Радикальное расширение

В математике и, более конкретно, в теории поля , радикальное расширение поля поля K — это расширение , которое K получается присоединением последовательности n-й корней степени из элементов.

Определение [ править ]

Простое радикальное расширение — это простое расширение F / K , порожденное одним элементом. $\alpha$ удовлетворяющий $\alpha ^{n}=b$ для элемента b из K . В характеристике p мы также принимаем расширение с помощью корня полинома Артина–Шрайера как простое радикальное расширение. Радикальная серия - это башня $K=F_{0}<F_{1}<\cdots <F_{k}$ где каждое расширение $F_{i}/F_{i-1}$ является простым радикальным расширением.

Свойства [ править ]

Если E — радикальное расширение F и F — радикальное расширение K то E — радикальное расширение K. ,
Если E и F — радикальные расширения K в поле расширения C поля K , то композит EF (наименьшее подполе C , которое содержит как E , так и F является радикальным расширением K. )
Если E — радикальное расширение F и E > K > F, E — радикальное расширение K. то

Растворимость радикалами [ править ]

Радикальные расширения естественным образом возникают при решении полиномиальных уравнений в радикалах . Фактически решение в радикалах является выражением решения как элемента радикального ряда: многочлен f над полем K называется разрешимым в радикалах, если существует поле расщепления f содержащееся над K, в радикальном расширении поля K. К.

Теорема Абеля–Руффини утверждает, что такого решения в радикалах, вообще говоря, не существует для уравнений степени не ниже пятой. Эварист Галуа показал, что уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа его разрешима . Доказательство основано на основной теореме теории Галуа и следующей теореме.

Пусть K — поле, содержащее n различных $n-$ корней й степени из единицы . Расширение K степени тогда n является радикальным расширением, порожденным корнем n-й степени из элемента K и только тогда, когда это расширение Галуа , группа Галуа которого является циклической группой порядка n .

Доказательство связано с резольвентами Лагранжа . Позволять $\omega$ — примитивный корень n-й степени из единицы (принадлежащий K ). Если расширение создано $\alpha$ с $x^{n}-a$ как минимальный полином , отображение $\alpha \mapsto \omega \alpha$ индуцирует K -автоморфизм расширения, порождающего группу Галуа, демонстрируя импликацию «только если». И наоборот, если $\phi$ является K -автоморфизмом, порождающим группу Галуа, и $\beta$ является генератором расширения, пусть

\alpha =\sum _{i=0}^{n-1}\omega ^{-i}\phi ^{i}(\beta ).

Отношение $\phi (\alpha )=\omega \alpha$ произведение конъюгатов означает, что $\alpha$ (это изображения $\alpha$ -автоморфизмами K ) принадлежит K и равна произведению $\alpha ^{n}$ на произведение корней n-й степени из единицы. Поскольку произведение корней n-й степени из единиц равно $\pm 1$ , это означает, что $\alpha ^{n}\in K,$ и, таким образом, это расширение является радикальным расширением.

Из этой теоремы следует, что расширение Галуа может быть расширено до радикального расширения тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима (но существуют нерадикальные расширения Галуа, группа Галуа которых разрешима, например ${\textstyle \mathbb {Q} (\cos(2\pi /7))/\mathbb {Q} }$ ). Это, говоря современной терминологией, критерий радикальной разрешимости, предложенный Галуа. В доказательстве используется тот факт, что замыкание Галуа простого радикального расширения степени n является его расширением с помощью примитивного корня n- й степени из единицы и что группа Галуа корней n- й степени из единицы является циклической.

Ссылки [ править ]

Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556
Роман, Стивен (2006). Теория поля . Тексты для аспирантов по математике. Том. 158 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-27677-7 . Збл 1172.12001 .