Формулы Плейса

О методе вычисления π см. формулу Вьета .

Франсуа Вьет

В математике формулы Виеты связывают коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней . Они названы в честь Франсуа Вьета (чаще называемого латинизированной формой его имени «Франциск Виета»).

Основные формулы

Любой общий полином степени n $$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$$ (коэффициенты которого являются действительными или комплексными числами и a _n ≠ 0 ) имеет n (не обязательно различные) комплексные корни r ₁ , r ₂ , ..., r _n по основной теореме алгебры . Формулы Виеты связывают коэффициенты полинома со знаковыми суммами произведений корней r ₁ , r ₂ , ..., r _n следующим образом:

$${\begin{cases}r_{1}+r_{2}+\dots +r_{n-1}+r_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\[1ex](r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\cdots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}+r_{2}r_{4}+\cdots +r_{2}r_{n})+\cdots +r_{n-1}r_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\[1ex]{}\quad \vdots \\[1ex]r_{1}r_{2}\cdots r_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}$$ ( * )

Формулы Виеты эквивалентно можно записать как $$\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}$$ для k = 1, 2, ..., n (индексы i _k сортируются в порядке возрастания, чтобы гарантировать, что каждое произведение k корней используется ровно один раз).

Левые части формул Виеты представляют собой элементарные симметричные многочлены корней.

Систему Виеты (*) можно решить методом Ньютона с помощью явной простой итерационной формулы — метода Дюрана-Кернера .

Обобщение на кольца

Формулы Виеты часто используются с полиномами с коэффициентами в любой целого числа R. области Тогда коэффициенты $a_{i}/a_{n}$ принадлежат области частных R самом (и, возможно, находятся в если R, $a_{n}$ оказывается обратимым в R ) и корни $r_{i}$ взяты в алгебраически замкнутом расширении. Обычно R — это кольцо целых чисел , поле дробей — это поле рациональных чисел , а алгебраически замкнутое поле — это поле комплексных чисел .

В этом случае формулы Виеты полезны, поскольку они обеспечивают связи между корнями без необходимости их вычисления.

Для многочленов над коммутативным кольцом , которое не является областью целостности, формулы Виеты действительны только тогда, когда $a_{n}$ не является делителем нуля и $P(x)$ факторы как $a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\dots (x-r_{n})$. Например, в кольце целых чисел по модулю 8 квадратичный многочлен $P(x)=x^{2}-1$ имеет четыре корня: 1, 3, 5 и 7. Формулы Виеты неверны, если, скажем, $r_{1}=1$ и $r_{2}=3$, потому что $P(x)\neq (x-1)(x-3)$. Однако, $P(x)$ учитывает как $(x-1)(x-7)$ а также как $(x-3)(x-5)$, и формулы Виеты верны, если мы положим либо $r_{1}=1$ и $r_{2}=7$ или $r_{1}=3$ и $r_{2}=5$.

Пример

Формулы Виеты, применимые к квадратичным и кубическим многочленам:

Корни $r_{1},r_{2}$ квадратичного многочлена $P(x)=ax^{2}+bx+c$ удовлетворить $$r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.$$

Первое из этих уравнений можно использовать для нахождения минимума (или максимума) P ; см. Квадратное уравнение § Формулы Виеты .

Корни $r_{1},r_{2},r_{3}$ кубического полинома $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ удовлетворить $$r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.$$

Доказательство

Прямое доказательство

Формулы Виеты можно доказать , разложив равенство $$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})$$ (что верно, поскольку $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$ все корни этого многочлена), умножив множители в правой части и определив коэффициенты каждой степени $x.$

Формально, если разложить $(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),$ условия именно $(-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},$ где $b_{i}$ равно либо 0, либо 1, соответственно, как и $r_{i}$ включен в продукт или нет, а k — количество $r_{i}$ которые включены, поэтому общее количество факторов в произведении равно n (считая $x^{k}$ с кратностью k ) – поскольку существует n бинарных вариантов выбора (включая $r_{i}$ или x ), существуют $2^{n}$ термины – геометрически их можно понимать как вершины гиперкуба. Группировка этих членов по степени дает элементарные симметричные многочлены в $r_{i}$ – для х ^к , все различные k -кратные произведения $r_{i}.$

В качестве примера рассмотрим квадратичную $$f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}(x-r_{1})(x-r_{2})=a_{2}(x^{2}-x(r_{1}+r_{2})+r_{1}r_{2}).$$

Сравнивая одинаковые мощности $x$, мы находим $a_{2}=a_{2}$, $a_{1}=-a_{2}(r_{1}+r_{2})$ и $a_{0}=a_{2}(r_{1}r_{2})$, с помощью которого мы можем, например, идентифицировать $r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}$ и $r_{1}r_{2}=a_{0}/a_{2}$, которые являются формулой Виеты для $n=2$.

Доказательство методом математической индукции.

Формулы Виеты также можно доказать методом индукции , как показано ниже.

Индуктивная гипотеза:

Позволять ${P(x)}$ быть многочленом степени $n$, со сложными корнями ${r_{1}},{r_{2}},{\dots },{r_{n}}$ и комплексные коэффициенты $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}$ где ${a_{n}}\neq 0$. Тогда индуктивная гипотеза состоит в том, что $${P(x)}={a_{n}}{x^{n}}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}={{a_{n}}{x^{n}}}-{a_{n}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{(a_{n})}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}$$

Базовый вариант, $n=2$ (квадратичный):

Позволять ${a_{2}},{a_{1}}$ быть коэффициентами квадратичного и $a_{0}$быть постоянным членом. Аналогично, пусть ${r_{1}},{r_{2}}$ являются корнями квадратного: $${a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{(x-r_{1})(x-r_{2})}$$Разверните правую часть, используя распределительное свойство : $${a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{({x^{2}}-{r_{1}x}-{r_{2}x}+{r_{1}}{r_{2}})}$$Соберите подобные термины : $${a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{({x^{2}}-{({r_{1}}+{r_{2}}){x}}+{r_{1}}{r_{2}})}$$Снова примените распределительное свойство: $${a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={{a_{2}}{x^{2}}-{{a_{2}}({r_{1}}+{r_{2}}){x}}+{a_{2}}{({r_{1}}{r_{2}})}}$$Индуктивная гипотеза теперь подтвердилась для $n=2$.

Индукционный шаг:

Предполагая, что индуктивная гипотеза справедлива для всех $n\geqslant 2$, это должно быть верно для всех $n+1$. $${P(x)}={a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}$$По теореме факторной ${(x-r_{n+1})}$ можно исключить из $P(x)$ оставляя остаток 0. Обратите внимание, что корни многочлена в квадратных скобках равны $r_{1},r_{2},\cdots ,r_{n}$: $${P(x)}={(x-r_{n+1})}{[{\frac {{a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}}{x-r_{n+1}}}]}$$Фактор из $a_{n+1}$, ведущий коэффициент $P(x)$, из многочлена в квадратных скобках: $${P(x)}={(a_{n+{1}})}{(x-r_{n+1})}{[{\frac {{x^{n+1}}+{\frac {{a_{n}}{x^{n}}}{(a_{n+{1}})}}+{\cdots }+{{\frac {a_{1}}{(a_{n+{1}})}}{x}}+{\frac {a_{0}}{(a_{n+{1}})}}}{x-r_{n+1}}}]}$$Для простоты позвольте коэффициентам и константе многочлена обозначаться как $\zeta$: $$P(x)={(a_{n+1})}{(x-r_{n+1})}{[{x^{n}}+{\zeta _{n-1}x^{n-1}}+{\cdots }+{\zeta _{0}}]}$$Используя индуктивное предположение, полином в квадратных скобках можно переписать как: $$P(x)={(a_{n+1})}{(x-r_{n+1})}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]}$$Используя распределительное свойство: $$P(x)={(a_{n+1})}{({x}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]}{-r_{n+1}}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]})}$$После расширения и сбора подобных членов: $${\begin{aligned}{P(x)}={{a_{n+1}}{x^{n+1}}}-{a_{n+1}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}+{r_{n+1}}){x^{n}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n+1}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}}{r_{n+1}})}}\\\end{aligned}}$$Индуктивная гипотеза справедлива для $n+1$, следовательно, это должно быть правдой $\forall n\in \mathbb {N}$

Заключение: $${a_{n}}{x^{n}}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}={{a_{n}}{x^{n}}}-{a_{n}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}$$Разделив обе части на $a_{n}$, это доказывает истинность формул Виеты.

История

Как отражено в названии, формулы были открыты французским математиком XVI века Франсуа Вьетом для случая положительных корней.

По мнению британского математика XVIII века Чарльза Хаттона , цитируемого Фанкхаузером, общий принцип (не ограничивающийся положительными действительными корнями) был впервые понят французским математиком 17-го века Альбертом Жираром :

...[Жирар был] первым человеком, который понял общую доктрину образования коэффициентов степеней из суммы корней и их произведений. Он был первым, кто открыл правила суммирования степеней корней любого уравнения.

См. также

• Содержание (алгебра)
• Правило знаков Декарта
• Личности Ньютона
• Теорема Гаусса – Лукаса
• Свойства корней полинома
• Теорема о рациональном корне
• Симметричный полином и элементарный симметричный полином

Ссылки

• «Теорема Вьета» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Фанкхаузер, Х. Грей (1930), «Краткий отчет об истории симметричных функций корней уравнений», American Mathematical Monthly , 37 (7), Mathematical Association of America: 357–365, doi : 10.2307/2299273 , JSTOR   2299273
• Винберг, Э.Б. (2003), Курс алгебры , Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN  0-8218-3413-4
• Джукич, Душан; и др. (2006), Сборник ИМО: сборник задач, предложенных для международных математических олимпиад, 1959–2004 гг. , Спрингер, Нью-Йорк, Нью-Йорк, ISBN  0-387-24299-6