательстве Вуда имелся алгебраический пробел. Другой был опубликован Гауссом в 1799 году и был в основном геометрическим, но в нем был топологический пробел, заполненный только Александром Островским в 1920 году, как обсуждалось Смейлом (1981).

Первое строгое доказательство было опубликовано Арганом , математиком-любителем , в 1806 году (и пересмотрено в 1813 году); именно здесь впервые была сформулирована основная теорема алгебры для многочленов с комплексными коэффициентами, а не только с действительными коэффициентами. Гаусс представил два других доказательства в 1816 году и еще одну неполную версию своего первоначального доказательства в 1849 году.

Первым учебником, содержащим доказательство теоремы, был « Коши Кур анализа Королевской политехнической школы» (1821 г.). Он содержал доказательство Арганда, хотя Арганду оно не приписывается.

Ни одно из упомянутых до сих пор доказательств не является конструктивным . Именно Вейерштрасс впервые в середине XIX века поставил задачу о нахождении конструктивного доказательства основной теоремы алгебры. Свое решение, которое в современных терминах представляет собой комбинацию метода Дюрана-Кернера с принципом продолжения гомотопии , он представил в 1891 году. Другое доказательство такого рода было получено Хельмутом Кнезером в 1940 году и упрощено его сыном Мартином Кнезером в 1981 году.

Без использования счетного выбора невозможно конструктивно доказать фундаментальную теорему алгебры для комплексных чисел на основе действительных чисел Дедекинда (которые не конструктивно эквивалентны действительным числам Коши без счетного выбора). Однако Фред Ричман доказал переформулированную версию теоремы, которая действительно работает.

Эквивалентные утверждения

Существует несколько эквивалентных формулировок теоремы:

• Каждый одномерный многочлен положительной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень .
• Каждый одномерный многочлен положительной степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень .

  Отсюда сразу следует предыдущее утверждение, поскольку действительные числа также являются комплексными числами. Обратное является результатом того, что можно получить многочлен с действительными коэффициентами, взяв произведение многочлена и его комплексно-сопряженного числа (полученного путем замены каждого коэффициента на его комплексно-сопряженное число). Корнем этого произведения является либо корень данного многочлена, либо его сопряженного; в последнем случае сопряженное к этому корню является корнем данного многочлена.

• Каждый одномерный многочлен положительной степени n с комплексными коэффициентами можно факторизовать как
  $$c(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),$$
  где $c,r_{1},\ldots ,r_{n}$ являются комплексными числами.

  n комплексных чисел $r_{1},\ldots ,r_{n}$являются корнями многочлена. Если корень появляется в нескольких сомножителях, то он является кратным корнем , а количество его вхождений есть по определению кратность корня .

  Доказательство того, что это утверждение следует из предыдущих, осуществляется рекурсией по n : когда корень $r_{1}$ найдено полиномиальное деление на $x-r_{1}$ дает полином степени $n-1$ корни которого являются другими корнями данного многочлена.

Следующие два утверждения эквивалентны предыдущим, хотя они не содержат каких-либо недействительных комплексных чисел. Эти утверждения можно доказать на основе предыдущих факторизаций, заметив, что, если r является невещественным корнем многочлена с действительными коэффициентами, его комплексно-сопряженный ${\overline {r}}$ также является корнем, и $(x-r)(x-{\overline {r}})$— многочлен второй степени с вещественными коэффициентами (это теорема о комплексно-сопряженном корне ). И наоборот, если у кого-то есть фактор второй степени, квадратичная формула дает корень.

• Каждый одномерный многочлен с действительными коэффициентами степени больше двух имеет множитель второй степени с действительными коэффициентами.
• Каждый одномерный многочлен с действительными коэффициентами положительной степени можно разложить на множители как
  $$cp_{1}\cdots p_{k},$$
  где c — действительное число и каждый $p_{i}$— монический многочлен степени не выше двух с действительными коэффициентами. Более того, можно предположить, что множители второй степени не имеют вещественного корня.

Доказательства

Все приведенные ниже доказательства включают в себя некоторый математический анализ или, по крайней мере, топологическую концепцию непрерывности действительных или комплексных функций. Некоторые также используют дифференцируемые или даже аналитические функции. Это требование привело к замечанию, что Основная теорема алгебры не является ни фундаментальной, ни теоремой алгебры.

Некоторые доказательства теоремы доказывают только то, что любой непостоянный многочлен с действительными коэффициентами имеет некоторый комплексный корень. Этой леммы достаточно, чтобы установить общий случай, поскольку для непостоянного многочлена p с комплексными коэффициентами полином

$q=p{\overline {p}},$

имеет только вещественные коэффициенты, и если z является корнем q , то либо z , либо сопряженное с ним число является корнем p . Здесь, ${\overline {p}}$— полином, полученный заменой каждого коэффициента p на его комплексно-сопряженный ; корни ${\overline {p}}$ являются в точности комплексно-сопряженными корнями числа p

Многие неалгебраические доказательства теоремы используют тот факт (иногда называемый «леммой о росте»), что полиномиальная функция p ( z ) степени n , доминирующий коэффициент которой равен 1, ведет себя как z ^н когда | г | достаточно велик. Точнее, существует некоторое положительное действительное число R такое, что

${\tfrac {1}{2}}|z^{n}|<|p(z)|<{\tfrac {3}{2}}|z^{n}|$

когда | г | > Р. ​

аналитические

Даже не используя комплексные числа, можно показать, что вещественный многочлен p ( x ): p (0) ≠ 0 степени n > 2 всегда можно разделить на некоторый квадратичный многочлен с действительными коэффициентами. Другими словами, для некоторых действительных значений a и b коэффициенты линейного остатка при делении p ( x ) на x ² − ax − b одновременно становятся нулевыми.

$p(x)=(x^{2}-ax-b)q(x)+x\,R_{p(x)}(a,b)+S_{p(x)}(a,b),$

где q ( x ) — многочлен степени n − 2. Коэффициенты R _{p ( x )} ( a , b ) и S _{p ( x )} ( a , b ) не зависят от x и полностью определяются коэффициентами p ( Икс ). С точки зрения представления, R _{p ( x )} ( a , b ) и S _{p ( x )} ( a , b ) являются двумерными полиномами от a и b . В духе первого (неполного) доказательства Гаусса этой теоремы от 1799 года ключевым моментом является показать, что для любого достаточно большого отрицательного значения b все корни как R _{p ( x )} ( a , b ), так Sp _{( и x )} ( a , b ) в переменной a имеют действительные значения и чередуют друг друга (свойство переплетения). Используя цепочку типа Штурма , которая содержит R _{p ( x )} ( a , b ) и Sp _{) в качестве последовательных членов, чередование ( x )} ( a , b в переменной a может быть показано для всех последовательных пар в цепочке всякий раз, когда b имеет достаточно большое отрицательное значение. Поскольку S _p ( a , b = 0) = p (0) не имеет корней, переплетение R _{p ( x )} ( a , b ) и Sp _{( ) x )} ( a , b в переменной a не выполняется при b = 0. Топологические аргументы могут быть применены к свойству переплетения, чтобы показать, что место корней R _{p ( x )} ( a , b ) и S _{p ( x )} ( a , b ) должно пересекаться для некоторых действительных значений a и b < 0.

Комплексно-аналитические доказательства

Найдите замкнутый диск D радиуса r с центром в начале координат такой, что | п ( z )| > | р (0)| всякий раз, когда | г | ≥ р . Минимум | п ( z )| на D , которое должно существовать, поскольку , достигается D компактно поэтому в некоторой точке z0 _{, но не в какой} внутри D -либо точке его границы. Принцип максимума модуля , примененный к 1/ p ( z подразумевает, что p ( z0 _{) ,} ) = 0. Другими словами, является _z0 нулем p ( z ).

Вариант этого доказательства не требует принципа максимума модуля (на самом деле, аналогичный аргумент также дает доказательство принципа максимума модуля для голоморфных функций). Продолжая то, что было до того, как был использован этот принцип, если a := p ( z ₀ ) ≠ 0, то, разложив p ( z ) по степеням z − z ₀ , мы можем записать

$p(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.$

Здесь c _j — это просто коэффициенты полинома z → p ( z + z ₀ ) после расширения, а k — это индекс первого ненулевого коэффициента, следующего за постоянным членом. При z, достаточно близком к z _0, эта функция ведет себя асимптотически аналогично более простому полиному $q(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}$. Точнее, функция

$\left|{\frac {p(z)-q(z)}{(z-z_{0})^{k+1}}}\right|\leq M$

для некоторой положительной константы M в некоторой окрестности z ₀ . Следовательно, если мы определим $\theta _{0}=(\arg(a)+\pi -\arg(c_{k}))/k$ и разреши $z=z_{0}+re^{i\theta _{0}}$ проведя круг радиуса r > 0 вокруг z , то для любого достаточно малого r (так что выполняется оценка M ) мы видим, что

${\begin{aligned}|p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}\end{aligned}}$

Когда r достаточно близко к 0, эта верхняя граница для | п ( z )| строго меньше | a |, что противоречит определению z ₀ . Геометрически мы нашли явное направление θ ₀ такое, что если приблизиться к z ₀ с этого направления, можно получить значения p ( z ), меньшие по абсолютной величине, чем | п ( z ₀ )|.

В этом направлении можно получить еще одно аналитическое доказательство, заметив, что, поскольку | п ( z )| > | р (0)| вне D минимум | п ( z )| на всей комплексной плоскости достигается при z ₀ . Если | п ( z ₀ )| > 0, то 1/ p — ограниченная голоморфная функция во всей комплексной плоскости, поскольку для каждого комплексного числа z |1/ p ( z )| ≤ |1/ п ( z ₀ )|. Применяя теорему Лиувилля , которая утверждает, что ограниченная целая функция должна быть постоянной, это будет означать, что 1/ p является постоянным и, следовательно, что p является постоянным. Это дает противоречие, и, следовательно, p ( z ₀ ) = 0.

Еще одно аналитическое доказательство использует принцип аргумента . Пусть R — положительное действительное число, достаточно большое, чтобы каждый корень из p ( z ) имел абсолютное значение меньше, чем R ; такое число должно существовать, поскольку каждая непостоянная полиномиальная функция степени n имеет не более n нулей. Для каждого r > R рассмотрим число

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz,$

где c ( r ) — круг с центром в точке 0 и радиусом r, ориентированный против часовой стрелки; тогда принцип аргумента гласит, что это число представляет собой количество N нулей p ( z ) в открытом шаре с центром в 0 и радиусом r , который, поскольку r > R , является общим количеством нулей p ( z ). С другой стороны, интеграл от n / z вдоль c ( r ), деленный на 2π i, равен n . Но разница между этими двумя числами

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.$

Числитель интегрируемого рационального выражения имеет степень не выше n − 1, а степень знаменателя равна n + 1. Следовательно, указанное выше число стремится к 0 при r → +∞. Но это число также равно N − n , поэтому N = n .

Другое комплексно-аналитическое доказательство можно дать, объединив линейную алгебру с теоремой Коши . Чтобы установить, что каждый комплексный многочлен степени n > 0 имеет ноль, достаточно показать, что каждая комплексная квадратная матрица размера n > 0 имеет (комплексное) собственное значение . Доказательство последнего утверждения происходит от противного .

Пусть A — комплексная квадратная матрица размера n > 0, а I _n — единичная матрица того же размера. Предположим, что A не имеет собственных значений. Рассмотрим резольвентную функцию

$R(z)=(zI_{n}-A)^{-1},$

которая является мероморфной функцией на комплексной плоскости со значениями в векторном пространстве матриц. Собственные значения A являются в точности полюсами R ( z ). Поскольку по предположению A не имеет собственных значений, функция R ( z ) является целой функцией , и из теоремы Коши следует, что

$\int _{c(r)}R(z)\,dz=0.$

С другой стороны, R ( z ), развернутый в геометрический ряд, дает:

$R(z)=z^{-1}(I_{n}-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{k}}}A^{k}\cdot$

Эта формула справедлива вне замкнутого диска радиуса $\|A\|$( операторная норма A ) . Позволять $r>\|A\|.$ Затем

$\int _{c(r)}R(z)dz=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{c(r)}{\frac {dz}{z^{k+1}}}A^{k}=2\pi iI_{n}$

(в котором только слагаемое k = 0 имеет ненулевой интеграл). Это противоречие, и поэтому A имеет собственное значение.

Наконец, теорема Руше дает, пожалуй, самое короткое доказательство теоремы.

Топологические

Анимация, иллюстрирующая доказательство многочлена $x^{5}-x-1$

Предположим, минимум | п ( z )| на всей комплексной плоскости достигается при z ₀ ; при доказательстве, использующем теорему Лиувилля, было видно, что такое число должно существовать. Мы можем записать p ( z ) как полином от z − z ₀ : существует некоторое натуральное число k и существуют некоторые комплексные числа c _k , c _{k + 1} , ..., c _n такие, что c _k ≠ 0 и:

$p(z)=p(z_{0})+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.$

Если p ( z ₀ ) не равно нулю, отсюда следует, что если a является k ^й корень из − p ( z ₀ )/ c _k , и если t положительное и достаточно малое, то | п ( z ₀ + та )| < | p ( z ₀ )|, что невозможно, поскольку | п ( z ₀ )| это минимум | р | на Д. ​

Для другого топологического доказательства от противного предположим, что многочлен p ( z ) не имеет корней и, следовательно, никогда не равен 0. Думайте о многочлене как об отображении комплексной плоскости в комплексную плоскость. Он отображает любой круг | г | = R в замкнутый контур, кривую P ( R ). Рассмотрим, что происходит с витков числом P ( R ) в крайних случаях, когда R очень велико и когда R = 0. Когда R — достаточно большое число, то главный член z ^н p ) доминирует над ( z всеми остальными членами вместе взятыми; другими словами,

$\left|z^{n}\right|>\left|a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}\right|.$

Когда z пересекает круг $Re^{i\theta }$ один раз против часовой стрелки $(0\leq \theta \leq 2\pi ),$ затем $z^{n}=R^{n}e^{in\theta }$ поворачивает n раз против часовой стрелки $(0\leq \theta \leq 2\pi n)$вокруг начала координат (0,0), и P ( R ) аналогично. Другая крайность: | г | = 0, кривая P (0) — это просто единственная точка p (0), которая должна быть ненулевой, поскольку p ( z ) никогда не равна нулю. Таким образом, p (0) должно отличаться от начала координат (0,0), которое обозначает 0 в комплексной плоскости. Таким образом , число витков P (0) вокруг начала координат (0,0) равно 0. Теперь постоянное изменение R будет постоянно деформировать петлю . При некотором R номер обмотки должен измениться. Но это может произойти только в том случае, если кривая P ( R ) включает начало координат (0,0) для R. некоторого Но тогда для некоторого z на этом круге | г | = R мы имеем p ( z ) = 0, что противоречит нашему исходному предположению. Следовательно, p ( z ) имеет хотя бы один нуль.

Алгебраические доказательства

Эти доказательства Основной теоремы алгебры должны использовать следующие два факта о действительных числах, которые не являются алгебраическими, но требуют лишь небольшого анализа (точнее, теоремы о промежуточном значении в обоих случаях):

• каждый многочлен нечетной степени и действительными коэффициентами имеет действительный корень;
• каждое неотрицательное действительное число имеет квадратный корень.

Из второго факта вместе с квадратичной формулой следует теорема для вещественных квадратичных многочленов. Другими словами, алгебраические доказательства фундаментальной теоремы на самом деле показывают, что если R — любое вещественно-замкнутое поле , то его расширение C = R ( √ −1 ) алгебраически замкнуто.

По индукции

Как говорилось выше, достаточно проверить утверждение «всякий непостоянный многочлен p ( z ) с вещественными коэффициентами имеет комплексный корень». Это утверждение можно доказать индукцией по наибольшему неотрицательному целому числу k такому, что 2 ^к делит степень n числа p ( z ). Пусть a — коэффициент при z ^н в p ( z ) и пусть F — поле разложения p ) ( z над C ; другими словами, поле F содержит C и существуют элементы z ₁ , z ₂ , ..., z _n в F такие, что

$p(z)=a(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n}).$

Если k = 0, то n нечетно, и, следовательно, p ( z ) имеет вещественный корень. Теперь предположим, что n = 2 ^к m (при m нечетном и k > 0) и что теорема доказана уже тогда, когда степень многочлена имеет вид 2 ^{к - 1} m ′ с m ′ нечетным. Для действительного числа t определите:

$q_{t}(z)=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(z-z_{i}-z_{j}-tz_{i}z_{j}\right).$

Тогда коэффициенты q _t ( z ) являются симметричными многочленами от z _i с действительными коэффициентами. Следовательно, их можно выразить в виде многочленов с вещественными коэффициентами в элементарных симметричных многочленах , то есть в − a ₁ , a ₂ , ..., (−1) ^н н _​ . Таким образом, q _t ( z ) на самом деле имеет действительные коэффициенты. Кроме того, степень q _t ( z ) равна n ( n - 1)/2 = 2 ^{к -1} m ( n − 1), а m ( n − 1) — нечетное число. Итак, согласно предположению индукции, q _t имеет хотя бы один комплексный корень; другими словами, z _i + z _j + tz _i z _j является комплексным для двух различных элементов i и j из {1, ..., n }. Поскольку действительных чисел больше, чем пар ( i , j ), можно найти различные действительные числа t и s такие, что z _i + z _j + tz _i z _j и z _i + z _j + sz _i z _j являются комплексными (для то же самое я и j ). Итак, z _i + z _j и z _i z _j — комплексные числа. Легко проверить, что каждое комплексное число имеет комплексный квадратный корень, поэтому каждый комплексный многочлен степени 2 имеет комплексный корень по квадратной формуле. Отсюда следует, что z _i и z _j — комплексные числа, поскольку они являются корнями квадратного многочлена z ² - ( z _я + z _j ) z + z _я z _j .

Джозеф Шипман показал в 2007 году, что предположение о том, что полиномы нечетной степени имеют корни, сильнее, чем необходимо; любое поле, в котором многочлены простой степени имеют корни, алгебраически замкнуто (поэтому «нечетное» можно заменить на «нечетное простое число», и это справедливо для полей всех характеристик). Для аксиоматизации алгебраически замкнутых полей это наилучший вариант, поскольку существуют контрпримеры, если исключить одно простое число. Однако эти контрпримеры основаны на том, что −1 имеет квадратный корень. Если мы возьмем поле, в котором −1 не имеет квадратного корня, а каждый многочлен степени n ∈ I имеет корень, где I — любой фиксированный бесконечный набор нечетных чисел, то каждый многочлен f ( x ) нечетной степени имеет корень ( поскольку ( х ² + 1) ^к f ( x ) имеет корень, где k выбрано так, что deg( f ) + 2 k ∈ I ). Мохсен Алиабади обобщил Результат Шипмана 2013 года, предоставивший независимое доказательство того, что достаточным условием алгебраически замкнутости произвольного поля (любой характеристики) является наличие корня для каждого многочлена простой степени.

Из теории Галуа

Другое алгебраическое доказательство основной теоремы можно дать с помощью теории Галуа . Достаточно показать, что C не имеет собственного конечного расширения поля . Пусть K / C — конечное расширение. Поскольку нормальное замыкание K следовательно , над R по-прежнему имеет конечную степень над C (или R ), мы можем без ограничения общности предположить , что K является нормальным расширением R ( это расширение Галуа , поскольку любое алгебраическое расширение поля характеристики 0 сепарабельна ) . Пусть G — группа Галуа этого расширения, и пусть H — силовская 2-подгруппа группы равен степени 2 , G, так что порядок H а H в индекс G нечетен . По основной теореме теории Галуа существует подрасширение L расширения K / R такое, что Gal( / L ) = H. K Поскольку [ L : R ] = [ G : H ] нечетно и не существует нелинейных неприводимых вещественных многочленов нечетной степени, мы должны иметь L = R , таким образом, [ K : R ] и [ K : C ] являются степенями 2. Предполагая от противного, что [ K : C ] > 1, заключаем, что 2-группа Gal( K / C ) содержит подгруппу индекса 2, поэтому существует подрасширение M группы C степени 2. Однако C. не имеет расширения степени 2, поскольку, как упоминалось выше, каждый квадратичный комплексный многочлен имеет комплексный корень. Это показывает, что [ K : C ] = 1, и, следовательно, K = C , что завершает доказательство.

Геометрические

Существует еще один способ приблизиться к основной теореме алгебры, предложенный Дж. М. Альмирой и А. Ромеро: с помощью римановых геометрических аргументов. Основная идея здесь — доказать, что из существования непостоянного многочлена p ( z ) без нулей следует существование плоской римановой метрики над сферой S ² . Это приводит к противоречию, поскольку сфера не плоская.

Риманова поверхность ( M , g ) называется плоской, если ее гауссова кривизна, которую мы обозначаем K _g , тождественно равна нулю. Теперь теорема Гаусса–Бонне применительно к сфере S ² , заявляет, что

$\int _{\mathbf {S} ^{2}}K_{g}=4\pi ,$

что доказывает, что сфера не плоская.

Предположим теперь, что n > 0 и

$p(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}\neq 0$

для каждого комплексного числа z . Давайте определим

$p^{*}(z)=z^{n}p\left({\tfrac {1}{z}}\right)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}.$

Очевидно, p* ( z 0 для всех z в C. ) ≠ Рассмотрим многочлен f ( z ) = p ( z ) p* ( z ). Тогда f ( z ) ≠ 0 для z в C. каждого Более того,

$f({\tfrac {1}{w}})=p\left({\tfrac {1}{w}}\right)p^{*}\left({\tfrac {1}{w}}\right)=w^{-2n}p^{*}(w)p(w)=w^{-2n}f(w).$

Мы можем использовать это функциональное уравнение, чтобы доказать, что g , определяемый формулой

$g={\frac {1}{|f(w)|^{\frac {2}{n}}}}\,|dw|^{2}$

для w в C и

$g={\frac {1}{\left|f\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{\frac {2}{n}}}}\left|d\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{2}$

для w ∈ S ² \{0} — корректно определенная риманова метрика над сферой S ² (которую мы отождествляем с расширенной комплексной плоскостью C ∪ {∞}).

Теперь простое вычисление показывает, что

$\forall w\in \mathbf {C} :\qquad {\frac {1}{|f(w)|^{\frac {1}{n}}}}K_{g}={\frac {1}{n}}\Delta \log |f(w)|={\frac {1}{n}}\Delta {\text{Re}}(\log f(w))=0,$

поскольку действительная часть аналитической функции гармонична. Это доказывает, что K _g = 0.

Следствия

Поскольку фундаментальную теорему алгебры можно рассматривать как утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто , отсюда следует, что любая теорема, касающаяся алгебраически замкнутых полей, применима к полю комплексных чисел. Вот еще несколько следствий теоремы, касающихся либо поля действительных чисел, либо связи между полем действительных чисел и полем комплексных чисел:

• Поле комплексных чисел является алгебраическим замыканием поля действительных чисел.
• Каждый многочлен от одной переменной z с комплексными коэффициентами является произведением комплексной константы и многочленов вида z + a с комплексом .
• Каждый многочлен от одной переменной x с действительными коэффициентами можно однозначно записать в виде произведения константы, многочленов вида x + a с вещественным и многочленов вида x. ² + ax + b с a и b действительным и a ² − 4 b < 0 (это то же самое, что сказать, что многочлен x ² + ax + b не имеет действительных корней). (По теореме Абеля-Руффини действительные числа a и b не обязательно выражаются через коэффициенты многочлена, основные арифметические операции и извлечение корней n -й степени.) Это означает, что число невещественных чисел Комплексные корни всегда четны и остаются четными при учете их кратности.
• Любую рациональную функцию от одной переменной x с действительными коэффициентами можно записать как сумму полиномиальной функции с рациональными функциями вида a /( x − b ) ^н (где n — натуральное число, а a и b — действительные числа) и рациональные функции вида ( ax + b )/( x ² + сх + г ) ^н (где n — натуральное число, а a , b , c и d — действительные числа такие, что c ² − 4 d < 0). Следствием элементарную этого является то, что каждая рациональная функция с одной переменной и действительными коэффициентами имеет примитивную форму .
• Каждое алгебраическое расширение вещественного поля изоморфно либо вещественному полю, либо комплексному полю.

Границы нулей многочлена

Основная статья: Свойства корней полинома

Хотя основная теорема алгебры утверждает общий результат существования, определенный интерес, как с теоретической, так и с практической точки зрения, представляет информация о расположении нулей данного многочлена. Более простой результат в этом направлении — это оценка модуля: все нули ζ монического многочлена $z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}$удовлетворяют неравенству |ζ| ≤ R∞ _где ,

$R_{\infty }:=1+\max\{|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|\}.$

Как уже говорилось, это еще не результат существования, а скорее пример того, что называется априорной границей: она говорит, что если есть решения , то они лежат внутри замкнутого круга с центром, началом координат и радиусом R _∞ . Однако в сочетании с фундаментальной теоремой алгебры это говорит о том, что диск на самом деле содержит по крайней мере одно решение. В более общем смысле, оценка может быть задана непосредственно через любую p-норму n . -вектора коэффициентов $a:=(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}),$то есть |ζ| ≤ Rp _— , где Rp _это в точности q -норма 2-вектора $(1,\|a\|_{p}),$ q — показатель степени сопряжения p , ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1,$для любого 1 ⩽ p ⩽ ∞. Таким образом, модуль любого решения также ограничен

$R_{1}:=\max \left\{1,\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|\right\},$

$R_{p}:=\left[1+\left(\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right]^{\frac {1}{q}},$

при 1 < p < ∞ и, в частности,

$R_{2}:={\sqrt {\sum _{0\leq k\leq n}|a_{k}|^{2}}}$

(где мы определяем n _n как 1, что вполне разумно, поскольку 1 действительно является - м коэффициентом нашего многочлена). Случай общего полинома степени n ,

$P(z):=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0},$

сводится к случаю унитарного множителя, деля все коэффициенты на n _{конечно ,} ≠ 0. Кроме того, в случае, когда 0 не является корнем, т. е. a ₀ ≠ 0, оценки снизу для корней ζ следуют сразу же, как и оценки сверху на ${\tfrac {1}{\zeta }}$, то есть корни

$a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}.$

Наконец, расстояние $|\zeta -\zeta _{0}|$ от корней ζ в любую точку $\zeta _{0}$ можно оценить снизу и сверху, видя $\zeta -\zeta _{0}$ как нули многочлена $P(z+\zeta _{0})$, коэффициенты которого представляют собой Тейлора разложение P ( z ) в точке $z=\zeta _{0}.$

Пусть ζ – корень многочлена

$z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0};$

чтобы доказать неравенство |ζ| ≤ R _p, мы можем, конечно, считать, что |ζ| > 1. Записав уравнение в виде

$-\zeta ^{n}=a_{n-1}\zeta ^{n-1}+\cdots +a_{1}\zeta +a_{0},$

и используя неравенство Гёльдера, находим

$|\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\left\|\left(\zeta ^{n-1},\ldots ,\zeta ,1\right)\right\|_{q}.$

Теперь, если p = 1, это

$|\zeta |^{n}\leq \|a\|_{1}\max \left\{|\zeta |^{n-1},\ldots ,|\zeta |,1\right\}=\|a\|_{1}|\zeta |^{n-1},$

таким образом

$|\zeta |\leq \max\{1,\|a\|_{1}\}.$

В случае 1 < p ≤ ∞ с учетом формулы суммирования геометрической прогрессии имеем

$|\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\left(|\zeta |^{q(n-1)}+\cdots +|\zeta |^{q}+1\right)^{\frac {1}{q}}=\|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}-1}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}},$

таким образом

$|\zeta |^{nq}\leq \|a\|_{p}^{q}{\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}$

и упрощая,

$|\zeta |^{q}\leq 1+\|a\|_{p}^{q}.$

Поэтому

$|\zeta |\leq \left\|\left(1,\|a\|_{p}\right)\right\|_{q}=R_{p}$

выполняется для всех 1 ⩽ p ⩽ ∞.

См. также

• Теорема Вейерштрасса о факторизации , обобщение теоремы на другие целые функции.
• Теорема Эйленберга – Нивена , обобщение теоремы на многочлены с кватернионными коэффициентами и переменными.
• Nullstellensatz Гильберта , обобщение на несколько переменных утверждения о существовании комплексных корней.
• Теорема Безу , обобщение на несколько переменных утверждения о количестве корней.

Ссылки

Исторические источники

• Коши, Огюстен-Луи (1821), Курс анализа Королевской политехнической школы, 1 ^время часть: Алгебраический анализ , Париж: Éditions Jacques Gabay (опубликовано в 1992 г.), ISBN  978-2-87647-053-8 (тр. Курс анализа Королевской политехнической академии , часть 1: Алгебраический анализ)
• Эйлер, Леонхард (1751), «Исследование мнимых корней уравнений» , История Королевской академии наук и изящной словесности Берлина , том. 5, Берлин, с. 222–288, заархивировано из оригинала 24 декабря 2008 г. , получено 28 января 2008 г. Английский перевод: Эйлер, Леонхард (1751), «Исследования мнимых корней уравнений» (PDF) , История Королевской академии наук и изящной словесности Берлина , том. 5, Берлин, с. 222–288
• Гаусс, Карл Фридрих (1799), Новое доказательство теоремы о том, что каждая целая рациональная алгебраическая функция одной переменной может быть разложена на действительные множители первой или второй степени , Хельмстедт : К. Г. Флекайзен (тр. Новое доказательство теоремы о том, что каждая целая рациональная алгебраическая функция одной переменной может быть разложена на действительные множители первой или второй степени).
• Гаусс, Карл Фридрих (1866), Carl Friedrich Gauss Works , vol. Том III, Королевское общество наук в Геттингене
  1. Демонстрация новой теоремы о том, что всякая целая рациональная алгебраическая функция одной переменной может быть разложена на действительные множители первой или второй степени (1799), стр. 1–31. , п. 1, в Google Книгах — первое доказательство.
  2. Новая демонстрация второй теоремы о том, что каждая целая рациональная алгебраическая функция одной переменной может быть разложена на действительные множители первой или второй степени (декабрь 1815 г.), стр. 32–56. , п. 32, в Google Книгах — второе доказательство.
  3. Демонстрация теоремы о разрешимости целых алгебраических функций в действительные множители Третье дополнение к предыдущему комментарию (январь 1816 г.), стр. 57–64. , п. 57, в Google Книгах — третье доказательство.
  4. Вклады в теорию алгебраических уравнений (июль 1849 г.), стр. 71–103. , п. 71, в Google Книгах – четвертое доказательство.
• Кнезер, Хельмут (1940), «Основная теорема алгебры и интуиционизма» , Mathematical Journal , vol. 46, стр. 287–302, doi : 10.1007/BF01181442 , ISSN   0025-5874 , S2CID   120861330 (Фундаментальная теорема алгебры и интуиционизма ).
• Кнезер, Мартин (1981), «Дополнение к статье Хельмута Кнезера по основной теореме алгебры» , Mathematical Journal , vol. 177, № 2, стр. 285–287, doi : 10.1007/BF01214206 , ISSN   0025-5874 , S2CID   122310417 (тр. Расширение работы Хельмута Кнезера по фундаментальной теореме алгебры).
• Островский, Александр (1920), «О первом и четвертом гауссовских доказательствах основной теоремы алгебры» , Карла Фридриха Гаусса, работы том X, отдел 2 (тр. О первом и четвертом гауссовских доказательствах основной теоремы алгебры).
• Вейерштрасс, Карл (1891), «Новое доказательство теоремы о том, что каждая целая рациональная функция переменной может быть представлена ​​как произведение линейных функций одной и той же переменной», труды Королевской прусской академии наук в Берлине , стр. 1085. –1101 (тр. Новое доказательство теоремы о том, что любую целочисленную рациональную функцию одной переменной можно представить в виде произведения линейных функций одной переменной).

литература

• Альмира, Хосе Мария; Ромеро, Альфонсо (2007), «Еще одно применение теоремы Гаусса-Бонне для сферы» , Бюллетень Бельгийского математического общества , том. 14, стр. 341–342, МР   2341569
• Альмира, Хосе Мария; Ромеро, Альфонсо (2012), «Некоторые римановы геометрические доказательства фундаментальной теоремы алгебры» (PDF) , Дифференциальная геометрия – динамические системы , том. 14, стр. 1–4, МР   2914638
• де Оливейра, Освальдо Рио Бранку (2011), «Фундаментальная теорема алгебры: элементарное и прямое доказательство», The Mathematical Intelligencer , vol. 33, нет. 2, стр. 1–2, doi : 10.1007/s00283-011-9199-2 , MR   2813254 , S2CID   5243991.
• де Оливейра, Освальдо Рио Бранко (2012), «Фундаментальная теорема алгебры: из четырех основных операций», The American Mathematical Monthly , vol. 119, нет. 9, стр. 753–758, arXiv : 1110.0165 , doi : 10.4169/amer.math.monthly.119.09.753 , MR   2990933 , S2CID   218548926
• Хорошо, Бенджамин; Розенбергер, Герхард (1997), Фундаментальная теорема алгебры , Тексты для студентов по математике , Берлин: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94657-3 , МР   1454356
• Герстен, Стивен М.; Столлингс, Джон Р. (1988), «О первом доказательстве Гаусса фундаментальной теоремы алгебры», Труды Американского математического общества , том. 103, нет. 1, стр. 331–332, doi : 10.1090/S0002-9939-1988-0938691-3 , ISSN   0002-9939 , JSTOR   2047574 , MR   0938691
• Гилен, Кристиан (1991), «К истории фундаментальной теоремы алгебры: теория уравнений и интегральное исчисление», Архив истории точных наук , том. 42, нет. 2, с. 91–136, doi : 10.1007/BF00496870 , ISSN   0003-9519 , S2CID   121468210 (тр. К истории фундаментальной теоремы алгебры: теория уравнений и интегральное исчисление .)
• Нетто, Ойген ; Ле Вавассер, Раймон (1916), «Рациональные функции §80–88: Фундаментальная теорема», у Мейера, Франсуа; Молк, Жюль (ред.), Энциклопедия чистых и прикладных математических наук, том I, том. 2 , Éditions Jacques Gabay (опубликовано в 1992 г.), ISBN  978-2-87647-101-6 (тр. Рациональные функции §80–88: основная теорема).
• Реммерт, Рейнхольд (1991), «Фундаментальная теорема алгебры», в Эббингаузе, Хайнц-Дитер; Гермес, Ганс; Хирцебрух, Фридрих (ред.), Числа , Тексты для выпускников по математике 123, Берлин: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-97497-2
• Шипман, Джозеф (2007), «Улучшение фундаментальной теоремы алгебры», Mathematical Intelligencer , vol. 29, нет. 4, стр. 9–14, doi : 10.1007/BF02986170 , ISSN   0343-6993 , S2CID   123089882.
• Смейл, Стив (1981), «Фундаментальная теорема алгебры и теории сложности», Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 4 (1): 1–36, doi : 10.1090/S0273-0979-1981-14858-8 [3]
• Смит, Дэвид Юджин (1959), Справочник по математике , Дувр , ISBN  978-0-486-64690-9
• Смитис, Фрэнк (2000), «Забытая статья по фундаментальной теореме алгебры», Notes & Records of the Royal Society , vol. 54, нет. 3, стр. 333–341, doi : 10.1098/rsnr.2000.0116 , ISSN   0035-9149 , S2CID   145593806
• Тейлор, Пол (2 июня 2007 г.), второе доказательство Гаусса основной теоремы алгебры - английский перевод второго доказательства Гаусса.
• ван дер Варден, Бартель Леендерт (2003), Алгебра , том. Я (7-е изд.), Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-40624-4

Внешние ссылки

• Алгебра, фундаментальная теорема в Энциклопедии математики
• Основная теорема алгебры — сборник доказательств
• От основной теоремы алгебры к астрофизике: «гармоничный» путь
• Первое доказательство Гаусса (на латыни) в Google Книгах
• Первое доказательство Гаусса (на латыни) в Google Книгах
• Доказательство системы Mizar : http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74