Резольвента (теория Галуа)

В теории Галуа , дисциплине в области абстрактной алгебры , резольвентой для группы перестановок G является многочлен которого , коэффициенты полиномиально зависят от коэффициентов данного многочлена p и имеет, грубо говоря, рациональный корень тогда и только тогда, когда группа Галуа группа p G входит . в Точнее, если группа Галуа включена в G , то резольвента имеет рациональный корень, и обратное верно, если рациональный корень является простым корнем .Резольвенты были введены Жозефом Луи Лагранжем и систематически использовались Эваристом Галуа . В настоящее время они по-прежнему являются фундаментальным инструментом для вычисления групп Галуа . Простейшими примерами резольвент являются

• $X^{2}-\Delta$ где $\Delta$ - дискриминант , который является резольвентой для знакопеременной группы . В случае кубического уравнения эту резольвенту иногда называют квадратичной резольвентой ; его корни явно появляются в формулах корней кубического уравнения.
• Кубическая резольвента уравнения четвертой степени , которая является резольвентой для группы диэдра из 8 элементов.
• Резольвента Кэли — это резольвента максимальной разрешимой группы Галуа пятой степени. Это многочлен шестой степени .

Эти три резольвенты обладают свойством быть всегда разделимыми , а это означает, что если они имеют кратный корень , то многочлен p не является неприводимым . Неизвестно, существует ли всегда отделимая резольвента для каждой группы перестановок.

Для каждого уравнения корни могут быть выражены через радикалы и корень резольвенты разрешимой группы, поскольку группа Галуа уравнения над полем, порожденным этим корнем, разрешима.

Определение

Пусть n — целое положительное число , которое будет степенью уравнения, которое мы будем рассматривать, и ( X ₁ ,..., X _n ) — упорядоченный список неопределенных величин . Согласно формулам Виеты это определяет общий монический полином степени n. $$F(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}E_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-X_{i}),$$где E _i — i-й элементарный симметричный полином .

Симметричная группа Sn _{переставляя} действует на X _i, их, и это индуцирует действие на многочлены из X _i . Стабилизатор . данного многочлена при этом действии обычно тривиален, но некоторые многочлены имеют стабилизатор большего размера стабилизатором элементарного симметричного многочлена является вся группа Sn _. Например , Если стабилизатор нетривиален, то полином фиксируется некоторой нетривиальной подгруппой G ; говорят, что инвариант G это . наоборот, для данной подгруппы G из Sn _И инвариант G является резольвентным инвариантом для G, он не является инвариантом какой-либо большей подгруппы из Sn _если .

Найти инварианты для данной подгруппы G группы Sn _; относительно легко можно орбиту монома суммировать действием Sn _под . Однако может случиться так, что полученный полином окажется инвариантом для более крупной группы. Например, рассмотрим случай подгруппы G группы S ₄ порядка 4, состоящей из (12)(34) , (13)(24) , (14)(23) и единицы (обозначения см. в разделе Группа перестановок) . ). Моном X ₁ X ₂ дает инвариант 2( X ₁ X ₂ + X ₃ X ₄ ) . Это не резольвентный инвариант для G , поскольку, будучи инвариантом согласно (12) , он фактически является резольвентным инвариантом для большей диэдральной подгруппы D ₄ : ⟨(12), (1324)⟩ и используется для определения резольвентной кубики степени уравнения четвертой .

Если P резольвентный инвариант группы G индекса m внутри Sn Sn _имеет ее орбита под — _{, то} порядок m . Пусть P ₁ , ..., P _m — элементы этой орбиты. Тогда полином

$R_{G}=\prod _{i=1}^{m}(Y-P_{i})$

инвариантен Sn _. относительно Таким образом, в разложенном виде его коэффициенты представляют собой полиномы от X _i , которые инвариантны относительно действия группы симметрии и, таким образом, могут быть выражены как полиномы от элементарных симметричных полиномов. Другими словами, RG _— от неприводимый полином Y , коэффициенты которого полиномиальны от коэффициентов F . Имея в качестве корня инвариант резольвенты, она называется резольвентой (иногда резольвентным уравнением ).

Рассмотрим теперь неприводимый полином

$f(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i}),$

с коэффициентами в данном поле K (обычно поле рациональных чисел ) и корнями x _i в алгебраически замкнутом расширении поля . Заменяя X _i на xi _в и коэффициенты F на коэффициенты f приведенном выше примере, мы получаем полином $R_{G}^{(f)}(Y)$, также называемый резольвентой или специализированной резольвентой в случае двусмысленности). Если группа Галуа f содержится в G , специализация резольвентного инварианта инвариантна G и, таким образом, является корнем группы G. $R_{G}^{(f)}(Y)$ принадлежащий K (рационален на K ). И наоборот, если $R_{G}^{(f)}(Y)$ имеет рациональный корень, который не является кратным корнем, группа Галуа f содержится в G .

Терминология

Есть некоторые варианты в терминологии.

• В зависимости от авторов или контекста резольвента может относиться к инварианту резольвенты, а не к резольвентному уравнению .
• Резольвента Галуа — это резольвента, инвариант резольвенты которой линеен по корням.
• The Резольвента Лагранжа может относиться к линейному полиному $$\sum _{i=0}^{n-1}X_{i}\omega ^{i}$$ где $\omega$ является примитивным корнем n-й степени из единицы . Это резольвентный инвариант резольвенты Галуа для тождественной группы.
• определяется Относительная резольвента аналогично резольвенте, но учитывает только действие элементов данной подгруппы H из Sn _H , обладая тем свойством, что, если относительная резольвента для подгруппы G из Галуа имеет рациональный простой корень и метод группа f содержится в H , то группа Галуа содержится в G. f В этом контексте обычная резольвента называется абсолютной резольвентой .

Резольвентный метод

Группа Галуа многочлена степени $n$ является $S_{n}$ или соответствующую его подгруппу. Если многочлен сепарабельен и неприводим, то соответствующая группа Галуа является транзитивной подгруппой.

Транзитивные подгруппы $S_{n}$ образуют ориентированный граф: одна группа может быть подгруппой нескольких групп. Одна резольвента может определить, является ли группа Галуа многочлена (не обязательно собственной) подгруппой данной группы. Резольвентный метод — это систематический способ проверки групп одну за другой, пока не останется только одна группа. Это не означает, что необходимо проверять каждую группу: каждая резольвента может сократить множество возможных групп. Например, для полиномов пятой степени никогда не требуется резольвента $D_{5}$: резольвенты для $A_{5}$ и $M_{20}$ дать желаемую информацию.

Один из способов — начать с максимальных (транзитивных) подгрупп, пока не будет найдена правильная, а затем продолжить с максимальных подгрупп из них.

Ссылки

• Диксон, Леонард Э. (1959). Алгебраические теории . Нью-Йорк: Dover Publications Inc., с. ix+276. ISBN  0-486-49573-6 .
• Герстмайр, К. (1983). «О вычислении резольвент и групп Галуа». Манускрипта Математика . 43 (2–3): 289–307. дои : 10.1007/BF01165834 . S2CID   123752910 .