Основная теорема теории Галуа

В математике основная теорема теории Галуа — результат, описывающий структуру некоторых типов расширений полей по отношению к группам . Это было доказано Эваристом Галуа в его развитии теории Галуа .

В своей самой основной форме теорема утверждает, что для данного расширения поля E / F , которое является конечным и Галуа , существует взаимно-однозначное соответствие между его промежуточными полями и подгруппами его группы Галуа . ( Промежуточные поля — это поля K, F ⊆ K ⊆ E ; их также называют подрасширениями E удовлетворяющие / F .)

Подробное описание переписки

Для конечных расширений соответствие можно явно описать следующим образом.

• Для любой подгруппы H группы Gal( E / F ) соответствующее фиксированное поле , обозначаемое E ^ЧАС , является множеством тех элементов E , которые фиксируются каждым автоморфизмом в H .
• Для любого промежуточного поля K в E / F соответствующей подгруппой является Aut( E / K то есть множество тех автоморфизмов в Gal( E / F ), которые фиксируют каждый элемент K. ) ,

Основная теорема гласит, что это соответствие является взаимно однозначным, если (и только если) E / F является расширением Галуа .Например, самое верхнее поле E соответствует тривиальной подгруппе Gal( E / F ), а базовое поле F соответствует всей группе Gal( E / F ).

Обозначение Gal( E / F ) используется только для расширений Галуа . Если E / F — Галуа, то Gal( E / F ) = Aut( E / F ). Если E / F не Галуа, то «соответствие» дает лишь инъективное (но не сюръективное ) отображение из $\{{\text{subgroups of Aut}}(E/F)\}$ к $\{{\text{subfields of }}E/F\}$и сюръективное (но не инъективное) отображение в обратном направлении. В частности, если E / F не является группой Галуа, то F не является фиксированным полем какой-либо подгруппы Aut( E / F ).

Свойства переписки

Переписка обладает следующими полезными свойствами.

• Это включение-реверс . Включение подгрупп H ₁ ⊆ H ₂ имеет место тогда и только тогда, когда включение полей E ^{Ч ₁} ⊇ Э ^{Ч ₂} держит.
• Степени расширений связаны с порядками групп способом, соответствующим свойству обращения включения. В частности, если H — подгруппа Gal( E / F ), то | Ч | = [ Э : Е ^ЧАС ] и |Gal( E / F )|/| Ч | = [ Э ^ЧАС : Ф ].
• Поле Е ^ЧАС является нормальным расширением F (или, что то же самое, расширением Галуа, поскольку любое подрасширение сепарабельного расширения сепарабельно) тогда и только тогда, когда H является нормальной подгруппой в Gal( E / F ). В этом случае ограничение элементов Gal( E / F ) на E ^ЧАС индуцирует изоморфизм между Gal( E ^ЧАС / F ) и факторгруппа Gal( E / F )/ H .

Пример 1

Решетка подгрупп и подполей

Рассмотрим поле

$K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)=\left[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\right]\!({\sqrt {3}}).$

Поскольку K построен из базового поля $\mathbb {Q}$ присоединяя √ 2 , затем √ 3 , каждый элемент K можно записать как:

$(a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}},\qquad a,b,c,d\in \mathbb {Q} .$

Это группа Галуа $G={\text{Gal}}(K/\mathbb {Q} )$ содержит автоморфизмы K , фиксирующие a . Такие автоморфизмы должны переводить √ 2 в √ 2 или – √ 2 и переводить √ 3 в √ 3 или – √ 3 , поскольку они переставляют местами корни любого неприводимого многочлена. Предположим, что f меняет местами √ 2 и – √ 2 , поэтому

$f\left((a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}\right)=(a-b{\sqrt {2}})+(c-d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}=a-b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}},$

и g меняет местами √ 3 и – √ 3 , поэтому

$g\left((a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}\right)=(a+b{\sqrt {2}})-(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}=a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}.$

Это явно автоморфизмы K с учетом его сложения и умножения. Существует также тождественный автоморфизм e , фиксирующий каждый элемент, и композиция f и g, меняющая знаки обоих радикалов:

$(fg)\left((a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}\right)=(a-b{\sqrt {2}})-(c-d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}=a-b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}.$

Поскольку порядок группы Галуа равен степени расширения поля, $|G|=[K:\mathbb {Q} ]=4$, дальнейших автоморфизмов быть не может:

$G=\left\{1,f,g,fg\right\},$

которая изоморфна четверной группе Клейна . Пять его подгрупп соответствуют полям, промежуточным между базовыми $\mathbb {Q}$ расширение К. и

• Тривиальная подгруппа {1} соответствует всему полю K. расширения
• Вся группа G соответствует базовому полю $\mathbb {Q} .$
• Подгруппа {1, f } соответствует подполю $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}}),$ поскольку f фиксирует √ 3 .
• Подгруппа {1, g } соответствует подполю $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),$ поскольку g фиксирует √ 2 .
• Подгруппа {1, fg } соответствует подполю $\mathbb {Q} ({\sqrt {6}}),$ поскольку fg фиксирует √ 6 .

Пример 2

Решетка подгрупп и подполей

Ниже приводится простейший случай, когда группа Галуа не абелева.

Рассмотрим поле разложения K многочлена неприводимого $x^{3}-2$ над $\mathbb {Q}$; то есть, $K=\mathbb {Q} (\theta ,\omega )$ где θ — кубический корень из 2, а ω — кубический корень из 1 (но не сама 1). Если мы рассмотрим K внутри комплексных чисел, мы можем взять $\theta ={\sqrt[{3}]{2}}$, действительный кубический корень из 2 и $\omega =-{\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.$ Поскольку ω имеет минимальный полином $x^{2}+x+1$, расширение $\mathbb {Q} \subset K$ имеет степень:

$$[\,K:\mathbb {Q} \,]=[\,K:\mathbb {Q} (\,\theta \,)\,]\cdot [\,\mathbb {Q} (\,\theta \,):\mathbb {Q} \,]=2\cdot 3=6,$$

с $\mathbb {Q}$-базис $\{1,\theta ,\theta ^{2},\omega ,\omega \theta ,\omega \theta ^{2}\}$ как в предыдущем примере. Поэтому группа Галуа $G=\mathrm {Gal} (K/\mathbb {Q} )$ имеет шесть элементов, определяемых всеми перестановками трех корней $x^{3}-2$:

$\alpha _{1}=\theta ,\ \alpha _{2}=\omega \theta ,\ \alpha _{3}=\omega ^{2}\theta .$

Так как их всего 3! = 6 таких перестановок, G должна быть изоморфна симметрической группе всех перестановок трех объектов. Группа может быть порождена двумя автоморфизмами f и g, определяемыми следующим образом:

$f(\theta )=\omega \theta ,\quad f(\omega )=\omega ,$

$g(\theta )=\theta ,\quad g(\omega )=\omega ^{2},$

и $G=\left\{1,f,f^{2},g,gf,gf^{2}\right\}$, подчиняясь отношениям $f^{3}=g^{2}=(gf)^{2}=1$. Их эффект как перестановки $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ есть (в обозначениях цикла ): $f=(123),g=(23)$. Кроме того, g можно рассматривать как отображение комплексного сопряжения .

Подгруппы G и соответствующие подполя следующие:

• Как всегда, тривиальная группа {1} соответствует всему полю K , а вся группа G — основному полю. $\mathbb {Q}$.

• Единственная подгруппа порядка 3, $H=\{1,f,f^{2}\}$, соответствует подполю $\mathbb {Q} (\omega )$ степени два, так как подгруппа имеет индекс два в G : т.е. $[\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} ]={\tfrac {|G|}{|H|}}=2$. Кроме того, эта подгруппа нормальна, поэтому подполе нормально над $\mathbb {Q}$, являющееся полем расщепления $x^{2}+x+1$. Его группа Галуа над основным полем является факторгруппой. $G/H=\{[1],[g]\}$, где [ g ] обозначает смежный класс g по модулю H ; то есть его единственный нетривиальный автоморфизм — это комплексное сопряжение g .

• Выделяют три подгруппы порядка 2, $\{1,g\},\{1,gf\}$ и $\{1,gf^{2}\},$ соответствующие подполям соответственно $\mathbb {Q} (\theta ),\mathbb {Q} (\omega \theta ),\mathbb {Q} (\omega ^{2}\theta ).$ Эти подполя имеют степень 3 выше $\mathbb {Q}$ поскольку подгруппы имеют индекс 3 в G . Подгруппы не являются нормальными в G , поэтому подполя не являются галуа или нормальными над $\mathbb {Q}$. Фактически каждое подполе содержит только один из корней $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$, поэтому ни один из них не имеет нетривиальных автоморфизмов.

Пример 3

Позволять $E=\mathbb {Q} (\lambda )$ — поле рациональных функций в неопределенном λ и рассмотрим группу автоморфизмов:

$G=\left\{\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda \right\}\subset \mathrm {Aut} (E);$

здесь мы обозначаем автоморфизм $\phi :E\to E$ по его стоимости $\phi (\lambda )$, так что $f(\lambda )\mapsto f(\phi (\lambda ))$. Эта группа изоморфна $S_{3}$ (см.: шесть перекрестных отношений ).Позволять $F$ быть фиксированным полем $G$, так что ${\rm {Gal}}(E/F)=G$.

Если $H$ является подгруппой $G$, то коэффициенты многочлена

$P(T):=\prod _{h\in H}(T-h)\in E[T]$

генерировать фиксированное поле $H$. Соответствие Галуа подразумевает, что каждое подполе $E/F$ можно построить таким образом. Например, для $H=\{\lambda ,1-\lambda \}$, фиксированное поле $\mathbb {Q} (\lambda (1-\lambda ))$ и если $H=\{\lambda ,{\tfrac {1}{\lambda }}\}$ тогда фиксированное поле $\mathbb {Q} (\lambda +{\tfrac {1}{\lambda }})$. Фиксированное поле $G$ это базовое поле $F=\mathbb {Q} (j),$ где j — j -инвариант, записанный в терминах модульной лямбда-функции :

$j={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .$

Подобные примеры можно построить для каждой из групп симметрии платоновых тел, поскольку они также имеют точные действия на проективной прямой. $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )$ и, следовательно, дальше $\mathbb {C} (x)$.

Приложения

Теорема классифицирует промежуточные поля E / F с точки зрения теории групп . Этот перевод между промежуточными полями и подгруппами является ключевымпоказать, что общее уравнение пятой степени не разрешимо в радикалах (см. теорему Абеля – Руффини ). Сначала определяют группы Галуа радикальных расширений (расширений вида F (α), где α — корень n -й степени некоторого элемента из F ), а затем используют фундаментальную теорему, чтобы показать, что разрешимые расширения соответствуют разрешимым группам .

Такие теории, как теория Куммера и теория полей классов, основаны на фундаментальной теореме.

Бесконечный случай

Учитывая бесконечное алгебраическое расширение, мы все равно можем определить его как расширение Галуа, если оно нормально и сепарабельно. Проблема, с которой можно столкнуться в бесконечном случае, заключается в том, что биекция в фундаментальной теореме не выполняется, поскольку обычно мы получаем слишком много подгрупп. Точнее, если мы просто возьмем каждую подгруппу, мы вообще сможем найти две разные подгруппы, которые фиксируют одно и то же промежуточное поле. Поэтому мы исправим это, введя топологию группы Галуа.

Позволять $E/F$ — расширение Галуа (возможно, бесконечное) и пусть $G={\text{Gal}}(E/F)$ — группа Галуа расширения. Позволять

$${\text{Int}}_{\text{F}}(E/F)=\{G_{i}={\text{Gal}}(L_{i}/F)~|~L_{i}/F{\text{ is a finite Galois extension and }}L_{i}\subseteq E\}$$

— множество групп Галуа всех конечных промежуточных расширений Галуа. Обратите внимание, что для всех $i\in I$ мы можем определить карты $\varphi _{i}:G\rightarrow G_{i}$ к $\sigma \mapsto \sigma _{|L_{i}}$. Затем мы определяем топологию Крулля на $G$ быть слабейшей топологией, такой, что для всех $i\in I$ карты $\varphi _{i}:G\rightarrow G_{i}$ непрерывны, где мы наделяем каждый $G_{i}$ с дискретной топологией. Заявлено по-другому $G\cong \varprojlim G_{i}$ как обратный предел топологических групп (где снова каждый $G_{i}$ наделен дискретной топологией). Это делает $G$ проконечная группа (на самом деле каждая проконечная группа может быть реализована как группа Галуа расширения Галуа, см., например, ). Обратите внимание, что когда $E/F$ конечна, топология Крулла является дискретной топологией.

Теперь, когда мы определили топологию группы Галуа, мы можем переформулировать фундаментальную теорему для бесконечных расширений Галуа.

Позволять ${\mathcal {F}}(E/F)$ обозначают множество всех промежуточных расширений полей $E/F$ и пусть ${\mathcal {C}}(G)$ обозначаем множество всех замкнутых подгрупп группы $G={\text{Gal}}(E/F)$ наделен топологией Крулля. Тогда существует биекция между ${\mathcal {F}}(E/F)$ и ${\mathcal {C}}(G)$ дано по карте

$\Phi :{\mathcal {F}}(E/F)\rightarrow {\mathcal {C}}(G)$

определяется $L\mapsto {\text{Gal}}(E/L)$ и карта

$\Gamma :{\mathcal {C}}(G)\rightarrow {\mathcal {F}}(E/F)$

определяется $N\mapsto {\text{Fix}}_{E}(N):=\{a\in E~|~\sigma (a)=a{\text{ for all }}\sigma \in N\}$. Одна важная вещь, которую необходимо проверить, заключается в том, что $\Phi$ является четко определенной картой, то есть $\Phi (L)$ является закрытой подгруппой $G$ для всех промежуточных полей $L$. Это доказано в теореме Рибеса–Залесского 2.11.3.

См. также

• Связь Галуа

Дальнейшее чтение

• Милн, Дж. С. (2022). Поля и теория Галуа . Kea Books, Анн-Арбор, Мичиган. ISBN  979-8-218-07399-2 .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с Фундаментальной теоремой теории Галуа, на Викискладе?
• доказательство фундаментальной теоремы теории Галуа в PlanetMath .
• Авторы проекта Stacks. «Теорема 9.21.7 (Основная теорема теории Галуа)» .
• Авторы проекта Stacks. «Теорема 9.22.4 (Основная теорема бесконечной теории Галуа)» .