Монический полином

В алгебре монический многочлен — это ненулевой одномерный многочлен (то есть многочлен от одной переменной), в котором старший коэффициент (ненулевой коэффициент высшей степени) равен 1. То есть, монический многочлен это тот, который можно записать как

$x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$

с $n\geq 0.$

Использует

В этом разделе слово «полином» используется как сокращение для одномерного многочлена , и, если явно не указано иное, коэффициенты полиномов принадлежат фиксированному полю .

Монические полиномы широко используются в алгебре и теории чисел , поскольку они приводят к множеству упрощений и избегают делений и знаменателей. Вот некоторые примеры.

Каждому многочлену соответствует уникальный монический многочлен. В частности, уникальное свойство факторизации многочленов можно сформулировать следующим образом: каждый многочлен может быть однозначно факторизован как произведение его старшего коэффициента и произведения монических неприводимых многочленов .

Формулы Виеты проще в случае монических многочленов: i - я элементарная симметричная функция монического корней многочлена степени n равна $(-1)^{i}c_{n-i},$ где $c_{n-i}$ – коэффициент при (n−i) -й степени неопределенности .

Евклидово деление многочлена на унитарный многочлен не приводит к делению коэффициентов. Поэтому он определен для многочленов с коэффициентами из коммутативного кольца .

Алгебраические целые числа определяются как корни монических многочленов с целыми коэффициентами.

Свойства

Любой ненулевой одномерный многочлен ( многочлен с одной неопределенной величиной ) можно записать

$c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots c_{1}x+c_{0},$

где $c_{n},\ldots ,c_{0}$ – коэффициенты полинома, а старший коэффициент $c_{n}$не равен нулю. По определению такой многочлен является моническим , если $c_{n}=1.$

Произведение монических многочленов является моническим. Произведение полиномов является моническим тогда и только тогда, когда произведение старших коэффициентов множителей равно 1 .

Это означает, что монические многочлены в кольце одномерных многочленов над коммутативным кольцом образуют моноид при полиномиальном умножении.

Два монических многочлена связаны тогда и только тогда, когда они равны, поскольку умножение многочлена на ненулевую константу дает многочлен с этой константой в качестве старшего коэффициента.

Делимость приводит к частичному порядку монических многочленов. Это следует почти непосредственно из предыдущих свойств.

Полиномиальные уравнения

Позволять $P(x)$— полиномиальное уравнение , где P — одномерный многочлен степени n . Если разделить все коэффициенты P на его старший коэффициент $c_{n},$ получается новое полиномиальное уравнение, имеющее те же решения и заключающееся в приравнивании нулю унитарного многочлена.

Например, уравнение

$2x^{2}+3x+1=0$

эквивалентно моническому уравнению

$x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{2}}=0.$

Когда коэффициенты не указаны или принадлежат полю , в котором деление не приводит к дробям (например, $\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,$или конечное поле ), такое сведение к моническим уравнениям может привести к упрощению. С другой стороны, как показано в предыдущем примере, когда коэффициенты являются явными целыми числами, соответствующий монический полином обычно оказывается более сложным. Поэтому примитивные полиномы часто используются вместо монических полиномов при работе с целыми коэффициентами.

Неотъемлемые элементы

Монические полиномиальные уравнения лежат в основе теории целых алгебраических чисел и, в более общем плане, целых элементов .

Пусть R — подкольцо поля F ; это означает, что R является областью целостности . Элемент a из F является целым над R , если он является корнем монического многочлена с коэффициентами из R .

Комплексное число , являющееся целым числом по целым числам, называется алгебраическим целым числом . Эта терминология мотивирована тем фактом, что целые числа — это в точности рациональные числа , которые также являются целыми алгебраическими числами. Это следует из теоремы о рациональном корне , которая утверждает, что, если рациональное число ${\textstyle {\frac {p}{q}}}$— корень многочлена с целыми коэффициентами, то q — делитель старшего коэффициента; Итак, если полином является моническим, то $q=\pm 1,$и число является целым числом. И наоборот, целое число p является корнем монического многочлена. $x-a.$

Можно доказать, что если два элемента поля F целы над подкольцом R кольца F , то сумма и произведение этих элементов также целы над R . что элементы F , целые над R, кольцо, называемое целым замыканием R образуют в K. Отсюда следует , Область целостности, равная своему целочисленному замыканию в своем поле частных, называется целозамкнутой областью .

Эти понятия являются фундаментальными в алгебраической теории чисел . Например, многие из многочисленных неправильных доказательств Великой теоремы Ферма , написанных на протяжении более трех столетий, были неверными, потому что авторы ошибочно полагали, что целые алгебраические числа в поле алгебраических чисел имеют уникальную факторизацию .

Многомерные полиномы

Обычно термин monic не используется для полиномов нескольких переменных. Однако полином от нескольких переменных можно рассматривать как полином от одной переменной, при этом коэффициенты являются полиномами от других переменных. зависит Таким образом , моника от выбора одной «основной» переменной. Например, полином

$p(x,y)=2xy^{2}+x^{2}-y^{2}+3x+5y-8$

является моническим, если рассматривать его как полином от x с коэффициентами, которые являются полиномами от y :

$p(x,y)=x^{2}+(2y^{2}+3)\,x+(-y^{2}+5y-8);$

но он не является моническим, если рассматривать его как полином по y с полиномиальными по x коэффициентами :

$p(x,y)=(2x-1)\,y^{2}+5y+(x^{2}+3x-8).$

В контексте базисов Грёбнера мономиальный порядок обычно фиксирован. В этом случае полином можно назвать моническим, если его старший коэффициент равен 1 (для мономиального порядка).

Для каждого определения произведение монических многочленов является моническим, и, если коэффициенты принадлежат полю , каждый многочлен связан ровно с одним моническим многочленом.

Ссылки

• Фрели, Джон Б. (2003). Первый курс абстрактной алгебры (7-е изд.). Образование Пирсона . ISBN  9780201763904 .