Теорема о полиномиальном остатке

«Теорема Маленького Безу» перенаправляется сюда. О числе пересечения двух алгебраических кривых см. в теореме Безу . Об отношении в теории наибольшего общего делителя см. тождество Безу .

В алгебре — полиномиальная теорема об остатках или маленькая теорема Безу (названная в честь Этьена Безу ). является применением евклидова деления многочленов . Он гласит, что для каждого числа $r,$ любой полином $f(x)$ это сумма $f(r)$ и продукт от $x-r$ многочлена в $x$ степени меньше степени $f.$ В частности, $f(r)$ является остатком евклидова деления $f(x)$ к $x-r,$ и $x-r$ является делителем ​ $f(x)$ тогда и только тогда, когда $f(r)=0,$ свойство, известное как факторная теорема .

Примеры

Пример 1

Позволять $f(x)=x^{3}-12x^{2}-42$. Полиномиальное деление $f(x)$ к $(x-3)$ дает частное $x^{2}-9x-27$ и остаток $-123$. Поэтому, $f(3)=-123$.

Пример 2

Доказательство того, что теорема о полиномиальном остатке справедлива для произвольного многочлена второй степени. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ с помощью алгебраических манипуляций:

$${\begin{aligned}f(x)-f(r)&=ax^{2}+bx+c-(ar^{2}+br+c)\\&=a(x^{2}-r^{2})+b(x-r)\\&=a(x-r)(x+r)+b(x-r)\\&=(x-r)(ax+ar+b)\end{aligned}}$$

Так,

$$f(x)=(x-r)(ax+ar+b)+f(r),$$

что и есть формула евклидова деления.

Обобщение этого доказательства в любой степени дано ниже в § Прямое доказательство .

Доказательства

Использование евклидова деления

Теорема о полиномиальном остатке следует из теоремы евклидова деления , которая, учитывая два многочлена f ( x ) (делимое) и g ( x ) (делитель), утверждает существование (и уникальность) частного Q ( x ) и остаток R ( x ) такой, что

$f(x)=Q(x)g(x)+R(x)\quad {\text{and}}\quad R(x)=0\ {\text{ or }}\deg(R)<\deg(g).$

Если делитель $g(x)=x-r,$ где r — константа, то либо R ( x ) = 0 , либо его степень равна нулю; в обоих случаях R ( x ) — константа, независимая от x ; то есть

$f(x)=Q(x)(x-r)+R.$

Параметр $x=r$ в этой формуле получаем:

$f(r)=R.$

Прямое доказательство

Конструктивное доказательство , не использующее теорему существования евклидова деления, использует тождество

$x^{k}-r^{k}=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1}).$

Если $S_{k}$ обозначает большой множитель в правой части этого тождества, а

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$

у одного есть

$f(x)-f(r)=(x-r)(a_{n}S_{n}+\cdots +a_{2}S_{2}+a_{1}),$

(с $S_{1}=1$).

Добавление $f(r)$ к обеим частям этого уравнения можно одновременно получить теорему о полиномиальном остатке и часть теоремы существования теоремы евклидова деления для этого конкретного случая.

Приложения

Теорема о полиномиальном остатке может использоваться для оценки $f(r)$ вычислив остаток, $R$. Хотя деление полинома в длину сложнее, чем вычисление самой функции , синтетическое деление проще в вычислительном отношении. Таким образом, функцию можно более «дешево» вычислить, используя синтетическое деление и теорему о полиномиальном остатке.

Теорема о факторах — это еще одно применение теоремы об остатках: если остаток равен нулю, то линейный делитель является фактором. Повторное применение факторной теоремы можно использовать для факторизации полинома.