Факторная теорема

В алгебре факторная теорема соединяет полиномиальные факторы с полиномиальными корнями . В частности, если $f(x)$ является полиномом, то $x-a$ является фактором $f(x)$ тогда и только тогда, когда $f(a)=0$ (то есть, $a$ является корнем многочлена). Теорема является частным случаем теоремы о полиномиальном остатке .

Теорема вытекает из основных свойств сложения и умножения. Отсюда следует, что теорема справедлива и тогда, когда коэффициенты и элемент $a$ принадлежат любому коммутативному кольцу , а не только полю .

В частности, поскольку многомерные полиномы можно рассматривать как одномерные по одной из переменных, справедливо следующее обобщение: если $f(X_{1},\ldots ,X_{n})$ и $g(X_{2},\ldots ,X_{n})$ являются многомерными полиномами и $g$ не зависит от $X_{1}$, затем $X_{1}-g(X_{2},\ldots ,X_{n})$ является фактором $f(X_{1},\ldots ,X_{n})$ тогда и только тогда, когда $f(g(X_{2},\ldots ,X_{n}),X_{2},\ldots ,X_{n})$ – нулевой полином.

Факторизация полиномов

Основная статья: Факторизация полиномов

Две проблемы, в которых обычно применяется факторная теорема, - это факторизация многочлена и поиск корней полиномиального уравнения; это прямое следствие теоремы о том, что эти задачи по существу эквивалентны.

Факторная теорема также используется для удаления известных нулей из полинома, оставляя при этом все неизвестные нули нетронутыми, таким образом создавая полином более низкой степени, нули которого может быть легче найти. Абстрактно метод выглядит следующим образом:

1. Вывести кандидата нуля $a$ полинома $f$ из его старшего коэффициента $a_{n}$ и постоянный член $a_{0}$. (См. Теорему о рациональном корне .)
2. Используя факторную теорему, заключите, что $(x-a)$ является фактором $f(x)$.
3. Вычислите полином ${\textstyle g(x)={\dfrac {f(x)}{(x-a)}}}$, например, с помощью полиномиального деления в столбик или синтетического деления .
4. Сделайте вывод, что любой корень $x\neq a$ из $f(x)=0$ является корнем $g(x)=0$. Поскольку полиномиальная степень $g$ на единицу меньше, чем у $f$, оставшиеся нули «проще» найти, изучая $g$.

Продолжаем процесс до тех пор, пока полином $f$ факторизуется полностью, на который все ее факторы неприводимы. $\mathbb {R} [x]$ или $\mathbb {C} [x]$.

Пример

Найдите факторы, $x^{3}+7x^{2}+8x+2.$

Решение : Пусть $p(x)$ быть вышеуказанным полиномом

Постоянный член = 2

Коэффициент $x^{3}=1$

Все возможные множители 2 равны $\pm 1$ и $\pm 2$. Замена $x=-1$, мы получаем:

$(-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2=0$

Так, $(x-(-1))$, то есть, $(x+1)$ является фактором $p(x)$. О разделении $p(x)$ к $(x+1)$, мы получаем

Частное = $x^{2}+6x+2$

Следовательно, $p(x)=(x^{2}+6x+2)(x+1)$

Из них квадратичный множитель можно разложить на множители с помощью квадратичной формулы , которая дает корни квадратичного множителя $-3\pm {\sqrt {7}}.$ Таким образом, три неприводимых фактора исходного многочлена равны $x+1,$ $x-(-3+{\sqrt {7}}),$ и $x-(-3-{\sqrt {7}}).$

Доказательство

Здесь представлено несколько доказательств теоремы.

Если $x-a$ является фактором $f(x),$ это немедленно, что $f(a)=0.$ Поэтому в дальнейшем будет доказано только обратное.

Доказательство 1

Этот аргумент начинается с проверки теоремы для $a=0$. То есть он стремится показать, что для любого полинома $f(x)$ для чего $f(0)=0$ это правда, что $f(x)=x\cdot g(x)$ для некоторого полинома $g(x)$. Для этого напишите $f(x)$ явно как $c_{0}+c_{1}x^{1}+\dotsc +c_{n}x^{n}$. Теперь заметьте, что $0=f(0)=c_{0}$, так $c_{0}=0$. Таким образом, $f(x)=x(c_{1}+c_{2}x^{1}+\dotsc +c_{n}x^{n-1})=x\cdot g(x)$. Теперь этот случай доказан.

Осталось доказать теорему для общего случая. $a$ путем сведения к $a=0$ случай. Для этого заметьте, что $f(x+a)$ многочлен с корнем в $x=0$. Из того, что было показано выше, следует, что $f(x+a)=x\cdot g(x)$ для некоторого полинома $g(x)$. Окончательно, $f(x)=f((x-a)+a)=(x-a)\cdot g(x-a)$.

Доказательство 2

Во-первых, заметьте, что всякий раз, когда $x$ и $y$ принадлежат любому коммутативному кольцу (одному и тому же), то тождество $x^{n}-y^{n}=(x-y)(y^{n-1}+x^{1}y^{n-2}+\dotsc +x^{n-2}y^{1}+x^{n-1})$ это правда. Это видно путем умножения скобок.

Позволять $f(X)\in R\left[X\right]$ где $R$ — любое коммутативное кольцо. Писать $f(X)=\sum _{i}c_{i}X^{i}$ для последовательности коэффициентов $(c_{i})_{i}$. Предполагать $f(a)=0$ для некоторых $a\in R$. Заметьте тогда, что $f(X)=f(X)-f(a)=\sum _{i}c_{i}(X^{i}-a^{i})$. Обратите внимание, что каждое слагаемое имеет $X-a$ как фактор путем факторизации выражений вида $x^{n}-y^{n}$ об этом говорилось выше. Таким образом, сделайте вывод, что $X-a$ является фактором $f(X)$.

Доказательство 3

Теорему можно доказать, используя евклидово деление многочленов : Выполните евклидово деление полиномов. $f(x)$ к $x-a$ чтобы получить $f(x)=(x-a)Q+R$ где $\deg(R)<\deg(x-a)$. С $\deg(R)<\deg(x-a)$, отсюда следует, что $R$ является постоянным. Наконец, заметьте, что $0=f(a)=R$. Так $f(x)=(x-a)Q$.

Приведенное выше евклидово деление возможно в каждом коммутативном кольце, поскольку $x-a$ является моническим полиномом , и, следовательно, алгоритм деления полинома в длинные позиции не предполагает никакого деления коэффициентов.

Следствие других теорем

Это также следствие теоремы о полиномиальном остатке , но, наоборот, может быть использовано для ее доказательства.

Когда полиномы многомерны, но коэффициенты образуют алгебраически замкнутое поле , Nullstellensatz является важным и глубоким обобщением.